Đề HSG Toán 9 huyện Thanh Chương 20112012 vòng 243858

PHỊNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm trang) Câu Cho biểu thức: P  ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VÒNG II NĂM HỌC: 2011 - 2012 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) x x2   x  x x  x ( x  1)( x  x ) a Rút gọn P b Tính P x   2 c Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên Câu Giải phương trình: a x  10 x  27   x  x  b x  x  x x  x   Câu a Tìm số nguyên x; y thỏa mãn: y  xy  3x    x 1    2x x  1 b Cho x  1; y  , chứng minh:       3 ( x  1)  y  y  x 1 y  c Tìm số tự nhiên n để: A  n2012  n2002  số nguyên tố Câu Cho hình vng ABCD, có độ dài cạnh a E điểm di chuyển CD (E khác C, D) Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC F, đường thẳng vng góc với AE A cắt đường thẳng CD K 1 không đổi  AE AF ฀ cos EFK ฀ ฀ cos EKF ฀  sin EFK b Chứng minh: cos ฀AKE  sin EKF a Chứng minh: c Lấy điểm M trung điểm đoạn AC Trình bày cách dựng điểm N DM cho khoảng cách từ N đến AC tổng khoảng cách từ N đến DC AD Câu Cho ABCD hình bình hành Đường thẳng d qua A khơng cắt hình bình hành, ba điểm H, I, K hình chiếu B, C, D đường thẳng d Xác định vị trí đường thẳng d để tổng: BH + CI + DK có giá trị lớn Hết./ http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG Câu Ý P a  Nội dung cần đạt x x2   x ( x  1) x ( x  2) x ( x  1)( x  2) x( x  2)  2( x  1)  x  x x  x  x   x   x ( x  1)( x  2) x ( x  1)( x  2) x x  2x  x  x   x ( x  1)( x  2) HD CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN V2 NĂM HỌC: 2011 – 2012 Môn thi: TỐN Thời gian: 150 phút( khơng kể thời gian giao đề) x ( x  1)( x  2) ( x  1)  x ( x  1)( x  2) ( x  1) x   2  x   2   (  1)   b P ( x  1) 11 22    1 ( x  1) 1 1 0,25 0.5 0.25 x 1   1 x 1 x 1 Học sinh lập luận để tìm x  x  0.25 0.25 ĐK:  x  : 0.25 P 2,25 0.25 ( x  1)  ( x  1) VT  x  10 x  27  ( x  5)   , dấu “=” xẩy  x  a 0,25 0.25 ĐK: x  0; x  : c Điểm VP   x  x   (12  12 )((  x )  ( x  4) )  VP  , dấu 1   6 x  x4  x 5 “=” xẩy  6 x x4 VT  VP  x  (TMĐK), Vậy nghiệm phương trình: x  0.25 0.25 0.25 ĐK: x  Nhận thấy: x  nghiệm phương trình, chia hai vế cho x ta có: x2  2x  x x  x    x   x  b  0 x x  (x  )  ( x  )2 0 x x 4 Đặt x   t   t  x    x   t  , thay vào ta có: x x x t   (t  4)  t    t  t    (t  3)(t  2)    t  2 Đối chiếu ĐK t t 3 x  x    x  x    ( x  2)( x  1)    x x  http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com 0.75 1,75 y  xy  x    x  xy  y  x  x   ( x  y )  ( x  1)( x  2) a (*) VT (*) số phương; VP (*) tích số nguyên liên tiếp nên phải có số 0.5 x 1   x  1  y    x    x  2  y  Vậy có cặp số nguyên ( x; y )  (1;1) ( x; y )  (2; 2) x 1  0;  0;  x  1; y   x   0; y   ( x  1) y y Áp dụng BĐT Côsi cho số dương: 1    3 1.1   2 3 ( x  1) ( x  1) ( x  1) x 1 b 3 (1)  x 1   x 1   x   3( x  1) 2   11  33   1.1     y  y   y   y  1    3 1.1    y y y y (2) 0.75 (3) 2.0 Từ (1); (2); (3):  x 1  1 3( x  1)  6    3 x 1 y y ( x  1)  y  y  x 1  1  x  3x  2x x     3(  )   3 x 1 y x 1 y ( x  1)  y  y Xét n  A = khơng phải ngun tố; n  A = nguyên 0.25 c tố Xét n > 1: A = n2012 – n2 + n2002 – n + n2 + n + = n2((n3)670 – 1) + n.((n3)667 – 1) + (n2 + n + 1) Mà (n3)670 – 1) chia hết cho n3 -1, suy (n3)670 – 1) chia hết cho n2 + n + Tương tự: (n3)667 – chia hết cho n2 + n + Vậy A chia hết cho n2 + n + 1>1 nên A hợp số Số tự nhiên ần tìm n = B A M 0.25 M' 0.5 N N' P E K D H a C Q F Học sinh c/m:  ABF =  ADK (g.c.g) suy AF = AK http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com 0.5 Trong tam giác vng: KAE có AD đường cao nên: 0,5 1 1 1 hay      (không đổi) 2 2 2 AK AE AD AF AE AD a 1 HS c/m S KEF  KE.EF sin ฀AEK  KE.EF cos ฀AKE 2 1 Mặt khác: S KEF  EH KF  EH ( KH  HF ) Suy ra: 2 b c 0,25 3.0 0,25 : EH KH  EH HF KE.EF cos ฀AKE  EH ( KH  HF )  cos ฀AKE  KE.EF EH KH EH HF ฀ K cos EKF ฀ ฀ cosEF ฀ K  cos ฀AKE    sin EF  sin EKF EF EK KE EF Giả sử dựng điểm N thỏa mãn NP + NQ = MN Lấy N’ đối xứng N; M’ đối xứng M qua AD suy tam giác ฀ ' NN’M cân N  MN’ phân giác DMM  Cách dựng điểm N: - Dựng M’ đối xứng M qua AD ฀ ' - Dựng phân giác DMM cắt DM’ N’ - Dựng điểm N đối xứng N’ qua AD Chú ý: Học sinh khơng trình bày phân tích mà trình bày cách dựng cho điểm tối đa d 0,5 0.25 0.25 0.25 0.25 H I A P B K 1.0 O D C Gọi O giao điểm đường chéo hình bình hành, kẻ OP vng góc 0.25 d P 0.25 HS lập luận BH + CI + DK = 4OP Mà OP  AO nên BH + CI + DK  4AO Vậy Max(BH + CI + 0.25 DK) = 4AO Đạt P  A hay d vuông góc AC Học sinh làm cách khác với yêu cầu đề chấm điểm tối đa http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com ...  2x  x  x   x ( x  1)( x  2) HD CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN V2 NĂM HỌC: 2011 – 2012 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút( không kể thời gian giao đề) x ( x  1)( x  2) ( x  1)  x ( x  1)(...PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG Câu Ý P a  Nội dung cần đạt x x2   x ( x  1) x ( x  2) x ( x  1)( x  2) x( x... Vậy Max(BH + CI + 0.25 DK) = 4AO Đạt P  A hay d vng góc AC Học sinh làm cách khác với yêu cầu đề chấm điểm tối đa http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com