ĐỀ THI HỌC GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM 2021-2022 MÔN TOÁN Câu (2,0 điểm) 1) Cho số thực dương thỏa mãn Chứng minh : 2) Cho Hãy tính giá trị biểu thức sau : Câu (2,0 điểm) 1) Giải phương trình : 2) Giải hệ phương trình : Câu (2,0 điểm) 1) Tìm số nguyên thỏa mãn đẳng thức 2) Cho số tự nhiên thỏa mãn số phương Câu (3,0 điểm) 1) Cho đường trịn tâm O, bán kính R Điểm Chứng minh nằm bên ngồi đường trịn tâm O Qua vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn tiếp điểm) Gọi trung điểm giao điểm với Lấy điểm E đường tròn ( khác B C) Qua vẽ tiếp tuyến với đường tròn tâm tiếp tuyến cắt đường thẳng MN K a) Chứng minh : b) Chứng minh 2) Cho tam giác có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn giao điểm đường thẳng với với Chứng minh : Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương thỏa mãn Gọi với Tìm giá trị nhỏ biểu thức ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) 3) Cho số thực dương thỏa mãn Chứng minh : Từ giả thiết ta có : Suy Tương tự ta có : Do : Vậy 4) Cho Hãy tính giá trị biểu thức sau : Trước hết,ta chứng minh : Nếu Thật Suy Ta có : (biểu thức có 1) dấu ngoặc vuông, biểu thức ngoặc vng có giá trị Vậy Câu (2,0 điểm) 3) Giải phương trình : Điều kiện xác định : Đặt Từ Ta có : Vậy tập nghiệm phương trình 4) Giải hệ phương trình : Nhận xét : không thỏa mãn hệ Chia vế phương trình cho ta : Đặt ta có : (hệ vơ nghiệm ) Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu (2,0 điểm) 3) Tìm số nguyên thỏa mãn đẳng thức Ta có: Do với Mặt khác Vậy , cặp số nguyên 4) Cho nên thỏa mãn toán số tự nhiên thỏa mãn số phương Ta có : Đặt Vì Ta có : mà Chứng minh Vậy phương nên hai số nguyên tố nhau, mà số phương số Câu (3,0 điểm) 3) Cho đường tròn tâm O, bán kính R Điểm nằm bên ngồi đường trịn tâm O Qua vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn tiếp điểm) Gọi trung điểm giao điểm với Lấy điểm E đường tròn ( khác B C) Qua vẽ tiếp tuyến với đường tròn tâm tiếp tuyến cắt đường thẳng MN K K B E M A I H O N C c) Chứng minh : Ta có cân A suy cân O suy Suy đường trung trực Xét Vì vng B có đường cao đường trung bình d) Chứng minh trung điểm nên nên vng ta có : Vì Gọi I giao điểm Do trung điểm ta có : trung điểm Từ 4) Cho tam giác có ba góc nhọn, nội tiếp đường trịn lượt giao điểm đường thẳng với với Chứng minh : A E F O B Ta có : Tương tự : D C Gọi với lần Theo bất đẳng thức ta có : Dấu xảy Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức Ta có : Chứng minh tương tự : Gọi Áp dụng bất đẳng thức Chứng minh tương tự, ta có : Ta có : Suy Vậy Dấu xảy