PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN PHÙ NINH ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2011 - 2012 Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi: 07/02/2012 Bài (4 điểm) Rút gọn biểu thức A = 3 2 3 3 2 3 Cho biểu thức B = x x Tìm giá trị lớn B giá trị x tương ứng Bài (3,0 điểm): Tìm x biết : Bài (1,5 điểm) 1 x x x (2 x3 x x 1) 4 1 Giải hệ phương trình : x y z xyz y z x xyz Bài (1,5 điểm) Cho a,b số nguyên dương thỏa mãn P a b số nguyên tố P chia hết cho Giả sử số nguyên x,y thỏa mãn ax by chia hết cho P Chứng minh hai số x,y chia hết cho P Bài (5,0 điểm) Cho đường trịn tâm O đường kính AB; E điểm thuộc đường kính AB (E khác A B) Vẽ đường tròn (O’) đường kính EB, qua trung điểm H AE vẽ dây cung CD đường trịn (O) vng góc với AE, BC cắt đường tròn (O’) I Chứng minh rằng: a) Ba điểm I, E, D thẳng hàng b) HI tiếp tuyến đường tròn (O’) c) ∆CHO = ∆HIO’ d) HA + HB2 + HC2 + HD không đổi E chuyển động đường kính AB Bài (2,0 điểm) Cho (O; R) hai điểm A, B cố định nằm ngồi đường trịn cho OA = R Tìm vị trí điểm M đường tròn cho tổng MA+ MB đạt giá trị nhỏ nhất? Bài (1,0 điểm) Cho a, b, c Chứng minh a b c bc ca ab Bài ( 1,0 điểm) Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có ba góc nhọn Chứng minh với số thực x, y, z ta ln có: x y z 2x 2y 2z a b2 c2 a b2 c2 http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN PHÙ NINH HD CHẤM THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2011 - 2012 Ngày thi: 07/02/2012 Bài (4 điểm) Rút gọn biểu thức A= 3 2 3 3 2 3 (2 điểm) Cho biểu thức B = x x Tìm giá trị lớn B giá trị x tương ứng (2 điểm) Bài (4 điểm) 1/ (2 điểm) A= 3 2 3 3 2 3 Nhân tử mẫu phân thức cho ta có: A= 2(3 5) 2(3 5) …………………………… ………….0,5 đ 4 62 4 62 3 3 …………………………….… 0,5 đ A= ( 1) ( 1) 3 3 A= 2( ……………………………….…0,25 đ ) 5 5 (3 5)(5 5) (3 5)(5 5) A = 2 ………………………….…0,25 đ (5 5)(5 5) 15 5 15 5 ………………………… 0.25 đ 25 20 A = 20 A= …………………………………………………………… … 0,25 đ 2/ Cho biểu thức: B = x2 4 x A= Tìm giá trị lớn biểu thức B giá trị x tương ứng(2 điểm) Với điều kiện xác định: x Ta có B ………………….….…0,25 đ B2 = +2 ( x 2)(4 x) ……………………………………………….… 0,25 đ Ta có: ( x x )2 x – + – x ( x 2)(4 x) ……………………………………………0,25 đ Do đó: B2 =2 + ( x 2)(4 x) 2+2 ……………………………………0,25 đ B2 4…………………………………………………………… 0,25 đ B 2………………………………………………………………0,25 đ Vậy B lớn 2…………………………………………………….0,25 đ x - = - x x = 3…………………………………………….………… 0,25 đ http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com 1 x x x (2 x3 x x 1) 4 Bài (3,0 điểm): Tìm x biết : Bài (3,0 điểm): 1 x x x (2 x3 x x 1) 4 1 x x x (2 x3 x ) (2 x 1) …………………… …….0,5 đ 4 2 x x x ( x 1)(2 x 1) ………………………… … 0,25 đ (2 x 1)(2 x 1) 2 x ( x 1)(2 x 1) ……………………….…….0,25 đ Vế trái không âm, x2+1 dương nên 2x+1 không âm…………………….…….0,25 đ (2 x 1)(2 x 1) 2(2 x 1) ( x 1)(2 x 1) ……………………….……0,25 đ (2 x 1)(2 x 1) ( x 1)(2 x 1) ………………………………………….0,25 đ (2 x 1) ( x 1)(2 x 1) ……………………………………………….0,25 đ x ( x 1)(2 x 1) ……………………………………………… ….0,25 đ (2 x 1)( x 1) ……………………………………………… ……0,25 đ 2x+1=0 x2 =0………………………………………………………… 0,25 đ 1 x = x = (thỏa điều kiện)…………………………0,25 đ 1 1 Bài 3: (1,5 điểm) Giải hệ phương trình : x y z xyz y z x xyz ĐKXĐ hệ phương trình x; y; z 1 Đặt x y z xyz =a y z x xyz 1 a a a a3 1 1 x ;y ;z xyz x y z y z x 36 xyz y z x a a a a 6a a 2a 3a a 0a 0 36 6 xy yz zx xyz xyz 1;1 0,5 0,5 Nếu xyz=1 x=y=z=1 Nếu xyz=-1 x=y=z=-1 Vậy nghiệm hệ phương trình (x;y;z) là: (1;1;1),(-1;-1;-1) 0,5 2 Bài 4: (1,5 điểm) Cho a,b số nguyên dương thỏa mãn P a b số nguyên tố P chia hết cho Giả sử số nguyên x,y thỏa mãn ax by chia hết cho P Chứng minh hai số x,y chia hết cho P Đặt P=8k+5 ( k số tự nhiên) 4k 2 4k 2 Ta có ax bx ax bx a k x8k b k y 8k P a 4k 2 b 4k 2 .x 8k 4 b 4k 2 x 8k 4 y k P http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0,5 ThuVienDeThi.com Mà a k b k a k 1 b k 1 a b P b