HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 10 VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM 2015 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI TỈNH LÀO CAI Thời gian làm bài 180 phút Đề thi này gồm có 01 trang, 0
Trang 1HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 10 VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM 2015
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI TỈNH LÀO CAI Thời gian làm bài 180 phút
Đề thi này gồm có 01 trang, 05 câu
TỔ TOÁN-TIN HỌC TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI
Câu 1: (4 điểm ) Giải hệ phương trình
Câu 2: (4 điểm ) Cho hình thang có đáy nhỏ và một điểm di động bên trong hình thang Gọi tương ứng là giao điểm của với Đường tròn ngoại tiếp các tam giác và tam giác cắt nhau tại điểm thứ hai Chứng minh đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định
Câu 3(4 điểm): Cho là số nguyên tố mà Tìm tất cả các số nguyên dương để
Câu 4: (4 điểm ) Cho các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng
Câu 5: (4 điểm ) Cho là số nguyên dương Đặt
Hãy chứng minh
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
Trang 2-Hết -HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN HDC ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 10 VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM 2015
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI TỈNH LÀO CAI Thời gian làm bài 180 phút
Hướng dẫn chấm này gồm có 0 trang
TỔ TOÁN-TIN HỌC TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI
Câu 1: (4 điểm ) Giải hệ phương trình
Hướng dẫn chấm
Xét hệ phương trình
Điều kiện
Ta có phương trình (10
phương trình vô nghiệm Vậy
Thay vào ta có
(Điều kiện )
0,5 0,5 0,5
0,5 0,5 0,5
HDC ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
Trang 3(Điều kiện )
Từ đó ta thu được nghiệm của hệ đã cho là
0,5 0,5
Câu 2: (4 điểm ) Cho hình thang có đáy nhỏ và một điểm di động bên trong hình thang Gọi tương ứng là giao điểm của với Đường tròn ngoại tiếp các tam giác và tam giác cắt nhau tại điểm thứ hai Chứng minh đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định
Hướng dẫn chấm
Gọi là giao điểm của và đường tròn Gọi là giao điểm của
và đường tròn
-Ta có (cùng bằng góc ) Do đo tứ giác nội tiếp (1)
*Ta có (cùng bằng góc ) Do đo tứ giác nội tiếp (2)
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
Trang 4Từ (1) và (2) cho ta tứ giác CQDP nội tiếp Mặt khác nên tứ giác
ABPQ nội tiếp
Gọi đường tròn ngoại tiếp tứ giác là Khi đó là trục đẳng
phương của từng cặp ba đường tròn
Gọi là giao điểm của và Khi đó đi qua điểm cố định
0,5 0,5 0,5
Câu 3(4 điểm): Cho là số nguyên tố mà Tìm tất cả các số nguyên dương để
Hướng dẫn chấm
Từ suy ra lẻ (*)
Gọi là cấp của 2 theo
Ta có (1)
Từ và suy ra hay , vô lý vì theo (*) thì lẻ
Do đó không chia hết cho Mà nên
0,5
0,5
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
Câu 4: (4 điểm ) Cho các số thực dương thỏa mãn Chưng minh rằng
Trang 5Đặt , suy ra
Áp dụng điều kiện , bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
Do nên ta có đánh giá:
Để kết thúc bài toán ta sẽ chứng minh
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Khi đó là nghiệm phương trình
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5