ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2017-2018 I – PHẦN GHI KẾT QUẢ (Thí sinh ghi kết vào tờ giấy thi) Câu 1: Tìm số cạnh đa giác lồi có 27 đường chéo Câu 2: Cho a1 2017 an 1 an 2017 với n 1 , n ¥ Tìm a2018 Câu 3: Cho 4a b 5ab với b 2a Tính giá trị p 5ab 3a 2b 2 Câu 4: Hai vật chuyển động đường trịn có chu vi 200 m , vận tốc vật thứ m / s , vận tốc vật thứ hai m / s Hai vật xuất phát thời điểm vị trí chuyển động chiều Hỏi sau 16 phút vật thứ hai vượt lên trước vật thứ lần? (khơng kể lúc xuất phát) Câu 5: Có tam giác khác mà độ dài cạnh số tự nhiên (cùng đơn vị đo) thuộc tập hợp 1; 2;3; 4;5;6; 7 Câu 6: Giải phương trình x x 2 Câu 7: Cho số a, b thỏa mãn a 8b3 1 6ab Tính a 2b 2 b c a Câu 8: Tìm số nguyên dương a , b , c , b c thỏa mãn a b c bc Câu 9: Biết khoảng cách từ trọng tâm tam giác ABC đến cạnh tỉ lệ với số ; ; chu vi tam giác ABC 26 Tìm độ dài cạnh tam giác ABC Câu 10: Cho tam giác ABC có µA 30o ; Bµ 50o , cạnh AB 2 Tính AC AC BC II – PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) 2 y x 1 Câu 11: Giải hệ phương trình 2 x y y x Câu 12: Cho tam giác ABC vng A có AB AC ngoại tiếp đường tròn tâm O Gọi D , E , F tiếp điểm O với cạnh AB , AC , BC Gọi I giao điểm BO EF M điểm di động đoạn CE Gọi H giao điểm BM EF a) Chứng minh AM AB tứ giác BDHF , ABHI nội tiếp » O , P Q lần b) Gọi N giao điểm BM cung nhỏ EF lượt hình chiếu N đường thẳng DE , DF Chứng minh PQ EF Câu 13: Cho x , y số nguyên không đồng thời Tìm GTNN F x 11xy y LỜI GIẢI ĐỀ THI HSG TỈNH HÀ TỈNH NĂM HỌC 2017-2018 I – PHẦN GHI KẾT QUẢ (Thí sinh ghi kết vào tờ giấy thi) Câu 1: Tìm số cạnh đa giác lồi có 27 đường chéo Lời giải n n 3 27 Gọi số cạnh đa giác lồi n , n ¥ , n 3 Ta có n 9 Câu 2: Cho a1 2017 an 1 an 2017 với n 1 , n ¥ Tìm a2018 Lời giải Ta có a2 a1 2017 2.2017 , a3 a2 2017 3.2017 , … Do a2018 2018.2017 4070306 Câu 3: Cho 4a b 5ab với b 2a Tính giá trị p 5ab 3a 2b 2 Lời giải 2 Ta có 4a b 5ab a b 4a b 0 Do b 2a nên b 4a Suy P 20a 2 3a 32a Câu 4: Hai vật chuyển động đường trịn có chu vi 200 m , vận tốc vật thứ m / s , vận tốc vật thứ hai m / s Hai vật xuất phát thời điểm vị trí chuyển động chiều Hỏi sau 16 phút vật thứ hai vượt lên trước vật thứ lần? (không kể lúc xuất phát) Lời giải Gọi t thời gian để hai vật gặp tính từ lúc xuất phát Quảng đường vật đến lúc gặp S1 v1t 4t , S2 v2t 6t Vì hai vật chiều nên S2 S1 S 6t 4t 200 t 100 (giây) Do sau 100 giây chúng gặp lần Vậy sau 16 phút 960 960 9 Vậy vật thứ hai vượt lên giây chúng gặp số lần 100 trước lần Câu 5: Có tam giác khác mà độ dài cạnh số tự nhiên (cùng đơn vị đo) thuộc tập hợp 1; 2;3; 4;5;6; 7 Lời giải n 1 n 3 2n 1 8.10.15 50 tam giác 24 24 Số tam giác khác Câu 6: Giải phương trình x x 2 Lời giải ĐKXĐ x Đặt x a ; x b 0 a 0 a b 2 a a a 0 Ta có a 17 a b 4 15 5 17 Từ tìm tập nghiệm phương trình cho S 1; Câu 7: Cho số a, b thỏa mãn a 8b3 1 6ab Tính a 2b Lời giải x y z 0 3 Ta có x y z 3xyz x y z 3 Do a 8b3 1 6ab a3 2b 1 3a 2b 1 a 2b 0 a 2b a 2b 1 a 2b b c a a c Câu 8: Tìm số nguyên dương , b , , b c thỏa mãn a b c bc Lời giải 2 Ta có b2 c a b c 2bc a b c a b c a 2 b c a Vì b c 1 nên b c 1 dó b c a a b c b c b c b c 8 Vì b c nên có trường hợp sau b 8 c 1 b 12 a 13 c 5 b 4 c 2 b 8 a 10 c 6 TH1: TH2: Câu 9: Biết khoảng cách từ trọng tâm tam giác ABC đến cạnh tỉ lệ với số ; ; chu vi tam giác ABC 26 Tìm độ dài cạnh tam giác ABC Lời giải Gọi độ dài cạnh BC a , AC b , AB c Độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A , B , C x , y , z Khoảng cách từ trọng tâm tam giác ABC đến cạnh tỉ lệ với số ; ; nên ta có x y z k Mặt khác ax by cz 2S ABC nên a c a c a b c 24k 1 1 1 13 Suy a 12 ; b 8 ; c 6 x y z 2k 3k 4k 12k Câu 10: Cho tam giác ABC có µA 30o ; Bµ 50o , cạnh AB 2 Tính AC AC BC Lời giải Kẻ đường phân giác CD · · Ta có ·ACB 100o BCD ACD 50o Suy tam giác BCD cân D Suy BD DC AC AD AC AB AD Lại có ADC # ACB AB Và AC AC CD AC.BC AB.CD AB BC 2 Suy AC.BC AC AB AD CD AB AD BD AB 12 hay AC AC BC 12 II – PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) 2 y x 1 Câu 11: Giải hệ phương trình 2 x y y x Lời giải Thay 2 y x va phương trình thứ hai ta có x3 y y x y x y x x y x y xy 0 Đặt y xt 3 x 5t 2t 2t 1 0 Xét x 0 , thay vào phương trình thứ hai ta y y 0 y 0 không thỏa mãn phương trình thứ 2 Xét 5t 2t 2t 0 t 1 5t 3t 1 0 t 1 Do y x , x 1 x 1 ta có hệ phương trình x x Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 1; 1 , 1;1 Câu 12: Cho tam giác ABC vng A có AB AC ngoại tiếp đường tròn tâm O Gọi D , E , F tiếp điểm O với cạnh AB , AC , BC Gọi I giao điểm BO EF M điểm di động đoạn CE Gọi H giao điểm BM EF a) Chứng minh AM AB tứ giác BDHF , ABHI nội tiếp » O , P Q lần b) Gọi N giao điểm BM cung nhỏ EF lượt hình chiếu N đường thẳng DE , DF Chứng minh PQ EF Lời giải Gọi K giao điểm BO DF Ta có tam giác IKF vng K Hình chữ nhật 1· · DOE 45o ADOE có OD OE nên hình vng Suy DEF Suy · BIF 45o a) Khi AM AB tam giác AMB vng cân A suy · · DBH 45o DFH Nên tứ giác BDHF nội tiếp Do năm điểm B , D , O , H , F thuộc đường · · trịn đường kính BO Suy BFO BHO 90o OH BM , mà tam giác ABM vng cân có AH phân giác nên AH BM Suy A , O , H thẳng hàng · · Suy BAH BIH 45o Vậy tứ giác ABHI nội tiếp · · · b) Tứ giác PNQD nội tiếp suy NPQ NDQ NEF Tương tự ta có PQ NQ · · · 1 PQ EF Dấu NQP NDP NFE Suy NEF # NQP EF NE “ ” xảy P trùng F , Q trùng E hay DN đường kính O Câu 13: Cho x , y số ngun khơng đồng thời Tìm GTNN F x 11xy y Lời giải 2 Đặt F x 11xy y f x; y , m GTNN F Ta có m số nguyên f 0;1 f 1;0 5 m 5 Vì x , y số ngun khơng đồng thời nên x 11xy y 0 hay F 0 Xét x 2n ; y 2k Ta có f x; y f 2n; 2k 4 f n; k nên giá trị f 2n; 2k khơng thể GTNN Do GTNN F xảy x , y không chẵn, m số lẻ 2 * Nếu m 1 suy tồn x , y để x 11xy y 1 100 x 220 xy 100 y 20 10 x 11y 221 y 20 2 10 x 11 y 20 221 y M Suy 10 x 11 y chia 13 dư dư Mà số phương chia 13 có dư , , , , , 10 , 12 Do vơ lý 2 * Nếu m 3 suy tồn x , y để x 11xy y 3 100 x 220 xy 100 y 60 10 x 11y 221 y 60 2 10 x 11 y 60 221y M Suy 10 x 11 y chia 13 dư dư Mà số phương chia 13 có dư , , , , , 10 , 12 Do vơ lý Vậy GTNN F