Đề hsg toán 9

UBND HUYỆN YÊN PHONG CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO Độc lập - Tự do - Hạnh phúc. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH VÀO ĐỘI TUYỂN Môn : Toán lớp 9. Năm học : 2008-2009. Thời gian làm bài: 150 phút. Câu 1(2 điểm): 1/ Chứng minh rằng nếu: a + b + c = 0 thì a 3 + b 3 + c 3 – 3abc = 0. 2/ Tính giá trị của biểu thức: 222 y zx x yz z xy A ++= .Biết 0 111 =++ zyx Câu 2(2 điểm): Cho a ,b ,c là các số hũu tỉ thoả mãn: abc = 1 và c a b c a b a c c b b a 222 222 ++=++ . Chứng minh rằng: Trong 3 số a, b, c có một số là bình phương của một số hữu tỉ. Câu 3(2 điểm): 1/ Tìm giá trị lớn nhất của: y = ( 2x + 1).(2 – 3x) biết 3 2 2 1 ≤≤− x 2/ Giải phương trình nghiệm nguyên sau: x 2 = y.(y + 1).(y + 2).(y +3) Câu 4(2,5 điểm): Cho hình thang ABCD (AB//CD). O là giao điểm của hai đường chéo AC,BD. Đường thẳng qua O song song với AB và cắt AD,BC lần lượt tại M,N. 1/ Chứng minh rằng: MNCDAB 211 =+ . 2/ Biết diện tích tam giác AOB bằng a 2 ,diện tích tam giác COD bằng b 2 . Tính diện tích hình thang ABCD theo a,b. Câu 5(1,5 điểm): Cho hình chữ nhật có chu vi không nhỏ hơn 2 2 và một tứ giác có các đỉnh nằm trên các cạnh khác nhau của hình chữ nhật đó. Chứng minh rằng chu vi tứ giác không nhỏ hơn 2. ===================Đề gồm 01 trang=================== HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH VÀO ĐỘI TUYỂN Môn :Toán 9. Năm học 2008-2009. Thời gian làm bài 150 phút. Câu 1(2 điểm) 1/Từ a + b + c = 0 ⇒ a + b = - c ⇒ (a + b ) 3 = - c 3 (0,5đ) ⇒ … ⇒ a 3 + b 3 + c 3 - 3abc = 0(0,5đ) 2/Áp dụng ý 1/         ++=⇒ 33 3 111 zy x xyzA (0,5đ) Mà 0 111 =++ zyx 3 =⇒ A (0,5đ) Câu 2(2 điểm). Đặt c a zb c ya b x z a c y c b x b a 222 222 1 ; 1 ; 1 ;; ===⇒=== . (0,5đ) Ta có: xyz = 1 và x + y + z = zyx 111 ++ ⇒ xyz = 1 và x + y + z = xy + yz + zx (0,5đ) Xét (x – 1)(y – 1)(z – 1) = xyz – (xy + yz + zx) + x + y + z – 1 = 0 (0,5đ) ⇒ x = 1 hoặc y = 1 hoặc z = 1 ⇒ ĐPCM (0,5đ) Câu 3 (2 điểm): 1/ Viết Y = 6       −       + xx 3 2 2 1 24 49 2 3 2 2 1 6 2 =             −++ ≤ xx ( có giải thích) (0,5đ) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = ∈ 12 1 ĐK. (0,25đ) Vậy MaxY = 24 49 khi x = 12 1 (0,25đ) 2/Đặt a = y 2 + 3y ⇒ x 2 = a(a + 2) = a 2 + 2a, a Z ∈ TH1: Nếu a > 0 ⇒ a 2 < x 2 < (a + 1) 2 . Mà x Z ∈ ⇒ Vô lí. (0,5đ) TH2: Nếu a ≤ 0 ⇒ y 2 + 3y 0 ≤ 03 ≤≤−⇒ y }{ 0;1;2;3 −−−∈⇒ y ( vì y- nguyên). (0,25đ) Thử lại vào phương trình ban đầu ta được 4 nghiệm nguyên: (0;0);(0:-1);(0;-2);(0:-3). (0,25đ) A B M O N Câu 4(2,5 điểm): 1/ MN//AB(gt),AB//CD(gt) ⇒ MN// DC Chỉ ra AC OA CD OM BD OD AB OM BD OBOA OD OB OC OA == =⇒= ; ; AC (0,5đ) D C Suy ra 1 11 =       + CDAB OM (1) (0,25đ) Chứng minh tương tự ta có: 1 11 =       + CDAB ON (2). (0,25đ ) Từ (1) và (2) suy ra (ĐPCM) (0,25đ) 2/Chỉ ra OD OB S S OD OB S S ODC OBC OAD OAB == ; (0,25đ) suy ra S OAD .S OBC = a 2 b 2 mà S ADC = S BDC (0,25đ) ⇒ S ADC – S ODC = S BDC – S ODC ⇒ S ODA = S OBC (0,25đ) Suy ra (S OAD ) 2 = (S OBC ) 2 = (ab) 2 ⇒ S ODA = S OBC = ab (0,25đ) S ABCD = S ODA + S OBC +S OAB + S OCD = ( ) 2 ba + ( đvdt). (0,25đ) Câu 5(1,5 điểm): Xét hình vẽ bên có E,F,G lần lượt là trung điểm MQ,MP,PN. (0,25đ) Ta cần chứng minh chu vi tứ giác MNPQ lớn hơn hoặc bằng 2(đvđd). Thật vậy: CV MNPQ = 2(AE + EF + FG + GC) (0,5đ) ≥ 2AC = 2 22 BCAB + 2 2 BCAB + ≥ 2 2 2 2 =≥ (0,5đ) Dấu “=” xảy ra khi MNPQ là hình chữ nhật và ABCD là hình vuông. (0,25đ) M B A E N F G Q D P C Chú ý : Với các cách giải khác mà vẫn đúng thì cho điểm tương đương . ================== =Đề gồm 01 trang=================== HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH VÀO ĐỘI TUYỂN Môn :Toán 9. Năm học 2008-20 09. Thời gian làm bài. DỤC – ĐÀO TẠO Độc lập - Tự do - Hạnh phúc. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH VÀO ĐỘI TUYỂN Môn : Toán lớp 9. Năm học : 2008-20 09. Thời gian làm bài: 150 phút. Câu 1(2