PHỊNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm trang) Câu Cho biểu thức: P ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VÒNG II NĂM HỌC: 2011 - 2012 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) x x2 x x x x ( x 1)( x x ) a Rút gọn P b Tính P x 2 c Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên Câu Giải phương trình: a x 10 x 27 x x b x x x x x Câu a Tìm số nguyên x; y thỏa mãn: y xy 3x x 1 2x x 1 b Cho x 1; y , chứng minh: 3 ( x 1) y y x 1 y c Tìm số tự nhiên n để: A n2012 n2002 số nguyên tố Câu Cho hình vng ABCD, có độ dài cạnh a E điểm di chuyển CD (E khác C, D) Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC F, đường thẳng vng góc với AE A cắt đường thẳng CD K 1 không đổi AE AF cos EFK cos EKF sin EFK b Chứng minh: cos AKE sin EKF a Chứng minh: c Lấy điểm M trung điểm đoạn AC Trình bày cách dựng điểm N DM cho khoảng cách từ N đến AC tổng khoảng cách từ N đến DC AD Câu Cho ABCD hình bình hành Đường thẳng d qua A khơng cắt hình bình hành, ba điểm H, I, K hình chiếu B, C, D đường thẳng d Xác định vị trí đường thẳng d để tổng: BH + CI + DK có giá trị lớn Hết./ http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG Câu Ý P a Nội dung cần đạt x x2 x ( x 1) x ( x 2) x ( x 1)( x 2) x( x 2) 2( x 1) x x x x x x x ( x 1)( x 2) x ( x 1)( x 2) x x 2x x x x ( x 1)( x 2) HD CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN V2 NĂM HỌC: 2011 – 2012 Môn thi: TỐN Thời gian: 150 phút( khơng kể thời gian giao đề) x ( x 1)( x 2) ( x 1) x ( x 1)( x 2) ( x 1) x 2 x 2 ( 1) b P ( x 1) 11 22 1 ( x 1) 1 1 0,25 0.5 0.25 x 1 1 x 1 x 1 Học sinh lập luận để tìm x x 0.25 0.25 ĐK: x : 0.25 P 2,25 0.25 ( x 1) ( x 1) VT x 10 x 27 ( x 5) , dấu “=” xẩy x a 0,25 0.25 ĐK: x 0; x : c Điểm VP x x (12 12 )(( x ) ( x 4) ) VP , dấu 1 6 x x4 x 5 “=” xẩy 6 x x4 VT VP x (TMĐK), Vậy nghiệm phương trình: x 0.25 0.25 0.25 ĐK: x Nhận thấy: x nghiệm phương trình, chia hai vế cho x ta có: x2 2x x x x x x b 0 x x (x ) ( x )2 0 x x 4 Đặt x t t x x t , thay vào ta có: x x x t (t 4) t t t (t 3)(t 2) t 2 Đối chiếu ĐK t t 3 x x x x ( x 2)( x 1) x x http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com 0.75 1,75 y xy x x xy y x x ( x y ) ( x 1)( x 2) a (*) VT (*) số phương; VP (*) tích số nguyên liên tiếp nên phải có số 0.5 x 1 x 1 y x x 2 y Vậy có cặp số nguyên ( x; y ) (1;1) ( x; y ) (2; 2) x 1 0; 0; x 1; y x 0; y ( x 1) y y Áp dụng BĐT Côsi cho số dương: 1 3 1.1 2 3 ( x 1) ( x 1) ( x 1) x 1 b 3 (1) x 1 x 1 x 3( x 1) 2 11 33 1.1 y y y y 1 3 1.1 y y y y (2) 0.75 (3) 2.0 Từ (1); (2); (3): x 1 1 3( x 1) 6 3 x 1 y y ( x 1) y y x 1 1 x 3x 2x x 3( ) 3 x 1 y x 1 y ( x 1) y y Xét n A = khơng phải ngun tố; n A = nguyên 0.25 c tố Xét n > 1: A = n2012 – n2 + n2002 – n + n2 + n + = n2((n3)670 – 1) + n.((n3)667 – 1) + (n2 + n + 1) Mà (n3)670 – 1) chia hết cho n3 -1, suy (n3)670 – 1) chia hết cho n2 + n + Tương tự: (n3)667 – chia hết cho n2 + n + Vậy A chia hết cho n2 + n + 1>1 nên A hợp số Số tự nhiên ần tìm n = B A M 0.25 M' 0.5 N N' P E K D H a C Q F Học sinh c/m: ABF = ADK (g.c.g) suy AF = AK http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com 0.5 Trong tam giác vng: KAE có AD đường cao nên: 0,5 1 1 1 hay (không đổi) 2 2 2 AK AE AD AF AE AD a 1 HS c/m S KEF KE.EF sin AEK KE.EF cos AKE 2 1 Mặt khác: S KEF EH KF EH ( KH HF ) Suy ra: 2 b c 0,25 3.0 0,25 : EH KH EH HF KE.EF cos AKE EH ( KH HF ) cos AKE KE.EF EH KH EH HF K cos EKF cosEF K cos AKE sin EF sin EKF EF EK KE EF Giả sử dựng điểm N thỏa mãn NP + NQ = MN Lấy N’ đối xứng N; M’ đối xứng M qua AD suy tam giác ' NN’M cân N MN’ phân giác DMM Cách dựng điểm N: - Dựng M’ đối xứng M qua AD ' - Dựng phân giác DMM cắt DM’ N’ - Dựng điểm N đối xứng N’ qua AD Chú ý: Học sinh khơng trình bày phân tích mà trình bày cách dựng cho điểm tối đa d 0,5 0.25 0.25 0.25 0.25 H I A P B K 1.0 O D C Gọi O giao điểm đường chéo hình bình hành, kẻ OP vng góc 0.25 d P 0.25 HS lập luận BH + CI + DK = 4OP Mà OP AO nên BH + CI + DK 4AO Vậy Max(BH + CI + 0.25 DK) = 4AO Đạt P A hay d vuông góc AC Học sinh làm cách khác với yêu cầu đề chấm điểm tối đa http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com ... 2x x x x ( x 1)( x 2) HD CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN V2 NĂM HỌC: 2011 – 2012 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút( không kể thời gian giao đề) x ( x 1)( x 2) ( x 1) x ( x 1)(...PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG Câu Ý P a Nội dung cần đạt x x2 x ( x 1) x ( x 2) x ( x 1)( x 2) x( x... Vậy Max(BH + CI + 0.25 DK) = 4AO Đạt P A hay d vng góc AC Học sinh làm cách khác với yêu cầu đề chấm điểm tối đa http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com