UBND HUYỆN THANH TRÌ ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỐN _ CÁNH DIỀU _2022-2023 Câu (3,0 điểm) Thực phép tính : a )936 508 510 : 58 20190 26.18 27 b) 6 1 1 c) 12 20 30 42 56 72 90 Câu (3,0 điểm) Tìm số tự nhiên x , biết : a ) x x 1 x x 3 x 20 420 b)2 x x 1 x 2 x 3 x 2020 22023 Câu (3,0 điểm) Bạn Hà có hai ngăn sách Số sách ngăn A 40% số sách ngăn A B Hà cho bạn mượn sách ngăn A nên số sách ngăn A số sách tổng hai ngăn Tính tổng số sách hai ngăn lúc đầu ? Câu (4,0 điểm) a) Tìm tất cặp số nguyên x, y cho xy x y 1 10n A 2n đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ b) Tìm số tự nhiên n để phân số xOy yOz yOz xOy Câu (5,0 điểm) Cho hai góc kề bù thỏa mãn a) Tính số đo xOy yOz b) Vẽ tia Om cho yOm 60 Tia Om có tia phân giác yOz khơng ? Vì ? c) Trong trường hợp Ox, Oy, Oz, Om tia phân biệt, kẻ thêm 30 đường thẳng phân biệt qua điểm O (các đường thẳng không chứa tia Ox, Oy, Oz, Om ) Vẽ đường trịn tâm O bán kính R Gọi A tập hợp giao điểm đường trịn nói tia chung gốc O Tính số đoạn thẳng tạo thành với đầu đoạn thẳng thuộc tập hợp A Câu (2,0 điểm) n n0 cho tổng S 1! 2! 3! n! số phương a) Tìm số tự nhiên b) Cho ba số nguyên tố lớn 3, số sau lớn số trước d đơn vị Chứng minh d chia hết cho ĐÁP ÁN Câu (3,0 điểm) Thực phép tính : a )936 508 510 : 58 20190 936 508 52 1 936 508 5.26 936 508 208 936 300 636 27 1 26.18 27 2.10 10 b) 6 3 22 11 1 1 c) 12 20 30 42 56 72 90 1 1 9 1 9.10 10 1.2 2.3 3.4 2 10 10 Câu (3,0 điểm) Tìm số tự nhiên x , biết : a ) x x 1 x x 3 x 20 420 x x x x 20 420 x x x (1 20) 420 21.20 420 21x 210 420 21x 210 x 10 b)2 x x 1 x 2 x 3 x 2020 22023 21x x (1 22 22020 ) 2 2021 1 1 2020 2021 Đặt A 1 A 2 A A 22021 A 22021 1 x 22021 1 22 22021 1 x 22 x 2 Vậy x=2 Câu (3,0 điểm) Bạn Hà có hai ngăn sách Số sách ngăn A 40% số sách ngăn A B Hà cho bạn mượn sách ngăn A nên số sách ngăn A số sách tổng hai ngăn Tính tổng số sách hai ngăn lúc đầu ? 2 Lúc đầu số sách ngăn A số sách ngăn B Lúc sau số sách ngăn A số sách ngăn B 40% 1 sách ứng với số sách ngăn B : 30 30 20 Vậy số sách ngăn B : , số sách ngăn A : Số sách hai ngăn A B : 20 30 50 (quyển sách) Câu (4,0 điểm) c) Tìm tất cặp số nguyên x, y cho xy x y 1 xy x y 1 ( xy x) ( y 2) 1 x y ( y 2) 3 ( x 1)( y 2) 3 1.3 3.1 x y x 1 3 3 1 2 3 y 1 Đối chiếu điều kiện x; y Z x; y 0; 1 ; 2;1 ; 2;5 ; 4;3 10n A 2n đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ d) Tìm số tự nhiên n để phân số 10n 5 2n 3 10 10 A 5 2n 2n 2n 10 10 5 2n nhỏ 2n lớn nên 2n+3 nhỏ Để A đạt GTNN Mà 2n 3 , nhỏ n 0 10n 5 n 0 A A 2n nhỏ Vậy xOy yOz xOy yOz Câu (5,0 điểm) Cho hai góc kề bù thỏa mãn y m z O x d) Tính số đo xOy yOz Vì xOy yOz hai góc kề bù nên xOy yOz 180 mà 1 xOy yOz yOz yOz 180 yOz 120 xOy 60 2 e) Vẽ tia Om cho yOm 60 Tia Om có tia phân giác yOz khơng ? Vì ? *) Nếu Om tia nằm nửa mặt phẳng bờ Oy có chứa tia Ox Mà xOy yOm 60 nên tia Om trùng với tia Ox Do tia Om khơng tia phân giác yOz *) Nếu Om tia nằm nửa mặt phẳng bờ Oy không chứa tia Ox Ta có yOm 60 , yOz 120 yOz xOy Tia Om nằm hai tia Oy Oz (1) yOm mOz yOz mOz 60 (vì yOm 60 ; yOz 120 ) Suy yOm mOz 2 Từ (1) (2) ta có tia Om tia phân giác yOz f) Trong trường hợp Ox, Oy, Oz, Om tia phân biệt, kẻ thêm 30 đường thẳng phân biệt qua điểm O (các đường thẳng không chứa tia Ox, Oy, Oz, Om ) Vẽ đường trịn tâm O bán kính R Gọi A tập hợp giao điểm đường trịn nói tia chung gốc O Tính số đoạn thẳng tạo thành với đầu đoạn thẳng thuộc tập hợp A Mỗi đường thẳng qua điểm O cắt đường trịn tâm O bán kính R hai điểm phân biệt nên có giao điểm đường thẳng qua điểm O với đường tròn tâm O bán kính R Mà có 30 đường thẳng phân biệt qua điểm O ( đường thẳng không chứa tia Ox, Oy, Oz , Om ) nên số giao điểm 30 đường thẳng với đường tròn tâm O : 2.30 60 (giao điểm) Vì tia Ox, Oy, Oz, Om tia phân biệt nên có giao điểm tia với đườn trịn tâm O Số phần tử tập hợp A: 60 64 (giao điểm) Nối điểm với 63 điểm lại tập A ta 63 đoạn thẳng Mà có tất 64 điểm nên số đoạn thẳng : 63.64 4032 (đoạn thẳng) Tuy nhiên đoạn thẳng tính lần nên số đoạn thẳng có : 4032 : 2016 (đoạn thẳng) Vậy số đoạn thẳng tạo thành với đầu đoạn thẳng thuộc tập hợp A 2016 đoạn thẳng Câu (2,0 điểm) c) Tìm số tự nhiên n n 0 cho tổng S 1! 2! 3! n! số phương Vì n N ; n nên : +) Nếu n 1 S 1 (là số phương) nên n 1 thỏa mãn +) Nếu n 2 ta có : S 1! 2! 3 (khơng số phương) nên n 2 khơng thỏa mãn +) Nếu n 3 ta có S 1! 2! 3! 9 (là số phương) nên n 3 thỏa mãn +) Nếu n 4 ta có : S 1! 2! 3! 4! 33 (khơng số phương) nên n 4 không thỏa mãn +) Nếu n 5 ta có 5! 120 nên S số tự nhiên có chữ số tận Mà số phương có chữ số tận chữ số 1; 4;5; 6;9 S khơng số phương với n 5 n 1;3 Vậy d) Cho ba số nguyên tố lớn 3, số sau lớn số trước d đơn vị Chứng minh d chia hết cho Gọi ba số nguyên tố lớn a, b, c Giả sử a b c Vì a, b, c ba số nguyên tố lớn nên a, b, c ba số nguyên tố lẻ Vì số sau lớn số trước d đơn vị, số nguyên tố khác số lẻ nên d số chẵn a b d b c d a c 2d Vì a, b, c ba số nguyên tố lớn nên a, b, c không chia hết cho Do số a, b, c ln tồn số có số dư chia hiệu hai số chia hết cho d 3 d 3 UCLN (2,3) 1 2d 3 mà d số chẵn nên d 2 Vậy d 6 (đpcm)