PHÒNG GD&ĐT TP BẮC GIANG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2016-2017 Mơn: Tốn lớp Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (5 điểm) b với a, b > a b b a Rút gọi M tính giá trị biểu thức M biết a b ab 1 18 3 b Tìm số nguyên a, b thoả mãn a b a b c Cho a, b, c thỏa mãn a b c 7 ; a b c 23 ; abc 3 1 Tính giá trị biểu thức H= ab c bc a ca b a Cho biểu thức M= a ab b a b a a b Bài 2: (4,5 điểm) a Tính giá trị biểu thức N= 4 4 13 27 10 2 b Cho a, b số hữu tỉ thỏa mãn a b a b + (1 ab) 4ab Chứng minh ab số hữu tỉ c Giải phương trình x x 2 x x Bài 3: (3,5 điểm) a Tìm tất cặp số nguyên (x;y) thoả mãn x5 y xy b Cho a, b, c>0 thỏa mãn abc=1 Chứng minh 1 ab a bc b ca c 2 Bài 4: (6 điểm) Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường trịn vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn, Ax lấy M cho AM > R Từ M vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn, từ C vẽ CH vng góc với AB, CE vng góc với AM Đường thẳng vng góc với AB O cắt BC N Đường thẳng MO cắt CE, CA, CH Q, K, P a Chứng minh MNCO hình thang cân b MB cắt CH I Chứng minh KI song song với AB c Gọi G F trung điểm AH AE Chứng minh PG vng góc với QF Bài 5: (1 điểm) Tìm số nguyên dương n lớn để A= 427 + 42016 + 4n số phương Họ tên thí sinh SBD: HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2016-2017 MƠN: TỐN LỚP Câu Bài a/ 1,5đ Nội Dung -Rút gọn M= Điểm 4đ ab với a, b>0 a b a b 0,75 -Ta có 1 a 1 b ab a ab 1 ab a b ab 1 b ( ab ) 1 a b 0,25 ab 1 a b + Nếu a>b>0 a b a b 0; ab ab ab a b a b ab 0 a b 0,25 ab 1 M 1 a b + 00 ta có x y 2 xy x y 4 xy x y 4 x y 0,5 áp dụng ta có 1 1 ab a ab a ab abc a ab( c 1) ( a 1) 1 1 abc 1 c ab( c 1) a ab( c 1) a c a 1 c Vây ta có ab a c a 1 a 1 b Tương tự ta có ; nên bc b a b ca c b c 1 3 ab a bc b ca c 1 c a b 3 c 1 a 1 a 1 b 1 b 1 c 1 1 dấu “=” có a=b=c=1 Vậy ab a bc b ca c 2 0,5 0,25 6đ Bài N M E Q F K A C I T G O H P B a/ 2đ -Ta có ACB nội tiếp đường trịn (vì ) mà AB đường kính nên ACB vng C AC BN Ta có MA=MC ( ), OA=OC ( ) nên MO trung trực AC MO AC MO // NB MOA NBO -Ta có OA MA ( ) MAO NOB 900 ; xét MAO NOB có MAO NOB 900 ; MOA NBO ; OA OB R MAO NOB MO NB -Ta có MO // NB; MO NB MNBO hình bình hành.Ta có MAO = NOB (cm trên) nên ta có NO=MA, mà MA=MC ( ) nên NO=MC MNBO hình thang cân b/ 2đ c/ 2đ -Xét CHB MAO có MAO ( cm trên) NOB 900 ; CBH MOA CH HB HB MA AO R -Ta có CH AB (gt) ; MA AB ( ) IH HB HB CH // MA IH // MA MA AB R CH HB HB IH IH 2 2 CH 2 IH IC IH -Nên ta có MA R 2R MA MA -Chi KI đường trung bình tam giác ACH KI // AB 0,5 0,75 0,75 0,5 CHB MAO -Chưng minh FQIO hình bình hành QF // IO -Chưng minh O trục tâm tam giác GIP 0,5 0,5 0,5 0,75 0,75 0,5 1đ 0,25 PG OI PG QF Bài * A 4 27 2016 4n 27 41989 n 27 Vì A 227 số phương nên 41989 4n 27 số phương Ta có 41989 4n 27 > n 27 (2 n 27 ) *mà 41989 4n 27 số phương nên ta có 0,5 n 27 1 2n 27 23977 n 4004 41989 n 27 2 Với n=4004 ta có A= A 427 42016 4004 227 24004 số phương Vậy n=4004 A=427+42016+4n số phương 0,25