025 đề hsg toán 9 phú thọ 2012 2013

/tmp/jodconverter_876e32c6-7f96-4b92-9db0-1b225e971b8d/tempfile_13132.doc SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 - 2013 MƠN: TỐN - LỚP ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm 150 phút không kể thời gian giao đề Câu1( 3,0 điểm) 1) Giải phương trình nghiệm nguyên x  3xy  y 25 2)Tìm tất số nguyên dương n cho A= n.4n  3n 7 Câu 2( 4,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức: A= 10  30  2  10  2 : 3 x  yz y  zx z  xy 2) Cho số thực dương a,b,c,x,y,z khác thoả mãn   a b c 2 a  bc b  ca c  ab   Chứng minh x y z Câu 3( 4,0 điểm) 1) Cho phương trình: x  6x  m 0 (Với m tham số) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 thoả mãn x12  x2 12 8x y  27 18 y 2) Giải hệ phương trình:  2  4x y  6x  y Câu 4( 7,0 điểm) 1) Cho đường tròn (O) đường kính BD=2R, dây cung AC đường trịn (O) thay đổi ln vng góc cắt BD H Gọi P,Q,R,S chân đường vuông góc hạ từ H xuống AB,AD,CD,CB a) CMR: HA2  HB  HC  HD không đổi b) CMR : PQRS tứ giác nội tiếp 2) Cho hình vng ABCD MNPQ có bốn đỉnh M,N,P,Q thuộc cạnh AB,BC,CD,DA hình vng CMR: S ABCD ≤ AC Câu 5( 2,0 điểm) Cho a,b,c số thực dương CMR: ab bc ca a b c    a  3b  2c b  3c  2a c  3a  2b -Hêt— MN  NP  PQ  QM Hướng dẫn Câu1.1) x  3xy  y 25  y (3 x  5) 8 x  25  y  x  25 25  y 24 x  40  Z 3x  3x  Khi 3x+5 ước 25 từ tìm ( x; y )   ( 10; 31); ( 2; 7); (0; 5) ( cách khac nhân vế với đưavề tích) 1.2) Với n chẵn n=2k A 2k k  32 k (2k  1).4 k  (16k  k ) 7  2k  17  k  7t   n 14t  14m  6 m  N  Với n lẻ n=2k+1 A (2k  1).4 k 1  k 1 2k k 1  (4 k 1  k 1 ) 7  2k 7  k 7t  n 14m  1 m  N  Vậy n 14m  n 14m  ( với n  N ) A chia hết cho Câu2.1) 10  30  2  10  2 : = 3 2 (  1)  (  1)  2 3  42 3  1  1     2 2 2 2 (  1) x  yz y  zx z  xy 2.2)   a b c  a b c a2 bc a  bc     2  (1) 2 3 x  yz y  xz z  xy x  x yz  y z y z  xy  xz  x yz x( x  y  z  xyz) Tuongtu : b2 ac b  ac   (2) y  y xz  x z x z  x y  yz  xy z y ( x  y  z  xyz) Tuongtu : c2 ab c  ab   (3) Z  xyz  x y x y  x z  y z  xyz z ( x  y  z  xyz) Từ (1) (2) (3) ta co ĐPCM Câu 3.1) Để phương trình có nghiệm / 0  m  (*) Mặt khác ta phải có  x1  x 6  x1  x 6  x1 4     x1 x  m   x1 x  m   x1 x  m  m   x  x 12  x  x 2  x 2  2   3.2)Giải hệ phương trình TM ĐK (*)  y  27 18 y 8 x   y  6x  y 4 x HD y =0 không nghiệm hệ chia vế PT(1) cho y PT(2) cho y2 Ta có hệ 27   18 8 x y3   x 4 x  1  y y2  Đặt a 2 x   b  y     Hệ có nghiệm ( x, y )     Câu 4.1) ; ta có hệ 3  a  b 3 a  b 18    2  ab 1 a b  ab 3  3  ;   ;    3       A Q P B H S D O R C a) theo Pitago HA  HB  AB ; HC  HB BC ; HC  HD CD ; HA  HD  AD ; suy đpcm b)Tứ giác HPBS nội tiếp  HPS HBS DBC Tứ giác HPAQ hình chữ nhật  HPQ HAQ CAD CBD Do SPQ HPS  HPQ 2CBC Tương tự SQR 2BDC Do DBC  BDC 1800  SPQ  SRQ 1800 nên tứ giác PQRS nội tiếp ( đ/lí đảo) 4.2) M A B I N K Q L D C P Cách Gọi T, K, L trung điểm MQ, MP, NP theo t/c đường trung bình trung tuyến tam giác vng ta có MN  NP  PQ  QM 2( KL  CL  IK  AI ) 2 AC từ suy đpcm Cách Ta có theo Pitago MN BN  BM  Tương Tự NP  Nên ( BM  BN ) BM  BN  MN  ( áp dụng BĐT Bunhiacoopsky) 2 CN  NP DP  DQ AQ  AM ; PQ  ; MQ  2 MN  NP  PQ  QM  BM  NB  NC  CP  PD  DQ  QA  AM 4a  2a 2 a  MN  NP  PQ  QM  a  dpcm Dấu “=” xảy MNPQ hình chữ nhật Câu Cho a,b c>0 Chứng minh rằng: ab bc ca a b c    a  3b  2c 2a  b  3c 3a  2b  c Dự đoán a=b=c tách mẫu để a+c=b+c=2b 1 1 1 1 1      Tacó áp dụng BĐT ( x  y  z )    9  x  y  z  x y z   x y z ab ab ab  1   ab ab a            (1) a  3b  2c (a  c )  (b  c)  2b  a  c b  c 2b   a  c b  c  Tương tự bc bc bc  1   bc bc b           (2) 2a  b  3c (a  b)  (a  c )  2c  a  c b  c 2b   a  b b  c  ac ac ac  1   ac ac c           (2) 3a  2b  c (a  b)  (b  c)  2a  a  b b  c 2a   a  b b  c  Từ (1) (2) (3)  ac  bc ab  ac bc  ab a  b  c  a  b  c P      9 a b bc ac  Dấu “=” xảy a=b=c