ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỐN SGD BÌNH DƯƠNG NĂM HỌC:2016-2017 Câu 1: (5 điểm) a) Tìm tất ngiệm nguyên phương trình x y 2017 b) Xác định số điện thoại THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số dạng 82xxyy với xxyy số phương Câu 2: (4 điểm) Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R ) , M (O; R ) Chứng minh rằng: MA2 MB MC 6 R Câu 3: (3 điểm) x2 a) Giải phương trình: x x 1 ( x y ) 5 xy b) Giải hệ phương trình: ( x y ) 49 x2 y Câu 4: (3 điểm) a) Chứng 2 minh (a c )(b d ) ( ab cd ) với số a, b, c, d ta b) Cho a, b chứng minh rằng: a2 b2 (4a 3b)(3a 4b) 25 Câu 5: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD Gọi M , N , P, Q trung điểm AB, BC , CA, DA Chứng minh rằng: S ABCD MP.NQ ( AB CD)( AD BC ) Câu 6: (2,0 điểm) Cho đa giác lồi có 12 cạnh a) Tìm số đường chéo b) Tìm số tam giác có cạnh cạnh đa giác ? có: A M BÌNH DƯƠNG K LỜI GIẢI ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN SGD NĂM HỌC 2016-2017 H I O Người giải đề: Triệu Tiến TuấnC Câu 1: (5 điểm) a) Tìm tất ngiệm nguyên phương trình x y 2017 b) Xác định số điện thoại THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số dạng 82xxyy với xxyy số phương Lời giải a) Phương trình: x y 2017 ( x, y 0) x 20172 y 4034 y Do x, y Z y Z Vậy nghiệm tổng quát phương trình là: x a ; y (2017 a )2 b) Ta có: xxyy 11x0 y số phương nên x0 y 11 100 x y 11 99 x x y 11 x y 11 x y 11 x y 0 x y 0 x y 11 Ta có: xxyy 11x0 y 11(99 x x y ) 11(99 x 11) 112 (9 x 1) x số phương x 7 y 4 Vậy xxyy 7744; xxyy 0000 Câu 2: (4 điểm) Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R ) , M (O; R ) Chứng minh rằng: MA2 MB MC 6 R Lời giải Giả sử M AC Dễ thấy: MA MC MB (trên MB lấy I cho MI MC , ta chứng minh: IB MA ) Đặt: MA x; MB y;MC y x Ta có: B AM BM CM x y ( x y )2 2( x y xy ) x (1) Kẻ AH BM MH AH x Mà BH MB MH y BH MB MH y x x AB AH BH x y x xy x y xy (2) 4 Từ (1), (2) AM BM CM 2 AB 2( R 3) 6 R (dpcm) Câu 3: (3 điểm) x2 a) Giải phương trình: x x2 3 1 ( x y ) 5 xy b) Giải hệ phương trình: ( x y ) 49 x2 y Lời giải x2 a) Phương trình: x 3 9 x 0 Điều kiện: 3 x 0 x2 x2 1 x 3 x 0 3 1 x2 3 9 x 1 4 3 x x x 0 11 3 9 x 9 x x 2 x2 3 x2 x2 2 2 x 11 (tmdk ) 2 x2 3 x2 1 ( x y ) 5 xy dk : x, y 0 b) Hệ phương trình: ( x y ) 49 x2 y 1 x y x y 5 x y 49 x2 y 1 x x y y 5 2 x y 53 x y Đặt x x a; y y b ta được: a b 5 a 5 b 2 a b 53 2b 10b 28 0 b 7; a b 2; a 7 x x a b 7 y 7 y x 3 y x x 7 a 7 b y y 3 x y Câu 4: (3 điểm) a) Chứng minh với số a, b, c, d ta (a c )(b d ) ( ab cd )2 b) Cho a, b chứng minh rằng: a2 b2 (4a 3b)(3a 4b) 25 Lời giải a) Ta có: (a c )(b d ) (ab cd ) a 2b a d c 2b c d a 2b c d 2abcd a d c 2b 2abcd 0 ad cb 0 b) Ta có: a2 b2 25a 25b2 (4a 3b)(3a 4b) (4a 3b)(3a 4b) 25 13(a b ) 25ab 13(a b) ab 0 ln có: Dấu “=” khơng xảy ra, vậy: Câu 5: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD AB, BC , CA, DA a2 b2 (4a 3b)(3a 4b) 25 Gọi M , N , P, Q Chứng trung điểm minh rằng: S ABCD MP.NQ ( AB CD)( AD BC ) Lời giải Ta có: MP.NQ 2S MNPQ S ABCD Gọi R trung điểm AC , ta có : A 1 NR AB; QR CD 2 M Suy ra: NQ NR QR ( AB CD) Q R Tương tự: PM ( AD BC ) MP NQ ( AB CD )( AD BC ) S ABCD MP.NQ ( AB CD)( AD BC ) N D P C Câu 6: (2 điểm) Cho đa giác lồi có 12 cạnh a) Tìm số đường chéo b) Tìm số tam giác có cạnh cạnh đa giác ? Lời giải a) Số đường chéo đa giác là: 12 12 3 54 b) Nhận thấy với cạnh tam giác, ta lập 10 tam giác mà tam giác thỏa mãn đề mà đa giác ban đầu có 12 cạnh nên số tam giác thỏa mãn đề 10.12 120 Tuy nhiên tính theo cách tam giác mà có cạnh cạnh kề đa giác cho tính lần Ta có số tam giác tính lần 12 tam giác nên số tam giác thỏa mãn đề thực chất là: 120 12 108 tam giác