Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán tỉnh năm học 2017-2018 đợt SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KIÊN GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH THCS Năm học: 2017 - 2018 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 13/3/2018 (Đề thi có 01 trang gồm câu) (3 điểm) 1) Cho biểu thức A n 4n ( n số tự nhiên lẻ) Chứng minh A không chia hết cho 2) Cho số x x ; x thỏa mãn điều kiện: x 7 Tính giá trị biểu x thức: B x5 Câu (3 điểm) Rút gọn biểu thức: X 1 Câu Câu x5 1 1 1 1 2 2 3 2017 20182 (4 điểm) 1) Giải phương trình: 3x 27 x3 9 x2 2) Tìm số m , n dấu thỏa mãn điều kiện: m n đạt giá trị nhỏ cho hai phương trình sau có nghiệm chung: x mx 0 ; x 2nx 0 (3 điểm) 1) Cho phương trình: x m 3 x m 0 Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm nhỏ nghiệm lớn 2) Cho x, y, z, t số thực dương Chứng minh rằng: x y z t 2 y z z t t x x y Câu (3,5 điểm) Để có tờ giấy khổ A4 (kích thước xấp xỉ 21 cm 29, cm) người ta thực hình vẽ minh họa bên Bước 1: Tạo hình vng ABCD cạnh a 21 cm Bước 2: Vẽ cung trịn tâm A bán kính AC cắt tia AD F Bước 3: Tạo hình chữ nhật ABEF Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán tỉnh năm học 2017-2018 đợt Câu Khi hình chữ nhật ABEF tờ giấy A4 thơng dụng Bạn An ngồi nghịch xếp tờ giấy A4 theo đường thẳng AE , xếp theo đường thẳng FM ( M trung điểm BE ) mở tờ giấy An ngạc nhiên thấy hai đường thẳng FM AE vng góc với Em chứng minh giúp bạn An vẽ điều (4 điểm) Cho hình vng ABCD nội tiếp đường trịn tâm O , dây cung DC lấy điểm E cho DC 3DE , nối AE cắt cung nhỏ CD M Trên cung nhỏ CB lấy điểm N cho cung nhỏ DM cung nhỏ CN , nối AN cắt dây cung BC F Chứng minh rằng: F trung điểm BC HẾT - LỜI GIẢI ĐỀ THI HSG TỈNH KIÊN GIANG NĂM HỌC 2017-2018 Câu (3 điểm) Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán tỉnh năm học 2017-2018 đợt 1) Cho biểu thức A n 4n ( n số tự nhiên lẻ) Chứng minh A không chia hết cho 2) Cho số x x ; x thỏa mãn điều kiện: x 7 Tính giá trị biểu x thức: B x5 x5 Lời giải 1) Ta có: n 4n n 4n n 1 n 1 2n Do n lẻ nên n n số chẵn liên tiếp n 1 n 1 chia hết cho Mà 2n lẻ 2n không chia hết cho 2n 3 không chia hết cho n 1 n 1 2n không chia hết cho đpcm 1 2) Ta có: x 7 x 9 x 3 (do x ) x x x 1 1 x 27 x x 27 x x x x3 18 x x x 18.7 126 x x 1 x 126 x x x 123 x x5 Câu (3 điểm) Rút gọn biểu thức: X 1 1 1 1 1 2 2 3 2017 20182 Lời giải Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán tỉnh năm học 2017-2018 đợt Tổng quát: n n 1 2n n 1 n n 1 1 2 n n 1 n n 1 n n 1 n 1 n 1 1 n n 1 n n 1 n n 1 n n 1 1 1 n n 1 n n 1 n n 1 n n 1 Vậy: 1 1 1 1 2 2 3 2017 20182 1 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 2017.2018 X 1 2017 số 1 1 1 1 1 4072323 2017 2018 2 3 2016 2017 2017 2018 2018 2018 Vậy X 1 Câu 1 1 1 1 4072323 2 2 3 2017 2018 2018 (4 điểm) 1) Giải phương trình: 3x 27 x3 9 x2 2) Tìm số m , n dấu thỏa mãn điều kiện: m n đạt giá trị nhỏ cho hai phương trình sau có nghiệm chung: x mx 0 ; x 2nx 0 Lời giải 1) 3x 27 x3 9 x 3x 3x x x 9 x (Điều kiện 9x2 3x x x 3x 0 x2 x 9x2 x 3x x x 3x 0 3x 0 x x 3 x x x 0 x 2 ) Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán tỉnh năm học 2017-2018 đợt x 3 (thỏa mãn) x 1 3 3 Vậy phương trình có nghiệm là: x ; 2) Do m , n dấu nên: - Nếu m ; n thì: m n m 2n - Nếu m ; n thì: m n m 2n m 2n + Gọi x0 nghiệm chung hai phương trình ta được: x0 mx0 0 có nghiệm chung x0 2nx0 0 x02 m 2n x0 0 có nghiệm x0 m 2n 4.2.8 0 m 2n 64 m 2n 8 m 2n m n 8 Vậy m n đạt GTNN khi: m 2n 8 m 2n + TH1: m 2n 8 , ta được: x02 x0 0 x02 x0 0 x0 Ta có: m 0 n m 3 (thỏa mãn) n 2 + TH2: m 2n , ta được: x02 x0 0 x0 0 x0 2 Ta có: m (thỏa mãn) n Vậy với m 3 n hai phương trình có nghiệm chung x0 5 Với m n hai phương trình có nghiệm chung x0 2 22 m.2 0 2n.2 0 Câu (3 điểm) 1) Cho phương trình: x m 3 x m 0 Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm nhỏ nghiệm lớn Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán tỉnh năm học 2017-2018 đợt 2) Cho x, y, z, t số thực dương Chứng minh rằng: x y z t 2 y z z t t x x y Lời giải 1) Xét phương trình: x m 3 x m 0 Giả sử: x1 x2 x1.x2 m Áp dụng Vi-et ta có: x x m Để phương trình có nghiệm nhỏ nghiệm lớn thì: x1 x m 3 m x1.x2 x1 x2 m 6m m m m 3 m 5m 12 3m 11 11 m (do m2 5m 12 lớn 0) 11 Vậy với m phương trình có nghiệm nhỏ nghiệm lớn 2) Đặt: A x y z t y z z t t x x y M N x y z t x y y z z t t x y z t x x y y z z t t x M N x y z t y z t x 4 x y y z z t t x x y y z z t t x Ta có: NA y t x z y t x z x y y z z t t x 4 y t 4 x z 1 y t 4 x z x y z t y z t x x y z t x y z t Chứng minh tương tự ta có: A M 4 A M A N 8 A 2 Dấu “=” xảy x y z t Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán tỉnh năm học 2017-2018 đợt Câu (3,5 điểm) Để có tờ giấy khổ A4 (kích thước xấp xỉ 21 cm 29, cm) người ta thực hình vẽ minh họa bên Bước 1: Tạo hình vng ABCD cạnh a 21 cm Bước 2: Vẽ cung tròn tâm A bán kính AC cắt tia AD F Bước 3: Tạo hình chữ nhật ABEF Khi hình chữ nhật ABEF tờ giấy A4 thơng dụng Bạn An ngồi nghịch xếp tờ giấy A4 theo đường thẳng AE , xếp theo đường thẳng FM ( M trung điểm BE ) mở tờ giấy An ngạc nhiên thấy hai đường thẳng FM AE vng góc với Em chứng minh giúp bạn An vẽ điều Lời giải Ta có: AC DB AB BC 21 (cm) Mà AC AF ( C , F thuộc đường tròn tâm A ) AF AC 21 EB Xét ABE vuông B Áp dụng định lý Pi – ta – go ta có: AE AB BE 212 21 21 21 Xét FME vng E có: EM EB 2 Áp dụng định lý Pi – ta – go ta có: Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán tỉnh năm học 2017-2018 đợt 21 21 FM FE ME 21 2 21 AE 21 Ta có: ; FM EF 21 ME 21 Xét AEF FME ta có: AFE FEM 90 AE FM EF ME AEF ∽ FME (c.g.c) FEA FME Câu Mà FEA HEM 90 FME MEH 90 FM AE (đpcm) (4 điểm) Cho hình vng ABCD nội tiếp đường trịn tâm O , dây cung DC lấy điểm E cho DC 3DE , nối AE cắt cung nhỏ CD M Trên cung nhỏ CB lấy điểm N cho cung nhỏ DM cung nhỏ CN , nối AN cắt dây cung BC F Chứng minh rằng: F trung điểm BC Lời giải Gọi I giao điểm BM CD : EI AB EI ME AB AM Kẻ OX vng góc với DM OXD ∽ ADE (g.g) Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán tỉnh năm học 2017-2018 đợt DX DE DE 2 OD AE 10 DE AD DX R 10 DM R 10 ME DE MD Xét DEM ∽ AEC CE AE AC ME DE MD AE CE AC 10 ME ME AE AM 1 EI AB CD ID EI DE CD 6 CMI BNF (g.c.g) BF CI BC đpcm