012 đề hsg toán 9 tây ninh 21 22

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH TÂY NINH MƠN TỐN – LỚP – NĂM HỌC 2021-2022 Câu (4,0 điểm) 2 a) Cho x, y số tự nhiên cho x  y  xy  x  y  số phương Tính giá trị biểu thức S 5 x  y  2022 b) Cho a, b, c số tự nhiên thỏa mãn a  b  c 30 Tìm dư phép chia a  b5  c  2022 cho 30 Câu (4,0 điểm) a) Cho parabol  P  : y 3x đường thẳng  d  : y  10  4m  x  3m   m tham số) Tìm giá trị nguyên m để  P  cắt (d) hai điểm phân biệt có hồnh độ số dương b) Giải phương trình  x  1 x  x  4 x  Câu (4,0 điểm)  x 2 a) Cho x số thực thỏa mãn Rút gọn biểu thức : T  3x   3x   x   3x  b) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác thỏa mãn M 27  a  b  c   108abc a  b  c 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Câu (4.0 điểm) a) Cho tam giác ABC vng A có trọng tâm G BD đường phân giác ABC  D  AC  Biết GDC 90 Tính ABC b) Cho hình vng ABCD Gọi M , N trung điểm cạnh AB, BC E giao điểm CM , DN Chứng minh tam giác AED cân Câu (4,0 điểm) a) Cho điểm A nằm ngồi đường trịn  T  , tâm O Từ điểm A vẽ tiếp tuyến AB, AC với  T  , ( B C tiếp điểm) Gọi M trung điểm AB, CM CD.CM T  cắt điểm D (D khác C) Tính BC b) Cho tam giác ABC  AB  AC  có trọng tâm G có diện tích 2022 Xét đường thẳng d thay đổi qua điểm G cắt cạnh AB, AC tam giác D E Tìm giá trị nhỏ tổng diện tích tam giác BDE CDE ĐÁP ÁN Câu (4,0 điểm) 2 c) Cho x, y số tự nhiên cho x  y  xy  x  y  số phương Tính giá trị biểu thức S 5x  y  2022 2 Đặt M x  y  xy  x  y  2 2 Ta có M  x  xy  y  M   x  y  2 Mà M  x  y  xy  x  y   M   x  y   2 2 Ta lại có :  x  y  ,  x  y  1 ,  x  y   số phương liên tiếp M  x  y  1  x  y 1 Suy Do S 5 x  y  2022 2027 d) Cho a, b, c số tự nhiên thỏa mãn a  b  c 30 Tìm dư phép chia a  b5  c  2022 cho 30 Ta có a  a a  a  1  a  1 a  a  1  a  1 Do  a  1 a  a  1 chia hết cho Nếu a chia cho dư 1;0;  a  1 a  a 1 chia hết cho a   a    a    a Nếu chia cho dư chia hết cho a   a  3  a  3  10 a Nếu chia cho dư chia hết cho 5 5 Do  5;  1 nên a  a ; b  b; c  c chia hết cho 30       Khi 5 Vậy dư phép chia a  b  c  2022 cho 30 12 Câu (4,0 điểm) a  b5  c  2022  a  a  b5  b  c  c  68.30  12 c) Cho parabol  P  : y 3x đường thẳng  d  : y  10  4m  x  3m   m tham số) Tìm giá trị nguyên m để  P  cắt (d) hai điểm phân biệt có hồnh độ số dương Ta có phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) nghiệm phương trình x  10  4m  x  3m   x    2m  x  3m  0  * Yêu cầu tốn thỏa  * có hai nghiệm phân biệt dương Điều xảy :   4m  29m     '     3m  0  P    S       2m  0    4m  29m    4m  29m    1      m      m   2 3  m   Do m nguyên nên từ (2) suy m  2, m  1, m 0, m 1, m 2 Lần lượt thay m  2, m  1, m 0, m 1, m 2 vào  1 ta thấy m  2, m  1, m 0 thỏa mãn 2 d) Giải phương trình  x  1 x  x  4 x  Điều kiện Phương trình cho tương đương với : x   x x2  4x   x2  x       4x2  4x   4x2  4x   4x2  x  4x2  4x    2x    4x    x  x   0  x  x    x 0  1 2 (tmdk )  x  x  2  x    x  x  2 x   PTVN  1 x Vậy Câu (4,0 điểm)  x 2 c) Cho x số thực thỏa mãn Rút gọn biểu thức : T  3x   3x   x   3x  Ta có T  3x   3x    x   x     3x      3x     3x    3x    3x    3x   2  x 2  x   0 Do Vậy T  3x     3x  4 d) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác thỏa mãn 2 a  b  c 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức M 27  a  b  c   108abc Ta có : a   b  c  a   a  b  c   a  b  c  a 2 Tương tự :  b  a  c   b  a  c  b ,  c  a  b   c  a  b  c Từ suy abc  a  b  c   b  c  a   c  a  b  Đẳng thức xảy a b c Do a  b  c 1 nên ta có : abc   2a    2b    2c  1   a  b  c    ab  bc  ca   8abc   ab  bc  ca  9 M 27  a  b  c   54  ab  bc  ca   12  48  ab  bc  ca   abc  Khi Hay M 15   ab  bc  ca  Ta lại có :  a  b  c  3  ab  bc  ca  Đẳng thức xảy M 15   a  b  c  13; M 13 a b c  a b c Suy Vậy giá trị nhỏ biểu thức M 13 Câu (4.0 điểm) c) Cho tam giác ABC vng A có trọng tâm G BD đường phân giác ABC  D  AC  Biết GDC 90 Tính ABC A D E G B C M Đặt M trung điểm BC E trung điểm AG EG  AG Do nên EAD cân E, suy EDA EAD  1 AM  BC Do nên MAC cân M, suy MAC MCA   DA EA ED / / MC    DC EM Từ (1) (2) suy EDA MCA Khi AB DA AB   BC DC Suy BC hay ABC 60 Do tính chất phân giác, ta có d) Cho hình vng ABCD Gọi M , N trung điểm cạnh AB, BC E giao điểm CM , DN Chứng minh tam giác AED cân A D M B H N P C Đặt P trung điểm CD, H giao điểm AP DN Ta có tứ giác APCM hình bình hành (vì AM CP AM / / CP) nên PH / / CE Suy PH đường trung bình tam giác CDE hay H trung điểm DE Do AH đường trung tuyến tam giác AED (3) Ta lại có PAD NDC (vì PAD NDC ) mà PAD  APD 90 Suy NDC  APD 90 hay AH  DE   Từ (3), (4) suy AED vừa trung tuyến vừa đường cao nên AED cân H Câu (4,0 điểm) c) Cho điểm A nằm đường tròn  T  , tâm O Từ điểm A vẽ tiếp tuyến AB, AC với  T  , ( B C tiếp điểm) Gọi M trung điểm AB, CM cắt  T  điểm D (D khác C) Tính CD.CM BC E B D M A O C Đặt E điểm đối xứng C qua M Do ACE BEC ( BCAE hình bình hành) ACE CBD (cùng chắn cung CD)  CBD BEC hay CBD ∽ CEB BC CD CD.CM   BC CD.CE  BC 2CD.CM   EC CB BC 2 d) Cho tam giác ABC  AB  AC  có trọng tâm G có diện tích 2022 Xét đường thẳng d thay đổi qua điểm G cắt cạnh AB, AC  tam giác D E Tìm giá trị nhỏ tổng diện tích tam giác BDE CDE A P E H T D Q G I B M K Đặt M trung điểm BC Kẻ BI , CK song song với d  I , K  AM  Kẻ BP, AH , MT , CQ vng góc với d ( P, H , T , Q  d ) dt: diện tích Ta có : MIB MKC  MI MK Ta lại có : AB AC AI AK AM  IM  AM  MK AM      3 AD AE AG AG AG AG 1 S BDE  SCDE  DE  BP  CQ  DE.MT  DE AH S ADE 2 Khi : S  SCDE AD AE  BDE  S ABC AB AC AB AC  AB AC  AD AE       , Mà AD AE  AD AE  đẳng thức xảy AB AC S  SCDE 2696  BDE   S BDE  SCDE  S ABC 2696 AD AE  S BDE  SCDE     d / / BC AB AC 2696 BDE , CDE Vậy giá trị nhỏ tổng diện tích tam giác C