071 đề hsg toán 9 quảng ninh 21 22

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM 2022 Mơn thi: Tốn – bảng A Ngày thi: 23/02/2022 Thời gian làm : 150 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (4,0 điểm) a) Cho x, y, z số dương thỏa mãn điều kiện xy  yz  zx 3 Tính giá trị biểu thức A x y y z z x   2 z 3 x 3 y 3 b) Cho hai hàm số y  x y 2  m 1 x  m  (m tham số) Hãy tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số cho cắt hai điểm phân biệt Câu (5,0 điểm) 2 a) Giải phương trình : x   x  x  5 x  3x   x  y  0  x  x  3  y 0 b) Giải hệ phương trình :  Câu (4,0 điểm) a) Tìm tất cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn phương trình x  y 2 y  y  b) Tìm tất số nguyên m để phương trình x  3mx mx  có nghiệm số hữu tỉ 3 Câu (6,0 điểm) Cho đường tròn  O; R  dây BC cố định khơng đường kính  O  Lấy điểm A cung lớn BC cho AB  AC ACB  90 , D điểm cung nhỏ BC Từ B hạ BH vng góc với AD (H thuộc AD), từ D hạ DK vng góc với AC  K  AC  Đường thẳng BH cắt đường thẳng DK AC E F a) Chứng minh E thuộc  O; R  HK song song với BC b) Hạ DL vng góc với AB  L  AB  Chứng minh đường thẳng KL qua trung điểm đoạn thẳng BC c) Chứng minh đường thẳng AE tiếp xúc với đường tròn cố định A di chuyển cung BC thỏa mãn điều kiện đề Câu (1,0 điểm) Trên bảng người ta viết 2022 số nguyên dương liên tiếp 1; 2;3; ; 2022 thực thao tác sau : Xóa hai số (trong 2022 số trên) lại viết lên bảng số tổng hai số vừa xóa, tiếp tục làm bảng lại số Hỏi số lại bảng số chẵn hay số lẻ, ? ĐÁP ÁN Câu (4,0 điểm) c) Cho x, y, z số dương thỏa mãn điều kiện xy  yz  zx 3 A x y y z z x   2 z 3 x 3 y 3 Tính giá trị biểu thức Ta có : A  x y y z z x   z  xy  yz  zx x  xy  yz  zx y  xy  yz  zx x y y z z x x2  y  y  z  z  x2    0 ( x  y )( y  z )( z  x )  y  z   z  x  z  x  x  y  x  y  y  z  d) Cho hai hàm số y  x y 2  m 1 x  m  (m tham số) Hãy tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số cho cắt hai điểm phân biệt Ta có hồnh độ giao điểm hai hàm số nghiệm phương trình x   m  1 x  m  0 Để đồ thị hai hàm số cho cắt hai điểm phân biệt m    '    m  1  m    m  3m      m 1 Câu (5,0 điểm) 2 c) Giải phương trình : x   x  x  5 x  3x  2 x 2 Phương trình tương đương x  x   x  x   x  0 ĐKXĐ:   x2  5x   x2  5x   0   x  x      0 2 x  x   3x  x  x   3x      x 2 (tmdk )  x  x  0   x 3     0(ktm) 1  x  x   3x   Vậy phương trình có tập nghiệm S=  2;3  x  y  0  x  x  3  y 0   d) Giải hệ phương trình : 2 2 Từ phương trình x  y  0  x  y thay vào phương trình x  x  3  y 0 Ta có : x  x  y   y 0  x  xy  y   x  y   x  xy  y   y  x  y  0   x  y   x  xy  y  0  x  y  x  y  0  x  y 1  2  x  xy  y 0(ktm) Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y      1;  1 ;  1;1  Câu (4,0 điểm) c) Tìm tất cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn phương trình x  y 2 y  y  3 Phương trình tương đương : x  y  y  y  Ta có : y y  y  y  1   y  y  y  1 5 y    y  y  y    y  1  y  y  1   y  y  y  1  y 0  y  y  y   y  1 3  x  y  y  y  y   y  y  y  0  y  1( y  )   y  1  x  y  1   3 3  x  y  1  y  y  y   y  y  y   y 0  x 1  x; y      1;  1 ,  1;0   3 Vậy thỏa mãn toán d) Tìm tất số nguyên m để phương trình x  3mx mx  có nghiệm số hữu tỉ n n n Giả sử đa thức P( x)  x  an  x  an x   a1 x  a0 , an ; an ; ; a0 hệ số nguyên.Nếu P( x) có nghiệm hữu tỉ nghiệm hữu tỉ P(x) số nguyên ước số hệ số a0 Trở lại tốn, phương trình x  3mx  mx  0 có nghiệm hữu tỉ nghiệm hữu tỉ x    2;  1;1; 2 Lần lượt thay vào phương trình Ta có m  thỏa mãn toán Câu (6,0 điểm) Cho đường tròn  O; R  dây BC cố định khơng đường kính  O  Lấy điểm A cung lớn BC cho AB  AC ACB  90 , D điểm cung nhỏ BC Từ B hạ BH vng góc với AD (H thuộc AD), từ D hạ DK vng góc với AC  K  AC  Đường thẳng BH cắt đường thẳng DK AC E F A M H E F K O I C B L D d) Chứng minh E thuộc  O; R  HK song song với BC Vì D điểm cung BC nên BAD CAD, AH  BF  ABF cân A DHF  DKF 180 nên tứ giác DHFK nội tiếp  ADE AFB ABE  tứ giác ABDE nội tiếp hay E thuộc đường trịn (O) Vì ABF cân A nên AD đường trung trực đoạn BF Suy FKH FDH BDH BCA  HK / / BC e) Hạ DL vng góc với AB  L  AB  Chứng minh đường thẳng KL qua trung điểm đoạn thẳng BC Gọi I giao điểm BC với KL Ta có ALD  AKD 180 nên tứ giác ALDK nội tiếp  DLK DAK DBC nên tứ giác BLDI nội tiếp  DC   I  DIB DLB 90 hay DB trung điểm BC AE f) Chứng minh đường thẳng tiếp xúc với đường tròn cố định A di chuyển cung BC thỏa mãn điều kiện đề Ta có ALD AKD (cạnh huyền – góc nhọn) nên DL DK , AL  AK , suy AD đường trung trực đoạn KL 180  BAC ABE ADL  Do  Vì BC cố định nên BAC khơng đổi, suy ABE khơng đổi Do sd AE không đổi nên AE không đổi Gọi M chân đường vng góc kẻ từ O đến AE, suy OM không đổi mà O cố định Vậy AE ln tiếp xúc với đường trịn  O; OM  cố định Câu (1,0 điểm) Trên bảng người ta viết 2022 số nguyên dương liên tiếp 1; 2;3; ; 2022 thực thao tác sau : Xóa hai số (trong 2022 số trên) lại viết lên bảng số tổng hai số vừa xóa, tiếp tục làm bảng lại số Hỏi số lại bảng số chẵn hay số lẻ, ? Ta có tổng 2022 số bảng     2022  2022.2023 1011.2023 số lẻ lần thực xóa hai số a, b thay vào số a  b tổng số bảng khơng đổi Do số cịn lại bảng số lẻ