PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM THAO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2012 - 2013 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Bài 1: (3,0 điểm): Cho M x x 1 x x 1 x x x x a) Tìm điều kiện để M có nghĩa b) Rút gọn M (với điều kiện M có nghĩa) Bài 2: (4,5 điểm) a) Tính : A 48 10 b) Giải phương trình : x 10 x x 12 x 40 Bài (4,0 điểm) a) Tìm số nguyên x; y thỏa mãn: y xy 3x b) Tìm số tự nhiên n để: A n2012 n2002 số nguyên tố Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường trịn (O;R) điểm A ngồi đường tròn Từ điểm M di động đường thẳng d vng góc với OA A Vẽ tiếp tuyến MB, MC với đường trịn (O;R), B, C tiếp điểm Dây BC cắt OM OA H K a) Chứng minh OA.OK khơng đổi, từ suy BC ln qua điểm cố định b) Chứng minh H di động đường tròn cố định Bài 5: (5,0 điểm ) Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M, cạnh CD lấy điểm N Tia AM cắt đường thẳng CD K Kẻ AI vng góc với AK cắt CD I Chứng minh : 1 2 AM AK AB 2 Biết góc MAN có số đo 450, CM + CN = cm, CM - CN = cm Tính diện tích tam giác AMN Từ điểm O tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR vng góc với IK, AK, AI (P IK, Q AK, R AI) Xác định vị trí điểm O để OP OQ OR nhỏ Tìm giá trị nhỏ _ Họ tên thí sinh: Sè b¸o danh : Phòng thi Chú ý: Cán coi thi không giải thích thêm http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM THAO HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2012 - 2013 MƠN: Tốn Bài 1: (3,0 điểm): Cho M x x 1 x x 1 x x x x a Tìm điều kiện để M có nghĩa (1,0 đ) x Để M có nghĩa, ta có: x x x x x0 x x ( x 1) x 1 x ( x 1) 0,5 0,5 b Rút gọn M (với điều kiện M có nghĩa) (2,0 đ) Với x > 0, ta có: 0,5 (x x 1)(x x ) (x x 1)(x x ) M x2 x x2 x x2 x x x2 x x2 x x = x2 x 2x 2x = x x 2(x x) = Vậy M = x2 x 0,5 0,5 0,5 Bài 2: (4,5 điểm) a) (2 điểm) Tính : A 48 10 0.5 Ta có : A 48 10 2 A 48 10 0.5 0.5 A 28 10 0.5 5 A A 5 = 0.5 25 = 45 b) (2 điểm) Giải phương trình : x 10 x x 12 x 40 Điều kiện : x 10 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số khơng âm Ta có : x 10 x x 2.4 10 x .4 x 10 x = 2 2 http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com x x x (1) 10 x x 0,5 Dấu “ = ” xảy Mặt khác : x 12 x 40 x 12 x 36 x Dấu “=” xảy x x (2) Kết hợp (1) (2) Phương trình có nghiệm : x Bài (4,0 điểm) a) (2 điểm) Tìm số nguyên x; y thỏa mãn: y xy 3x y xy x x xy y x x ( x y ) ( x 1)( x 2) (*) VT (*) số phương; VP (*) tích số nguyên liên tiếp x 1 x 1 y x x 2 y nên phải có số 0,5 0,5 0.5 0,5 1,0 0,5 Vậy có cặp số nguyên ( x; y ) (1;1) ( x; y ) (2; 2) b) (2 điểm) Tìm số tự nhiên n để: A n2012 n2002 số nguyên tố 0.25 Xét n A = khơng phải ngun tố; n A = nguyên tố 0.25 Xét n > 1: A = n2012 – n2 + n2002 – n + n2 + n + 0.25 = n2((n3)670 – 1) + n.((n3)667 – 1) + (n2 + n + 1) 0.25 Mà (n3)670 – 1) chia hết cho n3 -1, suy (n3)670 – 1) chia hết cho n2 + n + 0.5 Tương tự: (n3)667 – chia hết cho n2 + n + 0.5 Vậy A chia hết cho n + n + 1>1 nên A hợp số Số tự nhiên cần tìm n = Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O;R) điểm A ngồi đường trịn Từ điểm M di động đường thẳng d vng góc với OA A Vẽ tiếp tuyến MB, MC với đường trịn (O;R), B, C tiếp điểm Dây BC cắt OM OA H K a) Chứng minh OA.OK không đổi, từ suy BC ln qua điểm cố định b) Chứng minh H di động đường tròn cố định B M H A O K A C d Chỉ ΔHOK ~ ΔAOM (g-g) => OH OA = OK OM => OA.OK = OH.OM (1) Xét tam giác BOM vuông B OB OH OM 2 Từ (1) (2) OA.OK R OK R2 (không đổi) OA Vậy BC qua điểm K cố định Ta có góc OHK = 90O; OK cố định nên H nằm đường trịn đường kính OK cố định http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 5: (5,0 điểm ) Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M, cạnh CD lấy điểm N Tia AM cắt đường thẳng CD K Kẻ AI vng góc với AK cắt CD I Chứng minh: 1 2 AM AK AB 2 Biết góc MAN có số đo 450, CM + CN = cm, CM - CN = cm Tính diện tích tam giác AMN Từ điểm O tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR vng góc với IK, AK, AI ( P IK, Q AK, R AI) Xác định vị trí điểm O để OP OQ OR nhỏ Tìm giá trị nhỏ A B M H I D K C N Ta có: ABM ADI AM AI (1) (vì … ) 2,0đ Trong tam giác AIK vng A ta có: 1 (2) (… ) 2 AI AK AD AB = AD (3) (….) 1 2 AM AK AB Kẻ AH vng góc với MN ( H MN ) Từ (1), (2), (3) 2,0đ Do CM + CN = CM - CN = CM = 4; CN = MN = Ta có AMN AIN AH AD IN MN AMH AID ID MH mà ID BM MH BM Ta lại có : DN BM MN CM BM CN DN DN BM CM CN DN = 3; BM = 2; BC = AD = AH = 1 S AMN AH MN 6.5 15(cm ) 2 Từ giả thiết ta có AQOR hình chữ nhật 1,0đ OP OQ OR OA OP (OA OP) AP AD 2 OP OQ OR nhỏ O trung điểm AD http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,25 0,75 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ...PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM THAO HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2012 - 2013 MƠN: Tốn Bài 1: (3,0 điểm):... 2 Từ (1) (2) OA.OK R OK R2 (không đổi) OA Vậy BC qua điểm K cố định Ta có góc OHK = 90 O; OK cố định nên H nằm đường trịn đường kính OK cố định http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77