SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI TUYỂN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012- 2013 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Đề thi gồm : 01 trang Câu I (2,0 điểm) 2 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử a (b-2c)+b (c-a)+2c (a-b)+abc 2) Cho x, y thỏa mãn x y- y +1+ y+ y +1 Tính giá trị biểu thức A x +x y+3x +xy- 2y +1 Câu II ( 2,0 điểm) 1) Giải phương trình (x - 4x+11)(x - 8x +21) 35 x+ x +2012 y+ y +2012 2012 2) Giải hệ phương trình x + z - 4(y+z)+8 0 Câu III (2,0 điểm) 1)Chứng minh với số nguyên n (n2 + n + 1) không chia hết cho 2)Xét phương trình x2 – m2x + 2m + = (1) (ẩn x) Tìm giá trị nguyên dương m để phương trình (1) có nghiệm ngun Câu IV (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A có AB < AC ngoại tiếp đường tròn tâm O Gọi D, E, F tiếp điểm (O) với cạnh AB, AC, BC; BO cắt EF I M điểm di chuyển đoạn CE 1) Tính BIF 2) Gọi H giao điểm BM EF Chứng minh AM = AB tứ giác ABHI nội tiếp 3) Gọi N giao điểm BM với cung nhỏ EF (O), P Q hình chiếu N đường thẳng DE, DF Xác định vị trí điểm M để PQ lớn Câu V (1,0 điểm) Cho số a, b, c thỏa mãn a b c 1 Tìm giá trị lớn biểu 1 + a+1 b+1 c+1 thức B (a+b+c+3) + Hết -Họ tên thí sinh…………………………Số báo danh……………… ……………… Chữ kí giám thị 1: ……………………… Chữ kí giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KÌ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 - 2013 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MƠN TỐN (chun) Hướng dẫn chấm gồm : 03 trang I) HƯỚNG DẪN CHUNG - Thí sinh làm theo cách riêng đáp ứng yêu cầu cho đủ điểm - Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải thống Hội đồng chấm - Sau cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Câu Nội dung Điểm Câu I (2,0đ) 1) 1,0 điểm a (b - 2c) +b (c - a) + 2c2 (a - b) + abc=2c2 (a - b)+ab(a-b)-c(a b2 ) ac(a 0,25 b) 0,25 (a b)[2c 2ac ab bc] (a b)[2c (c a ) b(a c)] 0,25 (a b)(a c)(b 2c) 0,25 2) 1,0 điểm Có x = y- y + y+ y + 0,25 x = 2y +3 y - y2 + y+ y + y- y +1 y+ y +1 x + 3x -2y = 0,25 A = x + x y + 3x - 2xy + 3xy - 2y + = (x +3x -2xy) +(x y+3xy - 2y ) 10,25 0,25 x(x +3x-2y) +y(x +3x - 2y) 1 Câu II (1,0đ) 1)1,0 điểm 2)1,0 điểm 2 2 2 phương trình cho tương đương với ( x 2) ( x 4) 5 35 (1) 0,25 ( x 2) 7x 2 Do ( x 2) ( x 4) 5 35x ( x 4) 5x ( x 2) 7 (1) 2 ( x 4) 5 0,25 x=2 (x+ x +2012)(y+ y +2012) 2012 (1) 2 (2) x + z - 4(y+z)+8=0 0,25 0,25 (1) x x 2012 (Do y y 2012 y 0y ) y 2012 y 2012 y 2012 0,25 y 2012 y x x 2012 2012 2012 x y y 2012 x y x y y 2012 y 2012 y x x 2012 y 2012 y x 2012 x 2012 y 2012 x 2012 y 2012 x 2012 y2 x2 y 2012 x 2012 ( x y) y 2012 y x 2012 x y 2012 x 2012 Do 0,25 y 2012 | y | yy x 2012 | x | xx y 2012 y x 2012 x y x Thay y=-x vào(2) x z x z 0 ( x 2) ( z 2) 0 ( x 2) 0 ( z 2) 0 0 x y x 2 Vậy hệ có nghiệm (x;y;z)=( z 2 0,25 0,25 2;2;2) Câu III (2,0đ) 1)1,0 điểm 2)1,0 điểm Đặt A = n2 + n + n n = 3k; n = 3k + 1; n = 3k + (k ) * n = 3k => A khơng chia hết cho (vì A khơng chia hết cho 3) * n = 3k + => A = 9k2 + 9k + không chia hết cho * n = 3k +2 => A = 9k2 +9k+7 không chia hết cho Vậy với số nguyên n A = n2 + n + khụng chia ht cho Giả sử tồn m * để phơng trình có nghiệm x1, x2 x1 x2 m Theo vi-et: (x1 - 1) (x2 - 1) = - m2 + 2m + x x m * Với m Ta có x1x2 x1 + x2 m x1hoặc x2 nguyên 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x1 x2 m * x1 , x2 * ( x1 1)( x2 1) 0 m 2m 0 (m 1)(m 3) 0 m 3 m {1;2;3} Víi m = 1; m = thay vào ta thấy phơng trình đà cho vô nghiệm Với m = thay vào phơng trình ta đợc nghiệm phơng trình đà cho x =1; x = tho¶ m·n VËy m= Câu IV (2,0đ) 1) 1,0 điểm Vẽ hình theo yêu cầu chung đề 0,25 0,25 0,25 B F K D H O I A E C M Gọi K giao điểm BO với DF => ΔIKFIKF vuông K 1 DOE=450 Có DFE= 0,25 0,25 0,25 450 BIF 2) 1,0 điểm Khi AM = AB ΔIKFABM vng cân A => DBH=45 Có 0,25 DFH=45 => Tứ giác BDHF nội tiếp => điểm B, D, O, H, F thuộc đường tròn => BFO=BHO 900 => OH BM , mà OA BM => A, O, H thẳng hàng BAH=BIH 450 => Tứ giác ABHI nội tiếp 3) 1,0 điểm B 0,25 0,25 0,25 0,25 F P D O N A E M C Q Có tứ giác PNQD nội tiếp = > QPN=QDN=EFN Tương tự có NQP=NDP=FEN => ΔIKFNEF ΔIKFNQP đồng dạng => PQ NQ = 1 PQ EF EF NE Dấu “=” xẩy P F; Q E => DN đường kính 0,25 0,25 Câu V (1,0đ) (O) => PQ lớn EF Cách xác định điểm M : Kẻ đường kính DN (O), BN cắt AC M PQ lớn Đặt x=1+c, y=1+b, z=1+a a b c 1 = >1 z y x 2 x y z x y x z y x y z z x Khi A= (x+y+z)( )=3+ 1 1 0,25 0,25 z y x y x y x y x y x 0 0 y z y z y.z y z z 0,25 z y z y z y z y z 0 0 y x y x y x y x x x y z y x z x x y y z z x z 2 y z y x z x y z x z x y z x x Đặt = t => t 2 z x z t 1 2t 5t (2t 1)(t 2) t z x t t 2t 2t (2t 1)(t 2) x z 0 Do t 2 2t z x A 3 10 Ta thấy a=b=0 c=1 A=10 nên giá trị lớn A 10 0,25 0,25