ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2017-2018 Câu a) Cho A= x2 x x2 x Rút gọn B 1 x x 1 x x A x với x 1 b) Cho x, y, z 0 đôi khác thỏa mãn x y z 0 Chứng 1 minh x x yz y 2zx z 2xy Câu a)Giải phương trình x 5 2016 y 2017 z 2018 xy yz zx x x 3x 10 7 2 x y xy 2 b)Giải hệ phương trình x x y Câu a)Tìm số thực x cho x 2018 2018 số nguyên x 2 b) Tìm số tự nhiên có dạng ab Biết ab ba số chia hết cho 3267 DC 900 , đường phân giác góc Câu Cho hình bình hành ABCD có góc B D cắt cạnh BC đường thẳng CD E F Gọi O, O ' BA tâm đường tròn ngoại tiếp BCD CEF 1)Chứng minh O ' thuộc đường trịn (O) 2) Khi DE vng góc BC a) Tiếp tuyến (O) D cắt đường thẳng BC G Chứng minh BG.CE BE.CG b)Đường tròn (O) (O ') cắt điểm H ( H khác C ) Kẻ tiếp tuyến chung IK ( I thuộc (O) , K thuộc (O ') H , I , K nằm phía bờ OO ' ) Dựng hình bình hành CIMK Chứng minh OB O ' C HM Câu Cho x, y, z thỏa mãn x y z 3xyz Tìm GTLN x2 y2 z2 P x yz y zx z xy LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2017-2018 Câu x2 x x2 x a) Cho A= Rút gọn B 1 x x 1 x x b)Cho x, y, z 0 đôi khác thỏa mãn A x với x 1 0 x y z 2016 1 2017 2018 xy yz zx Chứng minh x y z x yz y 2zx z 2xy Lời giải a) Ta có A= x2 x x2 x x ( x x 1) x ( x x 1) = x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x ( x 1) x ( x 1) 2x x x 1 x 2 x (0 x ) B 1 A x 1 b)Ta có 1 0 yz xz xy 0 x y z x yz x yz yz x yz xz xy x ( x z ) y ( x z ) ( x z )( z y ) Tương tự y 2zx ( y z )( y x); z 2xy=(z-x)(z-y) 1 x yz y xz z yx 1 ( x y )( x z ) ( y z )( y x ) ( z y )( z x) yz zx x y 0 ( x y )( y z )( z x) 2016 1 2017 2018 ( x y z ) 0 x yz y xz z yx Câu a)Giải phương trình x 5 x y xy 2 b)Giải hệ phương trình x x y Lời giải a)Điều kiện x 2 x x 3x 10 7 x 5 x x 3x 10 7 x 3x 10 x x ( x 5( x 1) x x 1 x 3 x x 1 So với điều kiện ta phương trình có nghiệm x 3 2 x y xy 2 b) x x y Từ phương trình x3 x y 2x 2( x y ) ( x y xy )( x y ) x y x3 y x y Với x y vào phương trình x y xy 2 ta y y 2 y Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) {( 2; 2);( 2; 2)} Câu a)Tìm số thực x cho x 2018 x 2018 số nguyên 2 b) Tìm số tự nhiên có dạng ab Biết ab ba số chia hết cho 3267 Lời giải a) Điều kiện x 0 Đặt a x 2018 x a Xét b x b(a 2018 2018 a 2018 2018 a 2018 2018 a 2018 2018) 2025 a 2018 ab 2015 (b a ) 2018 Với a, b Z ab 2025 Z (a b) 2018 0 a b a b 2025 45 + a 45 x 45 2018 + a 45 x 45 2018 b) ab ba (10a b) (10b a) 99(a b ) 2 2 ab ba chia hết cho 3267 nên a b (a b)(a b) chia hết cho 33 a, b 9 a b ,hay a 7, b 4 ; a 4, b 7 Vậy ta có số 11; 22;33; 44; 47;55; 66; 74; 77;88;99 DC 900 , đường phân giác góc BAD cắt Cho hình bình hành ABCD có góc B cạnh BC đường thẳng CD E F Gọi O, O ' tâm đường tròn ngoại tiếp BCD CEF Câu 1)Chứng minh O ' thuộc đường trịn (O ) 2) Khi DE vng góc BC a) Tiếp tuyến (O ) D cắt đường thẳng BC G Chứng minh BG.CE BE.CG b)Đường tròn (O ) (O ') cắt điểm H ( H khác C ) Kẻ tiếp tuyến chung IK ( I thuộc (O ) , K thuộc (O ') H , I , K nằm phía bờ OO ' ) Dựng hình bình hành CIMK Chứng minh OB O ' C HM Lời giải a) E EFC BA BAE DA E (giả thuyết); EFC FEC DAE FEC suy EFC cân C CE CF A FEC A B AE nên ABE cân B mà BE BE BA BE mà BA CD nên BE CD CE CF BE CE DC CF BC DF (1) BE CD ' CF O ' FC Mặt khác O ' CF cân O ' CE O ' CF O ' CE O ' FC (2) Với CE CF O Mà O ' C O ' F (3) ' BC O ' DF Từ (1) , (2) (3) ta BO ' C DO ' F O Nên tứ giác BDCO ' nội tiếp hay điêm O ' thuộc đường tròn (O ') b)Tam giác BCD D ,nội tiếp đường tròn (O ) Ta có DG CG.BG DG DE CG.BG BE.CE GE CG.BG BE.CE DE BE.CE (CE CG ) CG.BG BE.CE CE 2CE.CG CG CG.BG BE CE CE CE.CG BE.CE CG.BG CG CE.CG CE (CE CG BE ) CG ( BG CG CE ) CE.BG CG.BE c)Tia CH cắt IK N Áp dụng phương tích đường trịn ta có NK NH NC NI NK NI mà CIMK hình bình hành, M , N , H , C thẳng hàng Suy OB O ' C OI O ' K 2 NJ Gọi T điểm đối xứng với H qua N , P giao điểm CH với OO ' PH PC NJ NP Ta có OO ' CH NJ NP NP NP NP PH NP NT PC NP TC = HM Vậy OB O ' C HM Câu Cho x, y, z thỏa mãn x y z 3xyz Tìm GTLN P x2 y2 z2 x yz y zx z xy Lời giải 2 Ta có x, y, z , x y z 3xyz x2 y2 z 3 xyz Với x, y , z , theo BĐT Cauchy ta x y z xy yz zx x yz 2 x yz 2 x yz Tương tự ta được: x2 x yz yz y2 z2 ; 4 y zx zx z xy xy x2 y2 z2 1 1 11 1 P x yz y zx z xy yz xz xy x y z xy yz zx x y z 2 xyz xyz 2 GTLN P x y z 1 HẾT