Đề HSG Toán 9 huyện Phù Ninh 2011201241192

PHỊNG GD&ĐT PHÙ NINH ®Ị thi CHỌN häc sinh giái lớp Nm hc 2011 - 2012 Môn: Toán Thi gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Bµi (4,0đ): a/ Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau có giá trị số nguyên tố A = n3 + n - n2 -1 b/ Tìm số nguyên x để biểu thức sau có giá trị số phương chẵn B = x x 199 +2 Bài (4,0đ) Rót gän c¸c biĨu thøc a/ M =      b/ N = x 1 x  x  1 (víi x  ;x 3) Bài (4 ,0 đ): Giải phương trình sau a/ (x +2) x = b/ ( x2 - x +2011)3 = x6 - (x -2011)3 Bài (6,0đ) Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC vuông góc với BD, hạ BH vu«ng gãc víi CD (H  CD) a/ NÕu AB // CD qua B kẻ (d) song song với AC cắt tia DC E Khi tính độ dµi AC biÕt BH = 4cm ; BD = 5cm b/ NÕu AB = 1 CD ; AO = AC, TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c ABCD biÕt diƯn tÝch tam gi¸c AOB b»ng 4cm2 (O giao ®iĨm cđa AC vµ BD) Bµi (2,0®): Cho sè thùc d­¬ng x, y tháa m·n: x3 + y4  x2 +y3 Chøng minh r»ng: x2 + y3  x + y2 - HÕt Họ tên thí sinh: Sè b¸o danh : Phòng thi Chú ý: Cán coi thi không giải thích thêm http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com PHềNG GD&ĐT PHÙ NINH Năm học 2011 - 2012 Bµi (4đ): a/ Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau có giá trị số nguyên tố A = n3 + n - n2 -1 b/ Tìm số nguyên x để biểu thức sau có giá trị số phương chẵn B = x  x  199 +2 H­íng dÉn: a/ A = (n -1)(n2+1) 1,0đ V× n- 1< n +1 nên để A có giá trị số nguyên tố n 1,0 từ => n=2 => P= n2 +1 =4+1 =  n P Đáp số: n= ; P =5 b/ Ta đặt B = (2n)2 = x  x  199 +2 (n  N)  4.n2 = 200  ( x  1) +2  200 +  14 +2 =16  n2   n   n 0;1;2 x 15;3;1;13 Đáp số: x 15;3;1;13 Bài (4,0đ) Rút gọn biểu thøc: 0,5đ 1,0đ a/ M =      b/ N = x 1 x  x  1 (víi x  ;x  3) H­íng dÉn: a/ M =  2  (2  ) = (2  )(2  ) =  =1 b/ Đặt : x = a, a 0;  x = a2+ => a # N= 0,5đ a 1 (a  1) = a 1 a 1 a 1 +/ NÕu : a   x  ,x  ; M = 1 a 1  (a  1) +/ NÕu :  a    x0 Vậy nghiệm phương trình : x= x= 2011 0,5 Bài (6,0đ) Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC vuông góc với BD, hạ BH vuông góc với CD (H CD) a/ Nếu AB // CD qua B kẻ (d) song song với AC cắt tia DC E.Khi ®ã tÝnh ®é dµi AC biÕt BH = 4cm ; BD = 5cm b/ NÕu AB = 1 CD ; AO = AC , TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c ABCD biÕt diƯn tÝch tam gi¸c AOB b»ng 4cm2 (O l giao điểm AC BD) Hướng dẫn: A a/ Ta có : Tứ giác ABEC hình bình 4cm2 hành AC BD => BD BE E, O AC = BE ,áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông BDE ta cã: B 0,5đ 1,0đ 5cm 1 = + 2 BH BD BE 20  AC = BE = cm E 4cm H C D 1 AB AO   = CD OC AB CD =>  =>  ABO CDO (Cạnh huyền -Cạnh góc vuông) AO CO S => AOB = => SCOD = 4.SAOB = 4.4 =16 cm2 SCDO + V× OC = 2.OA => SBOC = 2.4 = 8cm2 ; SAOD = 16 = cm2 0,5đ VËy: SABCD = 16 + +8 + = 36cm2 Bµi (2,0đ): Cho số thực dương x, y thỏa mÃn: x3 + y4  x2 +y3 Chøng minh r»ng: x2 + y3 x + y2 Hướng dẫn: Bài toán Cho C  D Chøng minh :A  B Ta CM: (B - A )+ (C - D)  ThËt vËy : XÐt : x + y2 - (x2 + y3) + x3 + y4 -(x2 +y3.) = x.(x2 -2x +1) + y2.(y2 -2y +1) = x.(x-1)2 + y2.(y-1)2   x + y2 - (x2 + y3)   x2 + y3  x + y2 1,0đ b/ V× AB = CD ; AO = AC =>AO = OC http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com 0,5đ 0,5đ 1,0đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ ...  199 +2 H­íng dÉn: a/ A = (n -1)(n2+1) 1,0đ V× n- 1< n +1 nên để A có giá trị số nguyên tố n 1,0 từ => n=2 => P= n2 +1 =4+1 =  n P Đáp số: n= ; P =5 b/ Ta đặt B = (2n)2 =  x  x  199 +2...PHỊNG GD&ĐT PHÙ NINH Năm học 2011 - 2012 Bµi (4đ): a/ Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau có giá trị số nguyên