SỞ GD & ĐT HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2021-2022 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN TỐN Thời gian làm : 120 phút I.PHẦN GHI KẾT QUẢ (Thí sinh cần ghi kết vào tờ giấy thi) a Câu 1.Cho 2 2 3 Tính giá trị biểu thức P a 3a 2022 x 1 A x x x Câu 2.Tính giá trị biểu thức x x x x 1 x 2 x 2022 2 x y 2 z x , y , z x ; y Câu 3.Cho số thỏa mãn 3x y 5 z Tính giá trị biểu thức P x 3xy x2 y 1 x 3x Câu Giải phương trình x Câu 5.Giải hệ phương trình x y x 1 x y x y y x x y 2022 Câu 6.Tìm bốn chữ số tận viết hệ thập phân Câu 7.Cho hình vng cạnh 2a hai nửa đường trịn bán kính a, tiếp xúc hình vẽ Một đường trịn I tiếp xúc với hai nửa đường tròn cho tiếp xúc với cạnh hình vng Tính diện tích hình tròn I Câu 8.Cho đường thẳng d cắt trục tọa độ d : y m x 3 m 0, m Biết đường thẳng với Ox, Oy hai điểm A, B phân biệt Tính giá trị nhỏ 1 OA OB Câu 9.Cho tam giác nhọn ABC cân A, đường cao AD, trực tâm H biết AH 49cm, BH 14cm Tính độ dài đoạn AD Câu 10 Trên bảng có 2022 số tự nhiên khác từ đến số 2022 Lần thứ xóa số viết tổng chúng lên bảng, lúc bảng 2021 số Lần thứ hai xóa số viết tổng chúng lên bảng tiếp tục Hỏi lần thứ 2021, bảng lại số ? II PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) 2 Câu 11.Giải phương trình nghiệm nguyên x x x y 32 x y 39 0 Câu 12.Cho đường tròn O đường kính BC điểm A di động đường tròn O (A khác B C) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến cạnh BC tam giác ABC Gọi D trung điểm HC Qua H kẻ đường thẳng vng góc với AD cắt AB E a) Chứng minh HD.HE AD AH b) Chứng minh B trung điểm AE Tìm quỹ tích điểm E Câu 13 Cho a, b số thực dương thỏa mãn ab a b 3 a b P b 1 a 1 Tìm giá trị lớn biểu thức a2 b2 a b 2 ĐÁP ÁN I.PHẦN GHI KẾT QUẢ (Thí sinh cần ghi kết vào tờ giấy thi) a Câu 1.Cho Ta có : a3 2 2 3 2 2 3 Tính giá trị biểu thức P a 3a 2022 3a a 3a 2 P 2 2022 x 1 A x x x Câu 2.Tính giá trị biểu thức A x 1 x x x 1 x 1 x 1 x x x 1 x x x x 1 x 2 x 1 x 2022 x x Ta có: A 2022 2 x y 2 z Câu 3.Cho số x, y, z thỏa mãn x; y 0 3x y 5 z Tính giá trị biểu thức P x xy x2 y x y 2 z 3 x y 5 z Ta có : 5 x 7 z y 3x z 7z x 182 P 81 y 4z 1 x 3x Câu Giải phương trình x x Ta có : ĐKXĐ: 1 x x x x x x 0 x x 2 x x 0 x x (do x ) x 1 x x 0 (tmdk ) x 2 x x y x 1 x y Câu 5.Giải hệ phương trình x y y x x y x 1 2 2 ĐKXĐ: y 0 Ta có : x y x 1 x y x y x y y xy 0 x y x y x y y x y 0 x y x y 1 0 x 1 x y y Vì Do x 4 y thay vào phương trình x y y x x y : y 1 y y y 4 y y y 1 y 0 y 1 y 1 Hệ phương trình có nghiệm x; y 5;1 2022 Câu 6.Tìm bốn chữ số tận viết hệ thập phân Ta có : Do 58 54 1 54 1 16.39 54 1 16 52022 56 58 252 56 58 1 252 56 56 (mod 10 000) Mà 15625 Do chữ số tận 5625 Câu 7.Cho hình vng cạnh 2a hai nửa đường trịn bán kính a, tiếp xúc hình vẽ Một đường tròn I tiếp xúc với hai nửa đường tròn cho tiếp xúc với cạnh hình vng Tính diện tích hình trịn I Gọi điểm tiếp xúc nửa đường tròn E Hình vng ABCD, đường trịn I tiếp xúc với AD P cắt PE Q tiếp xúc với nửa đường tròn (O) N Kẻ tiếp tuyến chung đường tròn (I) với đường tròn (O) cắt AD M Ta có MP MN MD nên PND vuông N PNQ 90 D, N , Q thẳng hàng Dễ dàng chứng minh DPEO hình vng Xét DPQ ODM có : DPQ ODM PQ MD PD AD 2a a a PI 2 4 a2 Suy diện tích hình trịn I 16 m 0, m Biết đường Câu 8.Cho đường thẳng d : y m x với thẳng d cắt trục tọa độ Ox, Oy hai điểm A, B phân biệt Tính giá trị 1 2 nhỏ OA OB Gọi I x0 ; y0 điểm cố định mà đường thẳng d qua với m Khi ta có : y0 m x0 m x0 y0 với m Suy x0 0 3 y0 0 x0 2 y0 3 Suy tọa độ điểm I 2;3 Gọi H chân đường vng góc kẻ từ O đến AB 1 1 2 Áp dụng hệ thức lượng ta có : OA OB OH OI 13 Min 2 OA OB 13 Vậy Câu 9.Cho tam giác nhọn ABC cân A, đường cao AD, trực tâm H biết AH 49cm, BH 14cm Tính độ dài đoạn AD A E H D B C K Gọi E giao điểm BH với AC Gọi K điểm đối xứng với H qua BC Dễ dàng chứng minh BHCK hình thoi ta có : BAH BKH CAH BHK CAH AHE 90 ABK 90 Hay ABK vuông B 2 Ta có BH BK KD.KA Đặt HD x KD x Suy Do x AH x 142 x 49 x 196 x 49 x 196 0 x AD 49 105 (cm) 2 Câu 10 Trên bảng có 2022 số tự nhiên khác từ đến số 2022 Lần thứ xóa số viết tổng chúng lên bảng, lúc bảng 2021 số Lần thứ hai xóa số viết tổng chúng lên bảng tiếp tục Hỏi lần thứ 2021, bảng lại số ? Mỗi lần xóa hai số a,b lại viết thêm lên bảng số a b nên tổng số bảng khơng thay đổi Do sau 2021 lần thực bảng cịn số 2022 2022.2023 2045253 II PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) 2 Câu 11.Giải phương trình nghiệm nguyên x x x y 32 x y 39 0 Ta có : x x3 x y 32 x y 39 0 x x x 10 y 1 2 Suy x x 10 số phương Đặt x x 10 a a x 1 9 a x a x 9, a Do a x a x a x nên xảy trường hợp sau : y 18 x 5 a x 9 x 4 y 17 Th1: x 4 y 3 x a x 1 x y a x 3 Th : x 0 x 1 a x 3 y 5 y Vậy phương trình có tập nghiệm x; y 3;3 , 3; , 1;5 , 1; , 5; 17 , 5;18 Câu 12.Cho đường tròn O đường kính BC điểm A di động đường tròn O (A khác B C) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến cạnh BC tam giác ABC Gọi D trung điểm HC Qua H kẻ đường thẳng vng góc với AD cắt AB E A K B I H O D C E a) Chứng minh HD.HE AD AH Ta có BAC 90 CAD AEH ACD BAH ADC ∽ EHA( g.g ) DC AD DC.HE AD AH HD.HE AD AH AH HE b) Chứng minh B trung điểm AE Tìm quỹ tích điểm E AB AC CH AC AHC ∽ BAC ( g g ) AH CH AH AB Mặt khác ADC ∽ EHA Ta có : DC AC DC AC CH AC AC AC AE 2 AB AH AE AH AE AH AE AB AE Hay B trung điểm AE Gọi I điểm đối xứng với O qua B Ta có : IBE OBC (c.g c) IE OA khơng đổi Vì O, B cố định nên I cố định Do điểm E chạy đường tròn I ; OA Câu 13 Cho a, b số thực dương thỏa mãn ab a b 3 a b P b 1 a 1 Tìm giá trị lớn biểu thức Ta có a b 3 ab 3 a b a b2 a b 2 a b a b 12 0 a b a b 0 a b 2 2 2 Mặt khác a b a b 2ab a b a b Do : P a b2 a b ab a b 1 a b2 a b 12 a b 2 a b a b 12 a b2 a b2 a b a b 2 a2 b2 a b 2 a b a b 12 a b 2 a b 3 a b 2 12 12 12 4 a b a b Áp dụng BĐT Cauchy ta có : 3 a b 2 3 8 a b 2 12 a b 12 a b 2 a b 2 8 3 a b 3 12 a b a b Do : P Vậy a b 2 12 Max P 3 a b 2 12 a b 1 a b 3 a b 24