014 đề hsg toán 9 bắc giang 2016 2017

PHÒNG GD&ĐT TP BẮC GIANG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2016-2017 Mơn: Tốn lớp Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (5 điểm) b với a, b > a b b a Rút gọi M tính giá trị biểu thức M biết   a    b   ab 1   18 3 b Tìm số nguyên a, b thoả mãn a b a  b c Cho a, b, c thỏa mãn a  b  c 7 ; a  b  c 23 ; abc 3 1   Tính giá trị biểu thức H= ab  c  bc  a  ca  b  a Cho biểu thức M= a ab b  a b a  a b Bài 2: (4,5 điểm) a Tính giá trị biểu thức N= 4  4  13  27  10 2 b Cho a, b số hữu tỉ thỏa mãn  a  b    a  b  + (1  ab)  4ab Chứng minh  ab số hữu tỉ c Giải phương trình x  x  2 x    x  Bài 3: (3,5 điểm) a Tìm tất cặp số nguyên (x;y) thoả mãn x5  y  xy  b Cho a, b, c>0 thỏa mãn abc=1 Chứng minh 1    ab  a  bc  b  ca  c  2 Bài 4: (6 điểm) Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường trịn vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn, Ax lấy M cho AM > R Từ M vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn, từ C vẽ CH vng góc với AB, CE vng góc với AM Đường thẳng vng góc với AB O cắt BC N Đường thẳng MO cắt CE, CA, CH Q, K, P a Chứng minh MNCO hình thang cân b MB cắt CH I Chứng minh KI song song với AB c Gọi G F trung điểm AH AE Chứng minh PG vng góc với QF Bài 5: (1 điểm) Tìm số nguyên dương n lớn để A= 427 + 42016 + 4n số phương Họ tên thí sinh SBD: HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2016-2017 MƠN: TỐN LỚP Câu Bài a/ 1,5đ Nội Dung -Rút gọn M= Điểm 4đ ab với a, b>0 a b a b 0,75 -Ta có 1  a  1  b    ab  a ab 1  ab  a  b   ab 1 b  ( ab ) 1  a b 0,25 ab 1 a b + Nếu a>b>0  a b a b  0; ab    ab ab   a b a b ab 0 a b 0,25 ab 1  M 1 a b + 00 ta có x  y 2 xy   x  y  4 xy  x y 4 x y 0,5 áp dụng ta có 1 1    ab  a  ab   a  ab  abc  a  ab( c  1)  ( a  1) 1 1   abc  1 c               ab( c  1) a    ab( c  1) a    c  a   1 c     Vây ta có  ab  a   c  a   1 a  1 b        Tương tự ta có ;  nên bc  b   a  b   ca  c   b  c   1   3     ab  a  bc  b  ca  c   1 c a b   3         c 1 a 1 a 1 b 1 b 1 c 1  1    dấu “=” có a=b=c=1 Vậy ab  a  bc  b  ca  c  2 0,5 0,25 6đ Bài N M E Q F K A C I T G O H P B a/ 2đ -Ta có ACB nội tiếp đường trịn (vì ) mà AB đường kính nên ACB vng C  AC  BN Ta có MA=MC ( ), OA=OC ( ) nên MO trung trực AC    MO  AC  MO // NB  MOA  NBO   -Ta có OA  MA ( )  MAO  NOB 900 ; xét MAO NOB có     MAO NOB 900 ; MOA  NBO ; OA OB R  MAO NOB  MO  NB -Ta có MO // NB; MO  NB  MNBO hình bình hành.Ta có MAO = NOB (cm trên) nên ta có NO=MA, mà MA=MC ( ) nên NO=MC MNBO hình thang cân b/ 2đ c/ 2đ     -Xét CHB MAO có MAO ( cm trên)  NOB 900 ; CBH MOA CH HB HB   MA AO R -Ta có CH  AB (gt) ; MA  AB ( ) IH HB HB  CH // MA  IH // MA    MA AB R CH HB HB IH IH  2  2    CH 2 IH  IC  IH -Nên ta có  MA R 2R MA MA -Chi KI đường trung bình tam giác ACH  KI // AB 0,5 0,75 0,75 0,5  CHB MAO  -Chưng minh FQIO hình bình hành  QF // IO -Chưng minh O trục tâm tam giác GIP 0,5 0,5 0,5 0,75 0,75 0,5 1đ 0,25  PG  OI  PG  QF Bài * A 4 27  2016  4n  27    41989  n  27  Vì A  227  số phương nên  41989  4n 27 số phương Ta có  41989  4n 27 > n  27 (2 n  27 ) *mà  41989  4n 27 số phương nên ta có 0,5 n 27  1  2n  27 23977  n 4004  41989  n 27  2 Với n=4004 ta có A= A 427  42016  4004  227  24004  số phương Vậy n=4004 A=427+42016+4n số phương 0,25