SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP THÀNH PHỐ Năm học 2021-2022 Mơn : TỐN Ngày thi : 24 tháng năm 2022 Thời gian làm : 150 phút Bài I (5,0 điểm) 1) Giải phương trình : x 3x x 2 2 2) Cho a, b, c số thực khác 0, thỏa mãn a ab c bc a ac b bc a b c K b c a Tính giá trị biểu thức Bài II (5,0 điểm) 1) Tìm tất số tự nhiên m, n thỏa mãn 2022 n 3 2) Tìm tất số nguyên tố p để phương trình x y 3xy p có nghiệm nguyên dương m Bài III (2,0 điểm) Với số thực a, b, c thỏa mãn a, b, c 1 a b c 2, tìm ab bc ca P ab bc ca giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Bài IV (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn AB AC , nội tiếp đường tròn O Các đường cao AD, BE , CF tam giác ABC đồng quy trực tâm H Gọi K , Q giao điểm đường thẳng EF với hai đường thẳng AH , AO 1) Chứng minh AQE 90 2) Gọi I trung điểm AH Chứng minh IE IK ID 3) Gọi R, J trung điểm BE , CF Chứng minh JR vng góc với QD Bài V (2,0 điểm) lập phương 1) Tìm tất số nguyên a, b cho số số nguyên tố 2) Trên bảng ta viết số tự nhiên 222 gồm 2022 chữ số Mỗi bước ta chọn 22 chữ số liên tiếp có chữ số ngồi bên trái 2, biến đổi chữ số chọn theo quy tắc: chữ số đổi thành chữ số chữ số đổi thành chữ số a) Chứng minh cách thực phải dừng lại sau số bước hữu hạn bước a b b3 a b) Giả sử sau thực n bước khơng thể thực thêm bước Chứng minh n số lẻ ĐÁP ÁN Bài I (5,0 điểm) 3) Giải phương trình : ĐKXĐ: x 7 x x 3x x 3 Phương trình cho đưa x x 3x 0 x 2 0 x 1(tmdk ) x 2 2 2 4) Cho a, b, c số thực khác 0, thỏa mãn a ab c bc a ac b bc a b c K b c a Tính giá trị biểu thức x 3 Từ giả thiết suy 3x a a b c b c ; a a c b b c b c c a a b a b c Th1: a b c 0 a b c; b c a; c a b Do 1 a a b c b a c b c a b ;1 ;1 P b b b c c a a b c a Th2: a b c 0 b c ca a b a b c a b c a b c 1 1 1 a b c a b c a b c a b c P 8 b c a Suy Bài II (5,0 điểm) 3) Tìm tất số tự nhiên m, n thỏa mãn 2022 n m Giả sử m, n hai số tự nhiên thỏa mãn 2022 n Th1: m 0 (loại) n 30 2022 2023 khơng phải số phương m Th : m 1: n 31 2022 2025 452 n 45 m Th3: m 2 Khi n 3 20223 n3 m Dẫn tới n 9 hay 20229 m Điều vơ lý 9, 2022 khơng chia hết cho Vậy m 1, n 45 3 4) Tìm tất số nguyên tố p để phương trình x y 3xy p có nghiệm nguyên dương Biến đổi p x y 3xy x y 1 x y xy x y Nhận xét p số nguyên tố , x y 1 nên dẫn tới 2 x y xy x y 1 x y x 1 y 1 2 y 0 Th1: x 1 y 2 p 4(ktm) y 2 th2 : y 1 x 2 p 4(ktm) x 1 y 1 1 th3 : x 1, y x y 2 p 5 x y 0 Vậy số nguyên tố p cần tìm p 5 Bài III (2,0 điểm) Với số thực a, b, c thỏa mãn a, b, c 1 a b c 2, tìm ab bc ca P ab bc ca giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Tìm giá trị lớn Ta có : 3 P 1 9 ab bc ca ab bc ca a b c 3 12 12 P Min P a b c 13 13 Tìm giá trị nhỏ Khơng tính tổng qt, giả sử a b c 0 Vì a, b, c 1 nên a 1 b 1 0 ab a b a b b c c a 3 Chứng minh tương tự : ab bc 1 ca 1 Từ 2 P a b c a b c a b c ab bc ca a b 1 ab 27 13 a b a b c c 1 3 a b c 5 3 bc ab bc ca 3 P P 2 Nên ta có : MinP a b 1, c 0 Vậy Bài IV (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn AB AC , nội tiếp đường tròn O Các đường cao AD, BE , CF tam giác ABC đồng quy trực tâm H Gọi K , Q giao điểm đường thẳng EF với hai đường thẳng AH , AO A S E I F B K H R Q O J C D T 4) Chứng minh AQE 90 Dễ chứng minh AEF ∽ ABC (c.g.c) AEF ABC Kẻ đường kính AP (O) Dễ chứng minh tứ giác BHCP hình bình hành nên BH CP Ta có BHD ∽ ACD g g BD BH CP ABD ∽ APC (c.g.c) Suy AD AC AC Điều chứng tỏ BAD CAP AEF CAP ABC BAD 90 AQE 90 5) Gọi I trung điểm AH Chứng minh IE IK ID Xét tam giác AEH vng E có IE IA IH nên tam giác AIE cân I Suy IEA IAE Tương tự MEC MCE IEA MEC IAE MCE 90 IEM 90 Từ IE IF , ME MF MI đường trung trực EF , dẫn đến MI EF N giao điểm EF , MI IE IN IM INK ∽ IDM g g IN IK ID IM Mặt khác Suy IN IM IK ID IE IK ID 6) Gọi R, J trung điểm BE , CF Chứng minh JR vng góc với QD Gọi S điểm đối xứng với F qua Q, gọi T điểm đối xứng với C qua D Chứng minh TAF CAS , dẫn tới TAF CAS (c.g.c ) FT CS Mặt khác , theo tính chất đường trung bình 1 JQ SC JD FT JD JQ 2 Chứng minh tương tự ta có RD RC , suy JR đường trung trực DQ JR QD Bài V (2,0 điểm) a b b3 a 3) Tìm tất số nguyên a, b cho số lập phương số nguyên tố a b b3 a p Giả sử a, b hai số nguyên dương thỏa mãn với p số nguyên p a a tố Rõ ràng a b a b vơ lý p số ngun tố 3 Không tổng quát, giả sử a b a b b a p Với ý Ư a b p 1; p; p ; p b3 a p p ab Vì a p b3 p b3 b p b b p b b 1 b 1 b 1 b 1 p Ta có p b b b b Do cịn trường hợp b 1 b 1p Th1: b 1 a a 1 a 2, p 3 b b3 a b 1 p ab 1p Th2: b 1p Rõ ràng (Vơ lý ab p) a 2; b 1; p 3 Kết luận a 1; b 2; p 3 4) Trên bảng ta viết số tự nhiên 222 gồm 2022 chữ số Mỗi bước ta chọn 22 chữ số liên tiếp có chữ số ngồi bên trái 2, biến đổi chữ số chọn theo quy tắc: chữ số đổi thành chữ số chữ số đổi thành chữ số c) Chứng minh cách thực phải dừng lại sau số bước hữu hạn bước Sau bước, số thu giảm số nguyên dương đơn vị Mặt khác số thu số khơng âm Vì trình phải dừng lại sau hữu hạn bước d) Giả sử sau thực n bước thực thêm bước Chứng minh n số lẻ Đếm từ phải sang trái, ta đánh dấu chữ số có thứ tự bội 22 Như có 91 chữ số đánh dấu vị trí 22, 44, 66, , 2002 tính từ phải sang trái Gọi S số chữ số chữ số đánh dấu Ban đầu S = 91, số lẻ Trong 22 chữ số liên tiếp ln có chữ số đánh dấu, bước S tăng giảm 1, tức bước S thay đổi tính chẵn lẻ Cụ thể là, sau số lẻ bước thay S chuyển từ lẻ thành chẵn; sau số chẵn bước thay S chuyển từ chẵn thành lẻ Nếu S > 0, tồn dãy 22 chữ số liên tiếp có chữ số ngồi bên trái 2, tức ta cịn thực bước Do để ta thực bước S = Từ số bước thực đến lúc dừng lại phải lẻ, hay n lẻ