020 đề hsg toán 9 hải dương 2012 2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI TUYỂN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012- 2013 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Đề thi gồm : 01 trang Câu I (2,0 điểm) 2 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử a (b-2c)+b (c-a)+2c (a-b)+abc 2) Cho x, y thỏa mãn x  y- y +1+ y+ y +1 Tính giá trị biểu thức A  x +x y+3x +xy- 2y +1 Câu II ( 2,0 điểm) 1) Giải phương trình (x - 4x+11)(x - 8x +21) 35     x+ x +2012 y+ y +2012 2012  2) Giải hệ phương trình   x + z - 4(y+z)+8 0 Câu III (2,0 điểm) 1)Chứng minh với số nguyên n (n2 + n + 1) không chia hết cho 2)Xét phương trình x2 – m2x + 2m + = (1) (ẩn x) Tìm giá trị nguyên dương m để phương trình (1) có nghiệm ngun Câu IV (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A có AB < AC ngoại tiếp đường tròn tâm O Gọi D, E, F tiếp điểm (O) với cạnh AB, AC, BC; BO cắt EF I M điểm di chuyển đoạn CE  1) Tính BIF 2) Gọi H giao điểm BM EF Chứng minh AM = AB tứ giác ABHI nội tiếp 3) Gọi N giao điểm BM với cung nhỏ EF (O), P Q hình chiếu N đường thẳng DE, DF Xác định vị trí điểm M để PQ lớn Câu V (1,0 điểm) Cho số a, b, c thỏa mãn a b c 1 Tìm giá trị lớn biểu  1  +   a+1 b+1 c+1  thức B (a+b+c+3)  + Hết -Họ tên thí sinh…………………………Số báo danh……………… ……………… Chữ kí giám thị 1: ……………………… Chữ kí giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KÌ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 - 2013 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MƠN TỐN (chun) Hướng dẫn chấm gồm : 03 trang I) HƯỚNG DẪN CHUNG - Thí sinh làm theo cách riêng đáp ứng yêu cầu cho đủ điểm - Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải thống Hội đồng chấm - Sau cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Câu Nội dung Điểm Câu I (2,0đ) 1) 1,0 điểm a (b - 2c) +b (c - a) + 2c2 (a - b) + abc=2c2 (a - b)+ab(a-b)-c(a  b2 )  ac(a  0,25 b) 0,25 (a  b)[2c  2ac  ab  bc] (a  b)[2c (c  a )  b(a  c)] 0,25 (a  b)(a  c)(b  2c) 0,25 2) 1,0 điểm Có x = y- y +  y+ y + 0,25  x = 2y +3 y - y2 + y+ y +  y- y +1  y+ y +1     x + 3x -2y = 0,25 A = x + x y + 3x - 2xy + 3xy - 2y + = (x +3x -2xy) +(x y+3xy - 2y )  10,25 0,25 x(x +3x-2y) +y(x +3x - 2y)  1 Câu II (1,0đ) 1)1,0 điểm 2)1,0 điểm 2 2 2 phương trình cho tương đương với  ( x  2)    ( x  4)  5 35 (1) 0,25 ( x  2)  7x  2 Do    ( x  2)    ( x  4)  5 35x ( x  4)  5x  ( x  2)  7 (1)   2 ( x  4)  5 0,25 x=2 (x+ x +2012)(y+ y +2012) 2012 (1)  2 (2)  x + z - 4(y+z)+8=0 0,25 0,25  (1)  x  x  2012 (Do  y  y  2012  y 0y ) y  2012   y  2012  y 2012 0,25  y  2012  y     x  x  2012 2012 2012  x  y  y  2012    x y   x y  y  2012    y  2012  y  x  x  2012  y  2012  y x  2012 x  2012  y  2012  x  2012  y  2012  x  2012 y2  x2 y  2012  x  2012  ( x  y) y  2012  y  x  2012  x y  2012  x  2012 Do 0,25 y  2012 | y | yy     x  2012 | x | xx  y  2012  y  x  2012  x   y  x Thay y=-x vào(2)  x  z  x  z  0  ( x  2)  ( z  2) 0 ( x  2) 0   ( z  2) 0 0  x   y  x 2 Vậy hệ có nghiệm (x;y;z)=(  z 2 0,25 0,25 2;2;2) Câu III (2,0đ) 1)1,0 điểm 2)1,0 điểm Đặt A = n2 + n + n    n = 3k; n = 3k + 1; n = 3k + (k  ) * n = 3k => A khơng chia hết cho (vì A khơng chia hết cho 3) * n = 3k + => A = 9k2 + 9k + không chia hết cho * n = 3k +2 => A = 9k2 +9k+7 không chia hết cho Vậy với số nguyên n A = n2 + n + khụng chia ht cho Giả sử tồn m * để phơng trình có nghiệm x1, x2  x1  x2 m Theo vi-et:   (x1 - 1) (x2 - 1) = - m2 + 2m + x x  m   * Với m   Ta có x1x2 x1 + x2 m x1hoặc x2 nguyên 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x1  x2 m  *  x1 , x2  *  ( x1  1)( x2  1) 0   m  2m  0  (m  1)(m  3) 0  m 3  m  {1;2;3} Víi m = 1; m = thay vào ta thấy phơng trình đà cho vô nghiệm Với m = thay vào phơng trình ta đợc nghiệm phơng trình đà cho x =1; x = tho¶ m·n VËy m= Câu IV (2,0đ) 1) 1,0 điểm Vẽ hình theo yêu cầu chung đề 0,25 0,25 0,25 B F K D H O I A E C M Gọi K giao điểm BO với DF => ΔIKFIKF vuông K 1  DOE=450 Có DFE= 0,25 0,25 0,25  450  BIF  2) 1,0 điểm Khi AM = AB ΔIKFABM vng cân A => DBH=45 Có 0,25  DFH=45 => Tứ giác BDHF nội tiếp => điểm B, D, O, H, F thuộc đường tròn   => BFO=BHO 900 => OH  BM , mà OA  BM => A, O, H thẳng hàng   BAH=BIH 450 => Tứ giác ABHI nội tiếp 3) 1,0 điểm B 0,25 0,25 0,25 0,25 F P D O N A E M C Q    Có tứ giác PNQD nội tiếp = > QPN=QDN=EFN    Tương tự có NQP=NDP=FEN => ΔIKFNEF ΔIKFNQP đồng dạng => PQ NQ = 1  PQ EF EF NE Dấu “=” xẩy P  F; Q  E => DN đường kính 0,25 0,25 Câu V (1,0đ) (O) => PQ lớn EF Cách xác định điểm M : Kẻ đường kính DN (O), BN cắt AC M PQ lớn Đặt x=1+c, y=1+b, z=1+a a b c 1 = >1 z y x 2 x y z x y x z y x y z z x Khi A= (x+y+z)(   )=3+        1   1  0,25 0,25 z y x  y x y x y x y x 0         0     y  z y z y.z y z z 0,25 z  y z y z y z y z 0         0     y  x y x y x y x x x y z y x z x x y y z z x z             2     y z y x z x y z x z x y  z x x Đặt = t => t 2 z x z t 1 2t  5t  (2t  1)(t  2)  t       z x t t 2t 2t (2t  1)(t  2) x z 0    Do t 2  2t z x  A 3   10  Ta thấy a=b=0 c=1 A=10 nên giá trị lớn A 10 0,25 0,25