079 đề hsg toán 9 hậu giang 2017 2018

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH HẬU GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH TRUNG HỌC CƠ SỞ NĂM 2017-2018 Mơn: TỐN Thời gian: 150 phút (không kể giao đề) Câu (2,5 điểm)  x  9  y  y   Tính giá trị biểu thức A   x  6x  9x   y  1 2 2 biết x  16y  7xy xy  x  Câu (5,0 điểm) 1 a) Tìm nghiệm nguyên phương trình x  y  b) Tìm số tự nhiên n cho A n  2n  số phương Câu (4,5 điểm) a b c2 a) Cho a, b,c  chứng minh   a  b  c b c x  y 2(1  xy) b) Giải hệ phương trình  xy  x  y  0 a Câu (5,5 điểm) Cho tam giác nội tiếp đường tròn  O;R  a) Tính theo R chiều dài cạnh chiều cao tam giác ABC b) Gọi M điểm di động cung nhỏ BC  M B;C  Trên tia đối tia MB lấy MD = MC Chứng minh MCD c) Xác định vị trí điểm M cho tổng S MA  MB  MC lớn Tính giá trị lớn S theo R Câu (2,5 điểm) Cho tam giác ABC có chu vi Ký hiệu a, b,c độ dài ba cạnh tam giác Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  a 9b 16   b c  a c a  b a b  c ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HẬU GIANG 2017-2018 Câu ĐKXĐ: y  1;x 0;x 3 Ta có A   x  3  x  3  y  1  y     x  3  y   x(x  3) x  x  3  y  1 x  0  x  4y 0 2 Từ giả thiết x  16y  7xy xy  x    x  4y   x  0   Do A  x 4  y 1 Câu 1 a) Với x, y 0 ta có x  y   xy   2x  2y  xy 0  x  y    2(y  2) 4  (x  2)(y  2) 4 xy Lập bảng xét ước ta có nghiệm  x;y      2;1 ;  1;   ;  3;6  ;  4;4  ;  6;3   2 b) Đặt n  2n  a   a  n  1  a  n  1 7 với a nguyên dương a  n  7  a  n  1 Vì a  n   a  n  nên  a 4  n 2 Câu a2 a) Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:  b 2a b b2 Tương tự ta có:  c 2b c  c2 ;  a 2c a a2 b2 c2 a b2 c2  b   c   a 2a  2b  2c    a  b  c b c a b c a Dấu “ =” xảy a = b = c b) Từ phương trình xy  x  y  0   xy x  y  Thay vào phương trình thứ ta được: x  y 2(x  y  3)  x  y 2x  2y  0  x 3y  Thay vào phương trình thứ hai ta 3y  8y  0   3y    y   0 Với y 2  x 0 Với y   x     Vậy hệ có nghiệm  x;y   0;2  ;   4;      Câu A O B C H M D 3R 3.AO 3R AH  a) Kẻ đường cao AH Ta có AH  ;  R 2 AB  sin B sin 60   b) Tứ giác ABMC nội tiếp nên CMD BAC 600  MCD cân có CMD 600 nên CMD tam giác c) Ta có MCD nên MC = MD = CD    Xét AMC BDC có AC=BC; MC=CD; ACM BCD 600  BCM Nên AMC BDC (c.g.c)  MA BD Do đó: S MA  MB  MC = MA  MB  MD MA  BD 2MA lớn Vậy S lớn MA đường kính đường trịn (O) hay M điểm cung nhỏ BC Câu  b  c  a x  Đặt c  a  b y  a  b  c z  2a y  z  2b z  x 2c z  y  Ta có S y  z 9(z  x) 16(x  y)  y 9x z 16x 9z 16y              2.3  2.4  2.3.4  19 2x 2y 2z 2x y x z y z  8 Giá trị nhỏ S 19 Đạt a  ;b  ;c 