ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HÀ GIANG NĂM HỌC 2017 – 2018 Câu a Cho x Tính A x x x x 1 2017 b Cho a, b, c số hữu tỉ đôi khác 1 Chứng minh rằng: A a b b c c a bình phương số hữu tỉ Câu a Giải phương trình: 2x 13x 6 2x 5x 2x x b Cho P( x) x ax b với a, b N Biết P 1 2017 Tính P 3 P 1 Câu Tìm số nguyên dương n cho n n3 1 số phương Câu Cho a, b, c Chúng minh rằng: b2 c2 c2 a2 a2 b2 2 a b c a b c Câu Cho ABC vuông cân A Gọi D trung điểm BC Lấy M cạnh AD , M A, D Gọi N , P theo thứ tự hình chiếu vng góc M xuống cạnh AB, AC H hình chiếu N xuống đường thẳng PD a Chứng mính AH BH b Đường thẳng qua B , song song với AD cắt đường trung trực AB I Chứng minh ba điểm H , N , I thẳng hàng …………HẾT………… HƯỚNG DẪN GIẢI Câu a Ta có: x 1 2 x Vậy A 1 b Ta có: 1 a b b c c a 1 2 2 a b b c c a a b b c b c c a c a a b a b a b b c b c c a c a 2 c a a b b c a b b c Câu a ĐKXĐ: x 1; x Xét x 0 không nghiệm 13 Xét x 0 , phương trình cho tương đương với x x 1 x 6 x x Đặt x t ta 13 6 2t 7t 0 2t 1 t 0 t t 6 t t x Với t x x x 2 Với t x x x 0 vô nghiệm x 3 Vậy phương trình có tập nghiệm S ; 4 b Vì P 1 2017 2017 1 a b a b 2016 Do P 3 P 1 3a b a b 10 a b 4042 Câu Đặt A n n3 Với n 1 A 3 khơng thỏa mãn Với n 2 ta có A 4n 4n3 2 Xét A 2n n 1 3n 2n A 2n n 1 2 Xét A 2n n 4 n 0 A 2n n Vậy A 2n n n 2 Với n 2 A 25 thỏa mãn toán Câu Áp dụng bất đăngt thức Cauchy ta có b2 c c a a b2 bc ca ab 2 a b c c a b bc ca ca ab ab bc 2 a b c c c a a b b Dấu xảy a b c Câu C E D H P A M B N I a Đường thẳng qua B song song với AC cắt tia PD E Ta có BE PC BN suy BEN vuông cân B Do NBE NHE 900 nên B, H thuộc đường trịn đường khính NE Suy NHB NEB 450 (1) Tương tự hai điểm A, H thuộc đường tròn đường kính PN suy AHN APN 450 (2) Từ (1) (2) suy AHB 900 hay AH BH b Từ giả thiết suy AIB 900 nên I điểm cung AIB đường trịn đường kính AB Mặt khác, theo kết câu a tia HN tia phân giác AHB AHB góc nội tiếp chắn cung AIB đường trịn đường kính AB nên HN phải qua I Do ba điểm H , N , I thẳng hàng