PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TRỰC NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 -2017 MÔN TOÁN LỚP Thi ngày 08 tháng 11 năm 2016 ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm 120 phút, khơng kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang) - Bài (4,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức: A = 2) Cho A 3 3 3 2 3 x x x x x x 1 x x 1 a) Nêu điều kiện xác định rút gọn biểu thức A b) Đặt B = A + x – Tìm giá trị nhỏ biểu thức B Bài (4,0 điểm) Giải phương trình 1) Giải phương trình : x2 x x x x 3 2) Giải phương trình: x x 12 x 3x x Bài (3,0 điểm) 1) Chứng minh với k số ngun 2016k + khơng phải lập phương số nguyên 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình x 25 y ( y 6) Bài (7,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi C điểm nằm nửa đường tròn (O) (C khác A, C khác B) Gọi H hình chiếu vng góc C AB, D điểm đối xứng với A qua C, I trung điểm CH, J trung điểm DH · · a) Chứng minh CIJ = CBH b) Chứng minh D CJH đồng dạng với D HIB c) Gọi E giao điểm HD BI Chứng minh HE.HD = HC2 d) Xác định vị trí điểm C nửa đường trịn (O) để AH + CH đạt giá trị lớn Bài (2,0 điểm) Cho a, b, c Chứng minh a b c b c ca a b -HẾT -Họ tên thí sinh:…………… …… …… Họ, tên chữ ký GT1:…………………… Số báo danh:……………….…… ……… Họ, tên chữ ký GT2:…………………… PHÒNG GD-ĐT HUYỆN TRỰC NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn thi : Toán Bài Câu Nội dung 3 Rút gọn biểu thức: A = Câu (1,75đ) 3 A= A= 3 2( 3) ( 1) 3 2 3 5 3 2(3 2 2 62 ( 1) 2 3 2( 3) = 5) Điểm 3 2(3 2 5) 0,75 6 2( 3) 2(3 5) 3 3 0,5 0,5 A= 2 x2 x x2 x x x 1 x x 1 a) ĐKXĐ: x 0 A Bài (4 đ) x x3 x2 x x2 x A x x 1 x x 1 x x 1 Câu (2,25) x x x x 1 x x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 0,5 x x x 1 x1 x x 0,25 0,5 x 1 x x x x x x b) B = A + x – 1= x x x x x 1 0,5 Dấu “=” xảy x 0 x 1 ( TM ĐKXĐ) Vậy GTNN biểu thức B=-2 x=1 0,25 0,25 Bài (4 đ) 1) Giải phương trình : x x x x Câu (2đ) x 3 ĐKXĐ : x 1 0,25 x2 x x x x 3 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 3 x 3 x 3 (*) Nếu x 2 phương trình (*) x 3 x 3 x 1 x x 1 x x 2 16( x 1) x x x 10 x 25 0 ( x 5) 0 x 5 (TM) Nếu x phương trình (*) x 3 x 3 x 1 1 x 2 x x 1 ( TM) 2 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy phương trình có nghiệm x=1 x=5 2) Giải phương trình: x x 12 x x x Đặt u x x 12, v x 3x ( u 0, v 0) 0,25 u 2 x x 12, v 2 x x u v 2 x 10 2( x 5) 0,25 0,25 0,25 2 Từ (1) 2(u v) (u v ) (u v)(u v 2) 0 (2) Vì u 0, v , từ (2) suy ra: u v 0 Vì x x 12 x x (3) Bình phương vế thu gọn ta phương trình Câu (2đ) x 3x x x x x 0 2 2 x 3x x 7 x x 0 (7 x 7) (6 x 6) 0 x ( x 1)(7 x 1) 0 0,25 0,25 0,5 x x 1, x tm x 1, x Vậy phương trình có hai nghiệm x = -1, x= Câu (1,5đ) Bài (3 đ) 0,25 1) Chứng minh với k số nguyên 2016k + lập phương số nguyên Giả sử 2016k + = a3 với k a số nguyên Suy ra: 2016k = a3 - Ta chứng minh a3 – không chia hết cho 0,5 Thật vậy: Ta biểu diễn a = 7m + r, với r 0;1; 1; 2; 2;3; 3 0,25 Trong tất trường hợp ta có a3 – khơng chia hết cho Mà 2016k chia hết cho 7, nên a3 – 2016k ĐPCM 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 0,5 0,25 x 25 y ( y 6) Câu (1,5đ) Từ x 25 y ( y 6) Ta có : (y+3+x)(y+3-x) = - 16 Để ý phương trình chứa ẩn số x với số mũ , ta hạn chế giải với x số tự nhiên Khi đó: y+3+x y+3-x Ta có ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) số chẵn Suy số ( y+3+x ) (y+3-x) tính chẵn lẻ Ta lại có tích chúng số chẵn , số ( y+3+x ) (y+3-x) số chẵn 0,25 0,5 Ta có cách phân tích - 16 tích số chẵn sau đây: -16 = (-2) = (-4) = (-8) ®ã thõa số đầu giá trị (y+3+x) Khi y+3+x= , y+3-x = -2 ta cã x= , y= Khi y+3+x= , y+3-x = -4 ta cã x= , y= -3 Khi y+3+x= , y+3-x = -8 ta cã x= , y= -6 V× thÕ phơng trình đà cho có nghiệm : ( x,y) 5, ; 5, ; 4, 3 0,25 0,5 D Bài (7 đ) C E I A Câu a (1,5 đ) J H B O + Vì ABC nội tiếp đường trịn đường kính AB nên AC BC Suy BC CD (1) 0,5 + Lập luận để IJ // CD (2) + Từ (1) (2) suy IJ ^ BC · = CBH · + Suy CIJ (cùng phụ với HCB ) (3) 0,5 0,5 · = +) Trong vng CBH ta có: tan CBH Câu b (2 đ) 0,5 CH (4) BH + Lập luận chứng minh CJ // AB + Mà CH AB (gt) + Suy CJ CH 0,5 · = +) Trong tam giác vng CIJ ta có tan CIJ + Từ (3), (4), (5) CJ CJ = ( CI = HI ) (5) 0,5 CI HI CH CJ HB HI CH CJ + Xét D CJH D HIB có HCJ (cmt) BHI 900 HB HI + Nên D CJH đồng dạng với ng dạng với ng với i D HIB Câu c (1,5 đ) 0,5 0,5 + Lập luận để chứng minh HEI 90 + Chứng minh HEI đồng dạng với HCJ + Suy 0,5 HE HI HC HJ + Suy HE.HJ = HI.HC 0,5 1 + Mà HJ HD; HI HC 2 + Suy HE.HD = HC2 C M 450 A Câu d (2 đ) H O K B N · + Lấy điểm M nửa đường tròn (O) cho BOM = 450 + Tiếp tuyến nửa đường trịn (O) M cắt AB N Ta có M N cố định + Kẻ MK AB K + Chứng minh D MON vuông cân M KM = KN Suy ANC 450 Xét C º M Ta có C º M nên H º K Do AH + CH = AK + KM = AK + KN = AN (không đổi) 0,5 + Xét C khác M Tia NC nằm hai tia NA NM Do ·ANC < ·ANM = 450 · + D HNC có NHC = 900 · · nên HNC + HCN = 900 · · Mà HNC < 450 nên HCN > 450 · · Suy HNC < HCN Suy HC < HN 0,5 0,5 0,5 + Do AH + CH < AH + HN = AN · + Vậy Khi C nửa đường tròn (O) cho BOC = 450 AH + CH đạt giá trị lớn Bài (2 đ) Chứng minh a b c b c ca a b Áp dụng BĐT Cauchy ta có 0,5 a b c 2 a b c a 2a b c a b c Chứng minh tương tự ta b 2b c 2c ; c a a b c a b a b c a b c a b c 2 Suy b c ca a b a b c a b c Dấu xảy b c a a b c 0 (Trái với giả thiết) c a b Vậy dấu = không xảy suy đpcm 0,5 0,5 0,5