SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC I KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP NĂM HỌC 2021-2022 Mơn thi: TỐN Thời gian: 120 phút Phần trắc nghiệm 1 1 a b c 101 100 Câu 1.Cho với a, b, c số tự nhiên b số nguyên tố Giá trị a b c A.100 B.104 O Câu 2.Cho đường tròn C.103 D.101 ngoại tiếp tam giác ABC Gọi M điểm thuộc cung nhỏ BC đường tròn O Biết MA 6cm, MB 4cm Độ dài đoạn thẳng MC : A.MC 5cm B.MC 2cm C.MC 3cm D.MC 10cm mx y 1 Câu 3.Biết m0 giá trị tham số m để hệ phương trình x my 2m vơ nghiệm Khi giá trị 3m0 A B.4 C.1 D Câu 4.Biết đường thẳng y 3x m cắt trục hoành điểm A, cắt trục tung điểm B Tập hợp tất giá trị tham số m để diện tích tam giác OAB (O gốc tọa B. 6 C. 6 độ) A. 6;6 D. 36;36 Câu 5.Có tất số nguyên tố p cho số p p số nguyên tố ? A.3 B.2 C.4 D.1 Câu 6.Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m để tích hệ số góc hai đường thẳng y m 1 x 2021 y mx 2022 (với m 1, m 0) Tính tổng phần tử S A.6 B C.1 D Câu 7.Cho đường trịn O , có đường kính 10cm hai điểm A, B thuộc đường tròn (O) cho độ dài cung nhỏ AB chu vi đường trịn O Tính khoảng cách từ O đến dây cung AB A.5 3cm B.4 3cm C cm D.3 3cm Câu 8.Cho đường trịn tâm O, bán kính R 8cm tiếp xúc ngồi với đường trịn tâm I, bán kính r 2cm Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn O I hai điểm phân biệt A, B Tính độ dài đoạn thẳng AB A AB 5cm B AB 4cm C AB 6cm D AB 8cm 2 Câu Cho điểm M x0 ; y0 (với x0 0) thuộc đường thẳng y x thỏa mãn x0 y0 17 Giá trị biểu thức x0 x0 y0 A.0 B.4 C.5 D.20 x y x y 13 x y 4 x y 2 x0 ; y0 Câu 10.Biết nghiệm hệ phương trình Giá trị x0 y0 A.6 B.10 Câu 11.Cho biểu thức f a C.1 f x x 12 x 2022 D.3 Biết a 80 80 , giá trị số tự nhiên có chữ số tận : A.4 B.6 C.0 D.1 x , y Câu 12.Cho số thực thay đổi Tìm tất số thực m để giá trị nhỏ 2 F m x y m mx y 3 đạt giá trị lớn A.2 B.6 C.1 Câu 13.Khi hệ phương trình mx y 2m 2m 2 x y 5m x0 ; y0 Giá trị nhỏ biểu thức A.3 B Câu 14.Cho đường thẳng x0 y02 C d : y 2 x m D.0 (m tham số) có nghiệm là parabol D P : y x Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng d cắt parabol P hai điểm phân biệt : A.m B.m 1 C.m 1 D.m Câu 15.Cho ABC có BAC 40 Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Tính số đo BIC A.BIC 135 B.BIC 90 C.BIC 120 D.BIC 110 Câu 16.Cho tam giác ABC nhọn, có BK (K thuộc AC) CE (E thuộc AB) đường cao Đường tròn đường kính AB cắt đoạn CE P, đường trịn đường kính AC cắt đoạn BK Q Biết PAQ 60 AP 5cm Tính độ dài đoạn thẳng PQ A.PQ 7,5cm B.PQ 2,5cm C.PQ 5cm D.PQ 10cm x x x x 8088 2022 2023 Câu 17.Nghiệm x phương trình 1 1 A.x B.x 2 C.x 3 D.x Câu 18.Cho tam giác ABC vng A có AC 7 Biết độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B, C tam giác ABC Tính chu vi tam giác ABC A.14 B.21 C.21 Câu 19.Số nghiệm phương trình A.3 x B.1 B.3 II Câu x x 0 C.2 Câu 20 Gọi A, B số thực cho Giá trị A B A D.14 D.4 2x A B x 1 x 3 x x C.5 với x 1, x 3 D.1 Phần tự luận x P 4 x 1) Cho biểu thức x x x 3 x 2 x x x x x với x 1 a) Rút gọn biểu thức P 19 4P x b) Tìm giá trị x để x 3 x m 1 x m 0 2) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình 2 có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 thỏa mãn x1 x2 x3 91 Câu a) 2x Giải phương trình 21x 55 3x x 5 x x4 y x , y y x số nguyên Chứng b) Cho số nguyên khác thỏa mãn 12 minh x y chia hết cho y 1 Câu Cho tam giác ABC vuông A AB AC có đường cao AH (H thuộc BC) Đường trịn tâm A, bán kính AH cắt đường thẳng AH điểm thứ hai E (E khác H) cắt đoạn AB D Qua điểm B kẻ tiếp tuyến với đường tròn A F F khác H), tiếp tuyến cắt tia CA G Trên cung nhỏ DH đường tròn A lấy điểm M (M khác H , D) , tiếp tuyến với đường tròn A M cắt đường thẳng BC , BG P Q Tia BM cắt đường tròn A N (N khác M) a) Gọi I hình chiếu vng góc H lên đường thẳng AB Chứng bốn điểm A, I , M , N thuộc đường tròn tia IH tia phân giác MIN b) Gọi K , L giao điểm đường thẳng AB với đường thẳng EM , EN Chứng minh đường thẳng HL song song với đường thẳng EK GQ.CP GF BC Câu 4.Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca 3abc Tìm giá trị nhỏ a b2 b2 c2 c2 a2 P a b b c c a 2a 2b 2b 2c 2c 2a biểu thức ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM: học sinh tự giải TỰ LUẬN x P 4 x 3) Cho biểu thức x x x 3 x 2 x x x x x với x 1 c) Rút gọn biểu thức P Ta có : x P 4 x x 1 4 x x x x 3 x 2 x 3 x 2 x x x1 x 2 x 1 x 1 x2 x 2 x x x 1 x x x 2 x 19 4P x d) Tìm giá trị x để Ta có : 19 1 x 19 4P x x x 19 x 0 x x 0 3 x x 36(tmdk ); x 9(tmdk ) 4) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x 3 x m 1 x m2 0 có ba nghiệm phân biệt x12 x22 x32 91 x1 , x2 , x3 thỏa mãn Phương trình ln có nghiệm x3 3 Để phương trình có ba nghiệm phân biệt 2 phương trình x m 1 x m 0 có hai nghiệm phân biệt khác m 1 m m 3 2 * m 6m 15 0 ' 2 3 m 1 m 0 Tức x1 x2 2m Theo Vi-et ta có : x1 x2 m Ta có : 2 2 x1 x2 x3 91 x1 x2 x1 x2 82 13 m m 1 2m 82 0 3m 4m 39 0 (tmdk (*)) m 3 13 m ;3 giá trị cần tìm Vậy 2 Câu c) 2x Giải phương trình x ĐKXĐ: x x 11 21x 55 3x x 5 x Phương trình tương đương x 5(tm) x 0 x 11 3x 3x (*) x 11 x 5 3x x x 5(*) x 40 x 99 5 3x x x 44 x 96 5 3x x x x x 3 x x x 3 3x 3x x 3 (tm) x 1 x x 8 x 8 x 3 S 3;5;8 Vậy x4 y x , y y x số nguyên d) Cho số nguyên khác thỏa mãn 12 Chứng minh x y chia hết cho y x4 a y c ; Đặt y b x d với a, c ; b, d * a; b 1; c; d 1 x y a c ad bc k ad bc kbd , k y x b d bd Ta có ad bc b ad b d b a, b 1; c; d 1 b d b d Suy ad bc d bc d Vì a c x4 y4 x 1 x 1 y 1 y 1 m x, y Mặt khác b d y x ac mbd ac d a d a b mà a, b 1 b 1 x 1 y 1 Ta có Vì x y12 x y12 x x x y12 1 x y12 y 1 M y 1 x 1 y 1 x y12 chia hết cho y Câu Cho tam giác ABC vuông A AB AC có đường cao AH (H thuộc BC) Đường trịn tâm A, bán kính AH cắt đường thẳng AH điểm thứ hai E (E khác H) cắt đoạn AB D Qua điểm B kẻ tiếp tuyến với đường tròn A F F khác H), tiếp tuyến cắt tia CA G Trên cung nhỏ DH đường tròn A lấy điểm M (M khác H , D) , tiếp tuyến với đường tròn A M cắt đường thẳng BC , BG P Q Tia BM cắt đường tròn A N (N khác M) B Q M F G D K P H I C A E L N c) Gọi I hình chiếu vng góc H lên đường thẳng AB Chứng bốn điểm A, I , M , N thuộc đường tròn tia IH tia phân giác MIN Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng AHB có BI B BH Áp dụng phương tích đường trịn ta có : BI BM BN BA BI BM Xét BIM BNA có : ABN chung BN BA nên BIM ∽ BNA(c.g.c) BIM BNA mà BIM AIM 180 BM BN BH BI BA BM BN BNA AIM 180 AIMN tứ giác nội tiếp AIN AMN mà AMN cân A nên AMN BNA BIM AIN BIM HIM HIN Do IH AB Do IH tia phân giác MIN d) Gọi K , L giao điểm đường thẳng AB với đường thẳng EM , EN Chứng minh đường thẳng HL song song với đường thẳng EK GQ.CP GF BC Ta có HIL HNL 180 nên tứ giác HILN nội tiếp 1 HLN HIN HIM MIN MAN MEN 2 Suy Hay HLN MEN HL / / EK Ta có BA phân giác, đường cao BGC nên BGC cân G nên C G 1 Mặt khác PAQ MAP MAQ 1 MAH MAF HAF HAB C 2 Do CPA 180 C CAP 180 PAQ CAP GAQ CPA GAQ Từ (1) (2) suy CPA ∽ GAQ( g.g ) CP CA GQ.CP GA.CA GA2 GA GQ 2 Áp dụng hệ thức lượng ta có GF BG GA GF BC GA GQ.CP GF BC Câu 4.Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca 3abc Tìm giá trị nhỏ a b2 b2 c2 c2 a2 P a b b c c a 2a 2b b c c a biểu thức 1 ab bc ca 3abc 3 a b c Từ giả thiết ta có Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : a b2 2ab a b 2ab a b a b a b a b a b a b Tương tự : a2 b2 2ab a b a b b c a b b2 c bc ; c a 2b 2c b c a b2 ab 2a 2b a b c2 a2 ca 2c 2a ca ab bc ca a b bc c b Áp dụng BĐT Cauchy-schwaz ta có : Do 1 P 1 1 1 1 1 1 a b b c c a a b b c c a Lại áp dụng BĐT Bunhiacoxki P 1 1 1 1 1 18 3 P a b b c c a a b c Vậy GTNN P Đạt a b c 1