ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH TÂY NINH MƠN TỐN – LỚP – NĂM HỌC 2021-2022 Câu (4,0 điểm) 2 a) Cho x, y số tự nhiên cho x y xy x y số phương Tính giá trị biểu thức S 5 x y 2022 b) Cho a, b, c số tự nhiên thỏa mãn a b c 30 Tìm dư phép chia a b5 c 2022 cho 30 Câu (4,0 điểm) a) Cho parabol P : y 3x đường thẳng d : y 10 4m x 3m m tham số) Tìm giá trị nguyên m để P cắt (d) hai điểm phân biệt có hồnh độ số dương b) Giải phương trình x 1 x x 4 x Câu (4,0 điểm) x 2 a) Cho x số thực thỏa mãn Rút gọn biểu thức : T 3x 3x x 3x b) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác thỏa mãn M 27 a b c 108abc a b c 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Câu (4.0 điểm) a) Cho tam giác ABC vng A có trọng tâm G BD đường phân giác ABC D AC Biết GDC 90 Tính ABC b) Cho hình vng ABCD Gọi M , N trung điểm cạnh AB, BC E giao điểm CM , DN Chứng minh tam giác AED cân Câu (4,0 điểm) a) Cho điểm A nằm ngồi đường trịn T , tâm O Từ điểm A vẽ tiếp tuyến AB, AC với T , ( B C tiếp điểm) Gọi M trung điểm AB, CM CD.CM T cắt điểm D (D khác C) Tính BC b) Cho tam giác ABC AB AC có trọng tâm G có diện tích 2022 Xét đường thẳng d thay đổi qua điểm G cắt cạnh AB, AC tam giác D E Tìm giá trị nhỏ tổng diện tích tam giác BDE CDE ĐÁP ÁN Câu (4,0 điểm) 2 c) Cho x, y số tự nhiên cho x y xy x y số phương Tính giá trị biểu thức S 5x y 2022 2 Đặt M x y xy x y 2 2 Ta có M x xy y M x y 2 Mà M x y xy x y M x y 2 2 Ta lại có : x y , x y 1 , x y số phương liên tiếp M x y 1 x y 1 Suy Do S 5 x y 2022 2027 d) Cho a, b, c số tự nhiên thỏa mãn a b c 30 Tìm dư phép chia a b5 c 2022 cho 30 Ta có a a a a 1 a 1 a a 1 a 1 Do a 1 a a 1 chia hết cho Nếu a chia cho dư 1;0; a 1 a a 1 chia hết cho a a a a Nếu chia cho dư chia hết cho a a 3 a 3 10 a Nếu chia cho dư chia hết cho 5 5 Do 5; 1 nên a a ; b b; c c chia hết cho 30 Khi 5 Vậy dư phép chia a b c 2022 cho 30 12 Câu (4,0 điểm) a b5 c 2022 a a b5 b c c 68.30 12 c) Cho parabol P : y 3x đường thẳng d : y 10 4m x 3m m tham số) Tìm giá trị nguyên m để P cắt (d) hai điểm phân biệt có hồnh độ số dương Ta có phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) nghiệm phương trình x 10 4m x 3m x 2m x 3m 0 * Yêu cầu tốn thỏa * có hai nghiệm phân biệt dương Điều xảy : 4m 29m ' 3m 0 P S 2m 0 4m 29m 4m 29m 1 m m 2 3 m Do m nguyên nên từ (2) suy m 2, m 1, m 0, m 1, m 2 Lần lượt thay m 2, m 1, m 0, m 1, m 2 vào 1 ta thấy m 2, m 1, m 0 thỏa mãn 2 d) Giải phương trình x 1 x x 4 x Điều kiện Phương trình cho tương đương với : x x x2 4x x2 x 4x2 4x 4x2 4x 4x2 x 4x2 4x 2x 4x x x 0 x x x 0 1 2 (tmdk ) x x 2 x x x 2 x PTVN 1 x Vậy Câu (4,0 điểm) x 2 c) Cho x số thực thỏa mãn Rút gọn biểu thức : T 3x 3x x 3x Ta có T 3x 3x x x 3x 3x 3x 3x 3x 3x 2 x 2 x 0 Do Vậy T 3x 3x 4 d) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác thỏa mãn 2 a b c 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức M 27 a b c 108abc Ta có : a b c a a b c a b c a 2 Tương tự : b a c b a c b , c a b c a b c Từ suy abc a b c b c a c a b Đẳng thức xảy a b c Do a b c 1 nên ta có : abc 2a 2b 2c 1 a b c ab bc ca 8abc ab bc ca 9 M 27 a b c 54 ab bc ca 12 48 ab bc ca abc Khi Hay M 15 ab bc ca Ta lại có : a b c 3 ab bc ca Đẳng thức xảy M 15 a b c 13; M 13 a b c a b c Suy Vậy giá trị nhỏ biểu thức M 13 Câu (4.0 điểm) c) Cho tam giác ABC vng A có trọng tâm G BD đường phân giác ABC D AC Biết GDC 90 Tính ABC A D E G B C M Đặt M trung điểm BC E trung điểm AG EG AG Do nên EAD cân E, suy EDA EAD 1 AM BC Do nên MAC cân M, suy MAC MCA DA EA ED / / MC DC EM Từ (1) (2) suy EDA MCA Khi AB DA AB BC DC Suy BC hay ABC 60 Do tính chất phân giác, ta có d) Cho hình vng ABCD Gọi M , N trung điểm cạnh AB, BC E giao điểm CM , DN Chứng minh tam giác AED cân A D M B H N P C Đặt P trung điểm CD, H giao điểm AP DN Ta có tứ giác APCM hình bình hành (vì AM CP AM / / CP) nên PH / / CE Suy PH đường trung bình tam giác CDE hay H trung điểm DE Do AH đường trung tuyến tam giác AED (3) Ta lại có PAD NDC (vì PAD NDC ) mà PAD APD 90 Suy NDC APD 90 hay AH DE Từ (3), (4) suy AED vừa trung tuyến vừa đường cao nên AED cân H Câu (4,0 điểm) c) Cho điểm A nằm đường tròn T , tâm O Từ điểm A vẽ tiếp tuyến AB, AC với T , ( B C tiếp điểm) Gọi M trung điểm AB, CM cắt T điểm D (D khác C) Tính CD.CM BC E B D M A O C Đặt E điểm đối xứng C qua M Do ACE BEC ( BCAE hình bình hành) ACE CBD (cùng chắn cung CD) CBD BEC hay CBD ∽ CEB BC CD CD.CM BC CD.CE BC 2CD.CM EC CB BC 2 d) Cho tam giác ABC AB AC có trọng tâm G có diện tích 2022 Xét đường thẳng d thay đổi qua điểm G cắt cạnh AB, AC tam giác D E Tìm giá trị nhỏ tổng diện tích tam giác BDE CDE A P E H T D Q G I B M K Đặt M trung điểm BC Kẻ BI , CK song song với d I , K AM Kẻ BP, AH , MT , CQ vng góc với d ( P, H , T , Q d ) dt: diện tích Ta có : MIB MKC MI MK Ta lại có : AB AC AI AK AM IM AM MK AM 3 AD AE AG AG AG AG 1 S BDE SCDE DE BP CQ DE.MT DE AH S ADE 2 Khi : S SCDE AD AE BDE S ABC AB AC AB AC AB AC AD AE , Mà AD AE AD AE đẳng thức xảy AB AC S SCDE 2696 BDE S BDE SCDE S ABC 2696 AD AE S BDE SCDE d / / BC AB AC 2696 BDE , CDE Vậy giá trị nhỏ tổng diện tích tam giác C