Đề hsg toán 9 quang trung đại 2023 đề 150

PHỊNG GD & ĐT QUY NHƠN Chữ kí GT1: TRƯỜNG THCS QUANG TRUNG Chữ kí GT2: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2023- 2024 Mơn: Tốn Lớp: Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Mã phách Họ tên: …………………………………………… Lớp: …… Số báo danh: ………………………………………… Phòng thi:………  Điểm số Điểm chữ Chữ ký GK1 Chữ ký GK2 Mã phách Đề: Câu 1: ( điểm)  1+ a  1− a 1 1.Cho Q =  + − −  a − 2a + (với  a  )   a − a − + a  a  1+ a − 1− a a) Rút gọn Q b) So sánh Q Q Tính giá trị biểu thức: 1 1 P= + + + + +1 + + 2025 2024 + 2024 2025 Câu 2: (5 điểm) a) Trên bảng ban đầu ghi số số Ta thực cách viết thêm số lên bảng sau: bảng có hai số, giả sử a, b ; a  b , ta viết thêm lên bảng số có giá trị a + b + ab Hỏi với cách thực vậy, bảng xuất số 123456 hay khơng? Giải thích b) Giải phương trình: x2 − x − = x − 1(1 − x) Câu 3: ( điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx  x + y + z Chứng minh rằng: Câu 4: ( điểm) Cho x2 x3 + + y2 y3 + + z2 z3 +  ABC,biết A +2 B = 1800 Chứng minh: AB2 = BC2 + AB.AC Câu 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC có cạnh a Hai điểm M, N di động hai đoạn thẳng AB, AC AB, AC cho Chøng minh: MN = a − x − y AM AN + = Đặt AM = x, AN = y MB NC …./…  BÀI LÀM: HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TRƯƠNG MƠN: TỐN Đáp án Câu Điểm 1.1 a) Với < a < 1, ta có:   1+ a 1− a 1 Q =  + − −    a − 2a + a  − a − + a   a  1+ a − 1− a    (1 − a ) 1+ a    − a −  ( a − 1)2 = + 2  1+ a − 1− a a  (1 − a )(1 + a ) − (1 − a )   a     (1 − a )(1 + a ) (1 − a ) 1+ a 1    = + −  a −1  1+ a − 1− a a a (1 − a ) + a − − a     ( )   1+ a 1− a =  +  + a − − a   1+ a − 1− a = =− a (1 − a ) 2,0 + a + − a (1 − a )(1 + a ) − (1 + a ) − (1 − a ) (1 − a ) 2a 1+ a − 1− a 1+ a + 1− a − = 1+ a − 1− a =− (1 − a )(1 + a ) − ( 1+ a + 1− a (1 + a ) − (1 − a ) 2a ( )( 1+ a − 1− a ) 2a 1+ a − 1− a 2a (1 − a ) = − (1 − a ) ) (1 − a ) 2a (1 − a ) = a − 2a b) Do  a    a −  −1   ( a − 1)  ( ) Xét Q3 − Q = ( a − 1) ( a − 1) −  Vậy Q  Q 1.2 1 1 + + + + +1 + + 2025 2024 + 2024 2025 * Với n  N , ta có: 1 = ( n + 1) n + n n + n + n n + + n 1.0đ P= ( = ) n +1 − n n +1 − n 1 = = − n + n ( n + − n ) n + n n n +1 Áp dụng kết trên, ta được: 2.0đ 1 1 1 1 − + − + − + + − 2 3 2024 2025 1 44 = − = 1− = 45 45 2025 Đặt k = ab + a + b = ( a + 1)( b + 1) − P= 2,5đ 2.a Nếu số a, b tồn số chia dư k chia dư Ban đầu bảng gồm có số số (một số chia dư 1; số chia dư 2) Suy thời điểm, bảng ln có số chia dư số lại chia dư Do với cách thực đề bài, bảng khơng thể xuất số 123456(Vì số 123456 chia hết cho 3) 2.b Điều kiện xác định: x  Ta có: x2 − x − = x − 1(1 − x)  x2 + x x − + x − − 2( x + x − 1) − = Đặt x + x − = y (điều kiện y  ) 2,5 đ  y = −1  y = (do y  ) y = Phương trình trở thành y − y − =   1  x  1  x     x =  x = Khi : x + x − =  x − = − x    x − x + 10 =  x =  Vậy phương trình có nghiệm x = AM −GM x + + x − x + x2 − x + = Ta có x + = ( x + ) ( x − x + )  2 2 z −z+6 y − y+6 Tương tự y +  ; z3 +  2   x2 y2 z2 x2 y2 z2 - Suy + +   + +  (*) x3 + y3 + z3 +  x −x+6 y − y+6 z −z+6 a b2 c2 ( a + b + c ) - Lại có: + +   a, b, c, u, v, w  (1) u v w u+v+w - Áp dụng (1) (*) ta thu x2 x3 + + 2( x + y + z) +  2 y3 + z + x + y + z − ( x + y + z ) + 18 y2 z2 (2) 2( x + y + z) Ta cần chứng minh : 2 1 x + y + z − ( x + y + z ) + 18  x + y + z + ( xy + yz + zx )  18 − ( x + y + z )  ( x + y + z ) + ( x + y + z ) + ( xy + yz + zx ) − 18   ( x + y + z ) + ( x + y + z ) − 18  ( Vì xy + yz + zx  x + y + z ) 3đ  ( x + y + z − 3)( x + y + z + )  (3) Ta có: ( x + y + z )  ( xy + yz + zx )  ( x + y + z ) nên x + y + z  => (3) Từ (1), (2), (3) suy điều phải chứng minh Dấu “=”  x = y = z = 3đ Ta có B 3A 1800 A B C C B A B A => ABC có góc C lớn => cạnh AB lớn Trên cạnh BC lấy điểm D cho AD=AC  AB.AD=AB.AC (1) Lại có: 1800 A B 3A A D2 1800 D1 1800 1800 1800 A B ACB 2 BC AB BCA AB BD BC 2  BDC BD BC Từ (1) (2) suy : BC2 + AB.AC = AB.BD+AB.AD=AB.(BD+AD)=AB2 Ta có: A AM AN + =1 MB NC AM AN  + =1 AB − AM AC − AN x y  + =1 a−x a− y  x(a − y ) + y (a − x) = (a − x)(a − y ) H M N C B  a − 2ax − 2ay + 3xy =  a + x + y − 2ax − 2by + xy = x + y − xy  (a − x − y )2 = x + y − xy (1) Kẻ MH ⊥ AC Ta có MAH = 60 (do ABC đều) AHM vuông H: MH = x.sin 60 = AH = x.sin 60 = HN = y − x a x x Áp dụng ĐL Pitago tam giác vuông MNH 4đ 2 x 3  x 2 (2) MN = MH + HN =   +  y −  = x + y − xy 2     Từ (1) (2), suy ra: MN = (a − x − y)2  MN = a − x − y 2 x a a y  nên x  ;  nên y  a− y a−x 2   x  a  x + y  a nên a − ( x + y )  hay a − x − y   y  a  Vậy MN = a − x − y (đpcm) Vì