PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LỘC NINH KỲ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN Năm học 2021-2022 Đề thi môn : Toán Ngày thi 15/01/2022 Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (4 điểm) x y x y x y y x 0; y A x y y x x y y x x y x y x y Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A biết x 22 21 49 20 22 21 y ; 4 11 Câu (6 điểm) a) Giải phương trình 3x 3x 1 x 10 x y xy 1 4 b) Giải hệ phương trình sau : 4 x y 4 x y c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng : d1 : x y 0 ; d x y 0 ; d3 : m 1 x y 2m 0 Xác định m để ba đường thẳng ba đường thẳng phân biệt đồng quy ? Câu (5,0 điểm) Cho hình vuông ABCD Gọi M điểm tùy ý đường chéo BD Kẻ ME AB, MF AD E AB, F AD a) Chứng minh DE CF , DE CF b) Chứng minh ba đường thẳng DE , BF , CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M BD để diện tích tứ giác AEMF lớn ? Câu (2,0 điểm) Cho đường tròn O; R hai điểm A; B nằm phía ngồi đường trịn O với OA 2 R Xác định vị trí điểm M đường trịn (O) cho biểu thức P MA 2MB đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu (3 điểm) a) Tìm tất cặp số nguyên dương x; y thỏa mãn xy x y x y 1 30 b) Cho x 0, y x y 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A y x ĐÁP ÁN Câu (4 điểm) x y x y x y y x 0; y A x y y x x y y x x y x y x y Cho biểu thức c) Rút gọn biểu thức A x y x y x y y x 0; y A x y y x x y y x x y x y x y x y x y y .x y xy x y xy x y x y x y x y y y 2 x y xy x y x x x y x y y x x y xy x y x y x y x x y xy x y xy x y xy x y x y x y x y x y y x y y y x y x y y x y x y 2 y x x y x y x x y y x y x y d) Tính giá trị biểu thức A biết x 22 21 x 22 21 x 1 x 9 49 20 22 21 y ; 4 11 22 21 21 21 2 21 21 49 20 y 11 2 3 3 3 11 3 3 3 11 2 3 3 11 1 y 4 11 11 2 2 A x y 9 Câu (6 điểm) d) Giải phương trình 3x 3x 1 x 10 3x 3x 1 x 10 3x x 10 * 3x S 0;5 3x 3x 1 x 10 3x 1 1 x 0 3x 0 1 0 3x 1 x 10 3x 1 1 x 3 x 10 x 4 x 16 x 5(tmdk ) Vậy x y xy 1 1 4 x y 4 x y e) Giải hệ phương trình sau : Thay (1) vào (2): x y xy 1 4 3 3 x y x x y xy y x y xy x y 4 x xy x y x y y xy xy x y x y xy 0 xy y x y x 0 x 0 y 1 y 0 x 1 y x x y 1 y x x 3 ; y 19 19 x 0(tmdk ) x x 10(*) ;3 19 19 x; y 0;1 ; 1;0 ; 1;1 ; Vậy hệ phương trình có tập nghiệm c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng : d1 : x y 0 ; d x y 0 ; d3 : m 1 x y 2m 0 Xác định m để ba đường thẳng ba đường thẳng phân biệt đồng quy ? Tọa độ nghiệm d1 d nghiệm hệ phương trình : x y 0 x 1 A 1; x y 0 y 2 A 1; d1 , d2 , d3 Để đồng quy qua d3 Khi m 0 1 3.2 2m 0 m 2m 0 m 2 Vậy m 0 m 2 giá trị cần tìm Câu (5,0 điểm) Cho hình vng ABCD Gọi M điểm tùy ý đường ME AB, MF AD E AB, F AD BD m chéo Kẻ E A H F D B M N C d) Chứng minh DE CF , DE CF Xét hình chữ nhật AEMF có AE=FM Tam giác DFM vuông cân F FM DF AE DF ADE DCF AE DF , AD DC DE CD ADE DCF ADE DCF DE CF 1 (Vì AD DC ) e) Chứng minh ba đường thẳng DE , BF , CM đồng quy Tương tự a) AF BE ABF BCE ABF BCE BF CE AB BC H giao điểm BF DE Từ (1), (2) có H trực tâm CEF Mặt khác N giao điểm BC , MF CN DF AE ; MN EM AF AEF CMN AEF MCN CM EF CN EA CM đường cao thuộc đỉnh C CEF CM phải qua trực tâm H nên đường DE , BF , CM đồng quy f) Xác định vị trí điểm M BD để diện tích tứ giác AEMF lớn ? AE EM AE EB AB không thay đổi AE EM 0 AE EM 2 EA.EM AE EM AE.EM AB AE EM / 2 AE.EM S AEMF max AE EM M O AC BD Câu (2,0 điểm) Cho đường tròn O; R hai điểm A; B nằm phía ngồi đường trịn O với OA 2 R Xác định vị trí điểm M đường tròn (O) cho biểu thức P MA 2MB đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ B I O N C A K Gọi C OA C Gọi N trung điểm OC ON OM ONM ∽ OMA(c.g c ) AM 2MN OM OA Ta có : MA MB 2MN 2MB 2 MN BM 2 BN (ktmtc ) Vậy P MA 2MB P 2 BN Khi đí M giao điểm NB với (O) Câu (3 điểm) d) Tìm tất cặp số nguyên dương x; y thỏa mãn xy x y x y 1 30 xy x y x y 1 30 1.30 2.15 3.10 5.6 6.5 10.3 15.2 30.1 x 0, y 1 ) xy x y 1 x 1 ( y 1) 2 1.2 2.1 ( ktm x y 0) x 1, y 0 x 2, y 0 ) xy x 2 x 1 y 1 3 3.1 1.3 ktm x y 15 x 0, y 2 x 3; y 0 ) xy x y 3 x 1 y 1 4 1.4 4.1 2.2 x 0; y 3 x 1; y 1( Ktm) x 0; y 5(ktm) x 5; y 0(ktm) ) xy x y 5 x 1 y 1 6 1.6 6.1 2.3 3.2 x 1; y 2(tm) x 2; y 1(tm) 2 Do x y xy x y trường hợp lại loại Vậy x; y 3; ; 0;3 ; 1; ; 2;1 e) Cho x 0, y x y 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A y x x 1 x 1 y 1 y 1 A y x2 y x A y x 1 x y 1 x 1 y xy xy x y xy x y 4 xy 4 xy x y 1 1 1 2.2 4 4 x y x y x y A 4 9 Min 9 x y