Toan 9 ha hoa (21 22)

PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2021- 2022 Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Ghi chú: - Thí sinh lựa chọn đáp án phần trắc nghiệm khách quan có lựa chọn - Thí sinh làm thi (cả phần trắc nghiệm tự luận) tờ giấy thi (không làm đề thi) A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Câu Kí hiệu     2  số nguyên lớn không vượt x Tìm số dư chia  x 5 A  2022   cho 35  B 10 C 15 D 20 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng qua điểm A   2;3 vng góc với đường thẳng y  x  22 có phương trình 11 A y  x  3 11 11 C y  x  D y  x  3 3   2x  x  2x x  x  x   1   Câu Rút gọn biểu thức P   với x  ,  : 1 x x  1 x x  x1  x B y  11 x 3 x 1 ta A P  x  x 1  x B P  x x1  x C P  x x 1  x D P   x x   x Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Tìm a để ba điểm M  2;1 , P   1;   , Q   4; a  1 thẳng hàng A  16 B 16 C D  Câu Cho  x0 ; y0   x  y  Số giá trị nguyên m để x  y  m   nghiệm hệ  x0  10 nhận giá trị nguyên y0  A B C D Câu Bình xăng xe tơ hình hộp chữ nhật có kích thước 48cm 56cm 20cm Cho biết mức tiêu hao nhiên liệu xe 100km đường hỗn hợp hết 8,7 lít xăng Hỏi đổ đầy bình xe chạy km đường hỗn hợp? (Kết làm tròn đến chữ số thập phân thứ theo đơn vị km ) A 613,9km B 615,9km C 614,9km D 617,9km Trang 1/3 Câu Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AD Giả sử trực tâm H trung điểm AD Khẳng định sau đúng? A cos A cos B.cos C B cos A sin B.sin C C sin A cos B.cos C D cos A cos B.sin C Câu Số giá trị nguyên m để phương trình  m   x  x  m  0 có nghiệm phân biệt A B C D Câu Cho điểm A  2;4  , B   3;9  nằm đồ thị hàm số y  x Tính diện tích tam giác OAB A SOAB 10 B SOAB 15 C SOAB 25 D SOAB 30      450 Vẽ trung tuyến AD, qua 900 ; BC a, C Câu 10 Cho tam giác ABC có BAC   A vẽ đường thẳng vng góc với AD cắt đường thẳng BC K Tính độ dài CK a cos  a cos  a sin  a sin   CK   CK   CK   A CK  B C D  2sin   2sin   2sin   2sin  Câu 11 Gọi T tổng tất giá trị tham số m để phương trình x   2m  1 x  m  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 3x1 x12  x2 Tính T 25 25 25 25  B T   C T   D T   Câu 12 Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Gọi M, N thứ tự trung điểm AB, BC Các đường thẳng DN CM cắt I Tính diện tích tam giác CIN theo a A T  A SCIN a2   B SCIN a2   12 C SCIN a2   20 D SCIN a2   18  Câu 13 Cho tam giác ABC nhọn có BAC 750 ; ACB 600 ; BC a Tính độ dài đường cao AH theo a A AH   a 3  B AH   a 3  C AH   a 1  D AH   a 1  2 2 Câu 14 Cho tam giác ABC vng A Gọi r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Tỉ số A r lớn BC 2 2  B 2  C Câu 15 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn 21   O; 5cm  D 1  Tính độ dài cạnh BC biết  BAC 1200 A BC 5cm B BC 5 3cm C 2cm Trang 2/3 D 10 3cm Câu 16 Trong một thi đấu cờ quốc tế trường THCS Nguyễn Du có hai bạn học sinh lớp nhiều bạn học sinh lớp tham gia Theo điều lệ thi, hai kỳ thủ phải đấu với ván cờ: người thắng điểm, người thua điểm, hịa người nửa điểm Tính số học sinh lớp tham dự, biết số số lẻ, bạn học sinh lớp tham gia có số điểm khác 0, hai bạn học sinh lớp nhận tổng cộng 10 điểm A B C D B PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,5 điểm):   x y2 b) Cho 625 số tự nhiên liên tiếp 1; 2; 3; ; 625 Chọn từ 625 số 311 số cho khơng có hai số có tổng 625 Chứng minh rằng: Trong 311 số chọn, có số phương c) Một số tự nhiên gọi số “may mắn” chữ số chia thành nhóm có tổng chữ số Có tồn hay khơng số M để số M ; M  1; M  số may mắn Câu (3,5 điểm): a) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn  x  x   y  y a) Giải hệ phương trình:  2  x   x  x  y   x  y b) Giải phương trình: x  3x  x  x  x  0 Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn  O; R  có dây BC cố định Hai đường cao BE, CF cắt H Gọi M, N thứ tự hình chiếu vng góc H đường phân giác đường phân giác đỉnh A tam giác ABC Các tiếp tuyến  O; R  B, C cắt P, AP cắt  O; R  Q khác A a) Chứng minh MN trung trực EF b) Chứng minh đường thẳng AP, MN, EF đồng quy c) Chứng minh A thay đổi cung lớn BC đường thẳng MN qua điểm cố định Câu (1,0 điểm): y z   xy  yz  zx  2021 yz zx Cho x, y, z  thỏa mãn xyz  Tìm giá trị lớn biểu thức S x  x y HẾT Họ tên thí sinh: …………………………………………… Số báo danh: ……… Cán coi thị khơng giải thích thêm Trang 3/3 PHỊNG GD&ĐT HẠ HÒA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2021 – 2022 ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Câu Đáp án D Câu Đáp án B HƯỚNG DẪN: Câu Kí hiệu     2  C 10 B C 11 A A 12 C D 13 B 5  2022 C 15 a      a3      3    a  3a  0  a   C 16 D   cho 35  B 10 A 15 B số nguyên lớn không vượt x Tìm số dư chia  x A HD:  Do   D 14 C 2   D 20  2    a  a  a  0  a   2022  1011   5 5m  m     1  337  mod   51011 7k  1 k      Từ  1 ,    5m 7 k    m  3 7  k    m  7t 1011 337 Mặt khác 125   1   5m 35t  15 35  t  1  20     2  5  2022   chia 35 dư 20  Chọn D Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng qua điểm A   2;3 vng góc với đường thẳng y  x  22 có phương trình là: 11 A y  x  3 B y  11 x 3 11 C y  x  3 D y  11 x 3 HD: Đường thẳng d vng góc với đường thẳng y  x  22 có dạng y  x  b Do d qua A   2;3 nên      b  b 3  11 11   d : y  x  Chọn C 3 3 Trang 4/3   2x  x  2x x  x   1   Câu Rút gọn biểu thức P   : 1 x x  1 x x  x1 x x  với x  ,  x 1 ta A P  x  x 1  x B P  x x1  x C P  x x 1  x D P   x x   x HD:   2x  x  2x x  x  x   1 P      : 1 x x  1 x x  x1     x 1 x1 x 1 x   x  x 1   x     :   x x    1 x x 1  x x  x 1              x    x  x  x   x    x  x  x 1  x  x    :   :  x 1 x   1 x  x  x 1   x  x    x x  x 1                           x  x  x  1  x  x  x  1    x1 x 1          x 1 x => chọn C Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Tìm a để ba điểm M  2;1 , P   1;   , Q   4; a  1 thẳng hàng A  16 B 16 C D  HD: Viết phương trình MP : y 3 x  Vì ba điểm M  2;1 , P   1;   , Q   4; a  1 thẳng hàng nên a  3.     a  16  chọn A Câu Cho  x0 ; y0   x  y  Số giá trị nguyên m để x  y  m   nghiệm hệ  x0  10 nhận giá trị nguyên y0  A B C D  x0 m   y0 m  HD: Tính   x0  10 2. m  1  10 2m  x  6m  24 16     2  y0   m    3m  y0  3m  3m   3m    1; 2; 4; 8; 16  m    1;0;  2;  4;4  chọn D Câu Bình xăng xe tơ hình hộp chữ nhật có kích thước 48cm 56cm 20cm Cho biết mức tiêu hao nhiên liệu xe 100km đường hỗn Trang 5/3 hợp hết 8,7 lít xăng Hỏi đổ đầy bình xe chạy km đường hỗn hợp? (Kết làm tròn đến chữ số thập phân thứ theo đơn vị km ) A 613,9km B 615,9km C 614,9km D 617,9km   HD: Thể tích bình xăng 48.56.20 53760 cm 53,760  l  Do số km đường hỗn hợp: 53,76 : 8,7 617,9  km   chọn D Câu Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AD Giả sử trực tâm H trung điểm AD Khẳng định sau đúng? A cos A cos B.cos C B cos A sin B.sin C C sin A cos B.cos C D cos A cos B.sin C HD: Theo ĐL Menelaus A AE CB DH 1  AE.CB EC.BD EC BD HA  AB.cos A.CB BC.cos C AB.cos B E H  cos A cos B.cos C  chọn A B C D Câu Số giá trị nguyên m để phương trình  m   x  x  m  0 có nghiệm phân biệt A B C D HD: Phương trình  m   x  x  m  0 có nghiệm phân m  0    '   m 2 m 2    4   m    m  1   m  3  m     m    1;0;1  chọn C Câu Cho điểm A  2;4  , B   3;9  nằm đồ thị hàm số y  x Tính diện tích tam giác OAB A SOAB 10 B SOAB 15 C SOAB 25 D SOAB 30 HD: Lấy C   3;0  , D  2;0      3.9 2.4  15  chọn B 2       450  900 ; BC a, C Câu 10 Cho tam giác ABC có BAC  SOAB S ABCD  SOBC  SOAD  C Vẽ trung tuyến AD, qua A vẽ đường thẳng vuông góc với AD cắt đường thẳng BC K Tính độ dài CK a cos  a cos  a sin  aDsin  CK   CK   CK   CK   A B C D  2sin   2sin   2sin   2sin  HD: CK CD  DK  BC a AD a a  DK     2 cos ADC 2cos 2 Chứng minh cos 2 1  2sin  A B Trang 6/3 K a a a cos    chọn B Do CK   2   2sin    2sin  m để phương trình x   2m  1 x  m  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 3x1 x12  x2 Tính T Câu 11 Gọi T tổng tất giá trị tham số A T  25  B T  25  C T  25  D T  25  25   chọn A 8 Câu 12 Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Gọi M, N thứ tự trung điểm AB, BC Các đường thẳng DN CM cắt I Tính diện tích tam giác CIN theo a   9 8 HD: Tìm m  0;2;   T 0   A SCIN  a2  a2 B SCIN   12 C SCIN  a2  20 a2 D SCIN   18 M A  HD: Chỉ CIN 900 Ta có B SCIN SCBM a   1 a a2  CN  2     SCIN  a    a2 5 2 20  CM  a  N I  chọn C C D  Câu 13 Cho tam giác ABC nhọn có BAC 750 ; ACB 600 ; BC a Tính độ dài đường cao AH theo a A AH   a 3  B AH   a 3  C AH  HD: Ta có  a 1  D AH   a 1  A BC HB  HC  AH cot B  AH cot C BC  AH  cot B  cotC Trang 7/3 B H C   a 3 a a    chọn B cot 600  cot 450  Câu 14 Cho tam giác ABC vuông A Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC r Tỉ số lớn BC  AH  A 2 2 HD: r   B 2  C 21  2 1  D bc a r bc  a   a 2a   2 Theo Py-ta-go: b  c a , theo Cauchy-Schwarz:  b  c  2 b  c 2a  b  c a r 21 Dấu đẳng thức xảy ABC vuông cân A  chọn C  a Câu 15 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O;5cm  Tính độ dài cạnh BC biết  BAC 1200  A BC 5cm B BC 5 3cm C 2cm D 10 3cm A HD: BC CD.sin 600  BC 10 5  cm  120° B C 10cm  chọn B 60° D Câu 16 Trong một thi đấu cờ quốc tế trường THCS Nguyễn Du có hai bạn học sinh lớp số bạn học sinh lớp tham gia Theo thể lệ thi, hai kỳ thủ phải đấu với ván cờ: người thắng điểm, người thua điểm, hịa người nửa điểm Tính số học sinh lớp tham dự, biết số số lẻ, bạn học sinh lớp tham gia có số điểm khác 0, cịn hai bạn học sinh lớp nhận tổng cộng 10 điểm A B C D HD: Gọi x số HS lớp tham dự y số điểm mà HS lớp đạt với x, y   , x  1, y x lẻ Từ giả thiết ta có  x    x  1 xy  10 Từ tìm  x; y   9;5  chọn D Trang 8/3 B PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu Nội dung trình bày a) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn Điểm   x y 2 1,5 ĐK: x 1; y  Khi y   2x      x y2  x  1  y   0,25   x  1  y   3  y  x    xy  y  x  3 y  x  12  xy  x  y 14  x  y     y    18 0,25   x    y    18 Vì x, y   nên x  4; y   Ư   18   x  4; y    1; 2; 3; 6; 9; 18 0,5 Từ tìm   14;   ;   5;   ;   2;   ;  2;1 ;  3;10  ;  5;  26  ;   x; y      6;  17  ;  7;  14  ;  10;  11 ;  13;  10  ;  22;    b) Cho 625 số tự nhiên liên tiếp 1; 2; 3; ; 625 Chọn từ 625 số 311 số cho khơng có hai số có tổng 625 Chứng minh rằng: Trong 311 số chọn, có số phương Ta chia 625 số tự nhiên cho thành 311 nhóm sau: 0,5 1,0 Nhóm A311 gồm số phương  49, 225, 400,576;625 0,25 Các nhóm A1 ; A2 ; A3 ; ; A310 nhóm gồm số hạng  k ; 625  k  tức nhóm có hai số hạng có tổng 625 cho k  A311 Nếu 311 số chọn khơng có số thuộc nhóm A311 311 số thuộc 310 nhóm cịn lại Theo ngun tắc Dirichlet 311 số tồn cặp gồm hai số thuộc nhóm Hai số có tổng 625 => Điều mẫu thuẫn với giả thiết Vậy 311 số chọn phải có số thuộc nhóm A311 Số số phương c) Một số tự nhiên gọi số “may mắn” chữ số chia thành nhóm có tổng chữ số Có tồn hay khơng số M để số M ; M  1; M  số may mắn Nếu số số “may mắn” tổng chữa số ln số chẵn Giả sử số M ; M  1; M  số may mắn Trang 9/3 0,25 0,25 0,25 1,0 0,25 Ta kí hiệu S  X  tổng chữ số số tự nhiên  S  M  2; S  M  1 2; S  M   2 số chẵn Ta có M M  số may mắn Nếu M có chữ số tận khác  S  M  1 S  M    S  M  1 2 (vì S  M  2 ) mâu thuẫn với S  M  1 2  M tận (1) Ta có M  M  số may mắn Nếu M  có chữ số tận khác  S  M   S  M  1   S  M   2 (vì S  M  2 ) mâu 0,25 0,25 thuẫn với S  M   2  M  tận (2) Từ (1), (2)  M , M  có tận  vô lý  Giả sử ban đầu sai Vậy không số M để số M ; M  1; M  số may mắn  x  x   y  y a) Giải hệ phương trình:  2  x   x  x  y   x  y  x 2 ĐKXĐ:  0,25 1,5 0,25  x  3x  y  0 Biến đổi x3  3x   y  y  x3   y  y  y  1  3x   y  1 0  x3   y  1   x   y  1  0   x  y  1  x  x  y  1   y  1  3 0    x     x  y  1    y  1  x  3 0     0,5 2 x  3x Với ĐK x 2    y  1   0 2   x 2  x 2   Dấu đẳng thức xảy  x (loại) y   y     Do x  y  0  y x  , thay vào PT thứ hai hệ Trang 10/3 0,25 0,5 x   x  x  x  x  x   x   x  x  x  x  x   x 2  x  1  x  x  1 x  x   2x2  6x   x   2  x  3 2     x   1     x  3  Vì  x  1  x   x 2  x  1 0  x2  2x   2 x  0  x  2x    * x  0x  R nên để (*) có nghiệm dấu phải đồng thời xảy  x 3  t / m  Từ tìm  x; y   3;2  b) Giải phương trình: x  3x  x  x  x  0 2,0 x5  x  x3  x  x  0  x  x  x  x  x3  3x  x  x  x  0  x  x  1  x  x  1  x  x  1  x  x  1   x  1 0 1,0   x  1  x  x3  x  x   0  x  0   x  x  x  x  0 Với x  0  x  0,25 0,25 Với x  x3  3x  x  0   x  x3  x    x  x  1  x  0 2   x  x    x  1  x  0 2 0,5 => Phương trình vơ nghiệm  x  x    x  1  x   0x  R 2 1  2 Vậy tập nghiệm PT S   Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn  O; R  có dây BC cố định Hai đường cao BE, CF cắt H Gọi M, N thứ tự hình chiếu vng góc H đường phân giác đường phân giác đỉnh A tam giác ABC Các tiếp tuyến  O; R  B, C cắt P, AP cắt  O; R  Q khác A a) Chứng minh MN trung trực EF b) Chứng minh đường thẳng AP, MN, EF đồng quy c) Chứng minh A thay đổi cung lớn BC đường thẳng MN ln qua điểm cố định Trang 11/3 A N E I S F M O H K B MN trung trực EF a) Chứng minh C Có AFH AEH AMH  ANH 900  E , F , M , N thuộc đường trịn đường kính AH Chỉ N , A, E , M , H , F thuộc Q đường trịn đường kính AH 1   FAM  ABC  EM FM  1 Ta có EAM Do AM AN đường phân giác góc góc ngồi A  tam giác ABC nên NAM 900 1,5 0,5 0,5 Vì tứ giác ANFM nội tiếp đường trịn đường kính AH nên   MFN 1800  NAM 900 Tương tự tứ giác ANME nội tiếp đường trịn đường kính AH nên P   MFN NAM 900 (cùng chắn cung MN) Do MNF MNE  c.h  c.g v   EN FN   0,5 Từ  1 ,    MN trung trực EF b) Chứng minh đường thẳng AP, MN, EF đồng quy Gọi S trung điểm EF; Giả sử AP cắt EF S’ FS ' BQ   3 AS ' BA ES ' QC  AES ' đồng dạng AQC   4 AS ' AC BQ QC  Mặt khác theo TC phân giác  5 BA AC Từ  3 ,   ,    FS ' ES'  S' S Chỉ ra: AFS ' đồng dạng AQB  Do đường thẳng AP, MN, EF đồng quy c) Chứng minh A thay đổi cung lớn BC đường thẳng MN ln qua điểm cố định Trang 12/3 1,5 0,5 0,5 0,5 1,0 Gọi I trung điểm AH  I tâm đường tròn qua điểm N , A, E , M , H , F  IE IF 0,5 Gọi K trung điểm BC  KE KF (tính chất tam giác vng)  IK đường trung trực FE ; Mặt khác MN đường trung trực FE Do đường thẳng MN qua K cố định Câu (1,0 điểm): 0,5 Tìm giá trị lớn biểu thức y z   xy  yz  zx  2021 yz zx Cho x, y, z  thỏa mãn xyz  S x  x y 1,0 Theo BĐT Cauchy-Schwarz  x y z   y  z  x  x  y y  z z  x    x y z   x  y  z       xy yz zx  x    x y  y z    yz z  x  0,25  x y z   1 2 xyz  x  y  z     ;  xyz    2  x y yz zx  Mặt khác xyz  x  y  z  x 1 1  2 x yz  x yz 2 x yz  x yz    x y x y 4 x y  Làm tương tự có y 1 1 xyz  x  y  z  2 xy z  x y z 2 x yz  x y z    yz yz 4 y z  xyz  x  y  z  0,25 z 1 1 2 xyz  xy z 2 xyz  xy z    zx zx 4 z x  Từ suy 0,25  x y z  xyz  x  y  z       x y yz zx 1 2  x yz  y zx  z xy    x yz  y zx  z xy    x y  y z  z x  2 2  x yz  y zx  z xy    x y  y z  z x   xy  yz  zx  Trang 13/3 2 x yz  y zx  z xy    x y  y z  z x  )  2 x y z     xy  yz  zx  S 2021 x y yz zx (Vì Dấu đẳng thức xảy x  y z  Vậy max S 2021 x  y z  Lưu ý: - Tổng điểm chấm tính đến 0,25, khơng làm trịn - HS làm theo cách khác đáp án cho điểm tối đa ứng với phần làm Hết Trang 14/3 0,25