SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM 2018 Mơn thi: TỐN – Bảng A Ngày thi: 06/03/2018 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Bài (3,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức 10 3 3 1 b) Cho hai số dương x, y thỏa mãn x3 y x y x 1 27 Tính giá trị biểu thức y Bài (3,0 điểm) a) Với số nguyên n, chứng minh : n(n 2)(73n 1)24 n b) Tìm số tự nhiên n để số phương Bài (5,0 điểm) a) Giải hệ phương trình : 3x 3x 7x 3x y x y 1 b) Giải hệ phương trình : 2x y y 6 Bài (7,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm hai điểm A B Trên nửa mặt phẳng bở đường thẳng AB, vẽ nửa đường trịn đường kính AB nửa đường trịn đường kính BC Lấy điểm M thuộc nửa đường trịn đường kính BC M B;M C Kẻ MH vng góc với BC H BC , đường thẳng MH cắt nửa đường trịn đường kính AB K Hia đường thẳng AK CM giao E CEB a) Chứng minh HKB BE BC.AB b) Từ C kẻ CN AB (N thuộc nửa đường tròn đường kính AB), đường thẳng NK cắt CE P Chứng minh NP = PE c) Chứng minh NE tiếp tuyến nửa đường trịn đường kính AB NE 2.NC Bài (2,0 điểm) Cho a, b số dương thỏa mãn a b 2ab 12 Tìm giá trị nhỏ nhấ biểu thức A a ab b ab a 2b 2a b ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI LỚP QUẢNG NINH 2017-2018 Câu a) Rút gọn biểu thức 3 3 2 5 3 10 1 1 1 x y x y 27x 27y 27x y 0 27 b) Ta có 3x 3 y 3.3x y 0 3x y 3x 3 y 1 3 1 2 y 1 3x 0 x x 3x 3 y 1 9 y y 27 Do x, y >0 nên suy x Vậy giá trị biểu thức y Câu 2 a) Ta có n(n 2)(73n 1) 72n n.(n 2) (n 1)n(n 1)(n 2)24 b) Ta thử n = 1,2,3 khơng thỏa mãn Với n > ta có n k (9 n ) k k 4 Đặt k=4h với h số tự nhiên.Ta có: n h n 2 x 2 y x 2 3 h 2 x h h h h 2 y 2.3 2 y x 2 x y x 1 x y n n 8 h 5 k 20 Vậy n = giá trị phù hợp Câu a) ĐKXĐ: x Phương trình 3x 0 3x 1 3x x 0 Do x x 2 x 0 3 3x 3x 1 x (TMDK) x 3 Suy – 3x =0 Vậy phương trình có nghiệm 3x 7x 3x 0 3x 1 x b) ĐKXĐ: x y 1 0 Cộng theo hai vế phương trình hệ ta được: x 2 x y 1 y 0 (*) x 2 Xét y phương trình (*) x y 1 0 x y x y 2 Thay vào 2x y y 6 y y 12 0 y y 0 y 4 (Vì y 1) Nên x = x x 2 Xét y Khi x y 1 y phương trình vơ nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm x;y 7;4 Câu E Q N K P M A C OH O' B BAE a) Ta có BME BKE 90 nên BMKE nội tiếp HKB CEB mà HKB (cùng phụ BAE với HKA) nên CEB BAE Xét BEC BAE có: CEB ABE chung nên đồng dạng BE BC BE BC.AB AB BE b) Xét tam giác ABN vng N có NC AB Suy BN BC.AB BN BE Hay BNE cân B BNE BEN (1) Theo câu a CEB BAE mà BAE BNP CEB BNP (2) Từ (1) (2) PNE PEN PNE cân P NP PE c) Gọi Q giao điểm tia BP NE Vì BP = BE PN = PE nên BQ NE NE tiếp tuyến (O) nên ON NE Do ON // BQ BNO QBN Mà BNO NBO QBN NBO hay BN tia phân giác CBQ mà NQ BQ NC BC nên NQ = NC Vì BQ đường trung trực NE nên NE 2.NQ suy NE = 2.NC Câu Ta có a b 12 a b 2ab 2 (a b) a b 4 Khi a2 a b b b2 a A a b a b 4 2 a 2b 2a b a b 2ab a 2ab 2ab b a b 4 a b a b Vậy giá trị nhỏ biểu thức A a ab b ab a 2b 2a b a = b =