038 đề hsg toán 6 cd thanh trì 22 23

UBND HUYỆN THANH TRÌ ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỐN _ CÁNH DIỀU _2022-2023 Câu (3,0 điểm) Thực phép tính : a )936   508   510 : 58  20190   26.18  27 b) 6   1  1               c)                                   12   20   30   42   56   72   90  Câu (3,0 điểm) Tìm số tự nhiên x , biết : a ) x   x  1   x     x  3    x  20  420 b)2 x  x 1  x 2  x 3   x 2020 22023  Câu (3,0 điểm) Bạn Hà có hai ngăn sách Số sách ngăn A 40% số sách ngăn A B Hà cho bạn mượn sách ngăn A nên số sách ngăn A số sách tổng hai ngăn Tính tổng số sách hai ngăn lúc đầu ? Câu (4,0 điểm) a) Tìm tất cặp số nguyên x, y cho xy  x  y 1 10n  A 2n  đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ b) Tìm số tự nhiên n để phân số  xOy  yOz  yOz xOy Câu (5,0 điểm) Cho hai góc kề bù thỏa mãn   a) Tính số đo xOy yOz   b) Vẽ tia Om cho yOm 60 Tia Om có tia phân giác yOz khơng ? Vì ? c) Trong trường hợp Ox, Oy, Oz, Om tia phân biệt, kẻ thêm 30 đường thẳng phân biệt qua điểm O (các đường thẳng không chứa tia Ox, Oy, Oz, Om ) Vẽ đường trịn tâm O bán kính R Gọi A tập hợp giao điểm đường trịn nói tia chung gốc O Tính số đoạn thẳng tạo thành với đầu đoạn thẳng thuộc tập hợp A Câu (2,0 điểm) n n0  cho tổng S 1! 2! 3!  n! số phương a) Tìm số tự nhiên  b) Cho ba số nguyên tố lớn 3, số sau lớn số trước d đơn vị Chứng minh d chia hết cho ĐÁP ÁN Câu (3,0 điểm) Thực phép tính : a )936   508   510 : 58  20190   936   508   52  1  936   508  5.26 936   508  208 936  300  636 27   1 26.18  27 2.10 10 b) 6       3 22 11  1  1               c)                                   12   20   30   42   56   72   90  1  1  9   1                      9.10  10   1.2 2.3 3.4  2  10  10 Câu (3,0 điểm) Tìm số tự nhiên x , biết : a ) x   x  1   x     x  3    x  20  420 x  x   x    x  20 420   x  x   x   (1     20) 420 21.20 420  21x  210 420  21x 210  x 10 b)2 x  x 1  x 2  x 3   x 2020 22023  21x  x (1   22   22020 ) 2  2021  1  1 2020 2021 Đặt A 1       A 2      A  A 22021   A 22021   1  x  22021  1 22  22021  1  x 22  x 2 Vậy x=2 Câu (3,0 điểm) Bạn Hà có hai ngăn sách Số sách ngăn A 40% số sách ngăn A B Hà cho bạn mượn sách ngăn A nên số sách ngăn A số sách tổng hai ngăn Tính tổng số sách hai ngăn lúc đầu ? 2 Lúc đầu số sách ngăn A số sách ngăn B Lúc sau số sách ngăn A số sách ngăn B 40%  1   sách ứng với số sách ngăn B : 30 30 20 Vậy số sách ngăn B : , số sách ngăn A : Số sách hai ngăn A B : 20  30 50 (quyển sách) Câu (4,0 điểm) c) Tìm tất cặp số nguyên x, y cho xy  x  y 1 xy  x  y 1  ( xy  x)  ( y  2)  1  x  y    ( y  2) 3  ( x  1)( y  2) 3     1.3 3.1 x y x 1 3 3 1 2 3 y 1 Đối chiếu điều kiện x; y  Z   x; y     0;  1 ;   2;1 ;  2;5  ;  4;3   10n  A 2n  đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ d) Tìm số tự nhiên n để phân số 10n  5  2n  3  10 10 A  5  2n  2n  2n  10 10 5  2n  nhỏ 2n  lớn nên 2n+3 nhỏ Để A đạt GTNN Mà 2n  3 , nhỏ n 0 10n  5 n 0  A  A 2n  nhỏ Vậy  xOy  yOz xOy yOz Câu (5,0 điểm) Cho hai góc kề bù thỏa mãn y m z O x   d) Tính số đo xOy yOz     Vì xOy yOz hai góc kề bù nên xOy  yOz 180 mà 1   xOy  yOz  yOz  yOz 180  yOz 120  xOy 60 2   e) Vẽ tia Om cho yOm 60 Tia Om có tia phân giác yOz khơng ? Vì ? *) Nếu Om tia nằm nửa mặt phẳng bờ Oy có chứa tia Ox   Mà xOy  yOm 60 nên tia Om trùng với tia Ox  Do tia Om khơng tia phân giác yOz *) Nếu Om tia nằm nửa mặt phẳng bờ Oy không chứa tia Ox     Ta có yOm 60 , yOz 120  yOz  xOy  Tia Om nằm hai tia Oy Oz (1)    yOm  mOz  yOz  mOz 60 (vì yOm 60 ; yOz 120 ) Suy yOm mOz   2  Từ (1) (2) ta có tia Om tia phân giác yOz f) Trong trường hợp Ox, Oy, Oz, Om tia phân biệt, kẻ thêm 30 đường thẳng phân biệt qua điểm O (các đường thẳng không chứa tia Ox, Oy, Oz, Om ) Vẽ đường trịn tâm O bán kính R Gọi A tập hợp giao điểm đường trịn nói tia chung gốc O Tính số đoạn thẳng tạo thành với đầu đoạn thẳng thuộc tập hợp A Mỗi đường thẳng qua điểm O cắt đường trịn tâm O bán kính R hai điểm phân biệt nên có giao điểm đường thẳng qua điểm O với đường tròn tâm O bán kính R Mà có 30 đường thẳng phân biệt qua điểm O ( đường thẳng không chứa tia Ox, Oy, Oz , Om ) nên số giao điểm 30 đường thẳng với đường tròn tâm O : 2.30 60 (giao điểm) Vì tia Ox, Oy, Oz, Om tia phân biệt nên có giao điểm tia với đườn trịn tâm O Số phần tử tập hợp A: 60  64 (giao điểm) Nối điểm với 63 điểm lại tập A ta 63 đoạn thẳng Mà có tất 64 điểm nên số đoạn thẳng : 63.64 4032 (đoạn thẳng) Tuy nhiên đoạn thẳng tính lần nên số đoạn thẳng có : 4032 : 2016 (đoạn thẳng) Vậy số đoạn thẳng tạo thành với đầu đoạn thẳng thuộc tập hợp A 2016 đoạn thẳng Câu (2,0 điểm) c) Tìm số tự nhiên n  n  0 cho tổng S 1! 2! 3!  n! số phương Vì n  N ; n  nên : +) Nếu n 1  S 1 (là số phương) nên n 1 thỏa mãn +) Nếu n 2 ta có : S 1! 2! 3 (khơng số phương) nên n 2 khơng thỏa mãn +) Nếu n 3 ta có S 1! 2! 3! 9 (là số phương) nên n 3 thỏa mãn +) Nếu n 4 ta có : S 1! 2! 3! 4! 33 (khơng số phương) nên n 4 không thỏa mãn +) Nếu n 5 ta có 5! 120 nên S số tự nhiên có chữ số tận Mà số phương có chữ số tận chữ số 1; 4;5; 6;9 S khơng số phương với n 5 n  1;3   Vậy d) Cho ba số nguyên tố lớn 3, số sau lớn số trước d đơn vị Chứng minh d chia hết cho Gọi ba số nguyên tố lớn a, b, c Giả sử a  b  c Vì a, b, c ba số nguyên tố lớn nên a, b, c ba số nguyên tố lẻ Vì số sau lớn số trước d đơn vị, số nguyên tố khác số lẻ nên d số chẵn  a  b d  b  c d  a  c 2d  Vì a, b, c ba số nguyên tố lớn nên a, b, c không chia hết cho Do số a, b, c ln tồn số có số dư chia hiệu hai số chia hết cho  d 3    d 3  UCLN (2,3) 1  2d 3 mà d số chẵn nên d 2 Vậy d 6 (đpcm)