TRƯỜNG THCS LONG HỮU ĐỀ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN LỚP NĂM HỌC 2012 - 2013 MƠN TỐN Thời gian 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Đề: �x y x y �� x y xy � � xy � : 1 � Câu 1: (4,5 điểm) Cho biểu thức A � �1 xy �� xy � �� a) Rút gọn A b) Tính giá trị A x 2 c) Tính giá trị lớn A Câu 2: (4,5 điểm) a) Giải phương trình: x x3 x x � x xy y x y � b) Giải hệ phương trình: �2 �x y x y Câu 3: (3 điểm) Cho phương trình x 2mx m m Với giá trị m phương trình cho có nghiệm x1 x2 cho x1 x2 18 x2 x1 Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có AB = c; AC = b; BC = a, phân giác AD a) Chứng minh hệ thức AD2 = AB.AC – BD.DC b) Tính độ dài phân giác AD theo a,b,c Câu 5: (5 điểm) Cho hai đường tròn (O; R) (O'; R') cắt hai điểm phân biệt A B Từ điểm C thay đổi tia đối tia AB Vẽ tiếp tuyến CD; CE với đường tròn tâm O (D; E tiếp điểm E nằm đường tròn tâm O') Hai đường thẳng AD AE cắt đường tròn tâm O' M N (M N khác với điểm A) Đường thẳng DE cắt MN I Chứng minh rằng: a) MI.BE BI.AE b) Khi điểm C thay đổi đường thẳng DE ln qua điểm cố định Câu Ý ĐÁP ÁN TOÁN Nội dung Điểm a) �x y x y �� x y xy � A� : 1 � � �1 xy �� xy � xy � �� � x y x y y x x y x y y x �� xy x y xy � A� :� � � � �� xy xy � � � x xy xy xy 1 x 1 y Điều kiện xy ≠ ; y ≠ – ; x ≥ x 1 x Câu (4,5 đ) Có : x b) 2.(2 3) 2.(2 3) (1 3) 2 3 2 Do : B 1 2.( 1) 32 1 x x 1 x Có : A x 1 x 1 x 1 c) 1 x �1 Vì x � 1 x 1 x � 1� ) �x � * x � x� 1 2 Đặt : y x � x y (*) trở thành x x ( x2 a) ( y2 – ) – 2y – = hay ; y2 – 2y – = � y1 1 ; y2 ** Với y1 = – ta có x 0,5 0,5 0,5 Do A max = x = x x x x (1) Vì x = khơng nghiệm (1) Chia vế (1) cho x2 ta đươc: Câu (4,5 đ) 0,5 1 x 0,5 1 � x x vô nghiệm x 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 ** Với y2 =3 ta có � x 3x x � x1 ; x2 2 x **** Vậy PT cho có nghiệm là: x1 3 ; x2 3 2 0,25 0,25 Hệ phơng trình: 2 x xy y x y �2 �x y x y �y ( x 1) y x x � � �2 �x y x y 0,5 0,5 ( y x 2)( y x 1) � � �2 �x y x y b) 0,5 � �y x � �2 �x y x y � �� �y x � �2 � �x y x y � � �x � � �y � � � �� x � �x=1 � � va � � � �y=1 �y 13 � � � 0,5 0,5 �4 13 � VËy hƯ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm: (1; 1); � ; - � 5� �5 2 Để phương trình x 2mx m m có nghiệm thì: �۳ ' m2 m2 m m m (1) Với điều kiện (1) ta có: x1 x2 18 x1 x2 x1 x2 18 x12 x22 18 � � x1 x2 �0 x2 x1 x1 x2 x1 x2 Câu (3 đ) a) 18 m2 m � m m6 m �2; m �3 m2 m � m 8m 48 � m1 4; m2 12 (thỏa điều kiện (1) u khỏc v khỏc 3) Vẽ đờng tròn tâm O ngoại tiếp ABC Cõu (3 đ) 4m m2 m Gọi E giao điểm AD (O) a) Ta cã : ABD CED (g– g) BD AD AD.ED = BD.CD ED CD AD(AE – AD) = BD.CD AD2 = AD.AE – BD.CD (1) B L¹i cã: ABD AEC (g – g) AB AD AB.AC = AD.AE (2) AE AC Tõ (1) vµ (2) suy ra: AD2 = AB.AC – BD.DC 0,5 0,5 0,5 0,5 A 0,5 C 0,25 D E 0,25 0,5 DB BA DC CA Vì AD phân giác b) 0,5 DB DC DB DC a c b b c c b DB = 0,25 ac ab vµ DC = bc bc 0,25 a bc AD = bc (b c ) 0,5 Câu (5 đ) C M A D Q O E K O' H I B N � BAE � (cùng chắn cung BE đường trịn tâm O) Ta có: BDE � BMN � (cùng chắn cung BN đường tròn tâm O') BAE � BMN � BDE � BMN � hay BDI BDMI tứ giác nội tiếp � MBI � (cùng chắn cung MI) MDI a) mà � � (cùng chắn cung AE đường tròn tâm O) MDI ABE � MBI � ABE � BAE � mặt khác BMI (chứng minh trên) MBI ABE (g-g) MI BI MI.BE = BI.AE AE BE b) Gọi Q giao điểm CO DE OC DE Q OCD vng D có DQ đường cao OQ.OC = OD2 = R2 (1) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 Gọi K giao điểm hai đường thẳng OO' DE; H giao điểm AB OO' OO' AB H �H � 900 ;O � chung Xét KQO CHO có Q KQO CHO (g-g) KO OQ � OC.OQ KO.OH (2) CO OH 0,5 0,5 0,5 R2 Từ (1) (2) � KO.OH R � OK OH Vì OH cố định R khơng đổi OK không đổi K cố định 0,5 ... 0,25 0,25 0,25 0,5 Gọi K giao điểm hai đường thẳng OO' DE; H giao điểm AB OO' OO' AB H �H � 90 0 ;O � chung Xét KQO CHO có Q KQO CHO (g-g) KO OQ � OC.OQ KO.OH (2) CO OH 0,5 0,5