PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP THCS NĂM HỌC 2017 - 2018 MƠN: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Đề thi có 03 trang ĐỀ CHÍNH THỨC I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Hãy chọn phương án trả lời đúng: Câu 1: Giá trị biểu thức P = là: A B C Câu 2: Cho x 1 D Giá trị biểu thức P x 12x 2017 là: A P = B P = C P = -2009 D P=2017 Câu 3: Biểu thức sau có giá trị số hữu tỷ với x Q : A x3 x2 x 27 C B x 25 x2 x 2x D x 2x 1 x4 x2 Câu 4: Đường thẳng y = ax + b cắt trục tung điểm có tung độ – song song với đường thẳng OA, O gốc tọa độ A 3;1 Khi đó: A a 3; b B a ; b C a 2; b D a 2; b Câu 5: Phương trình đường thẳng qua điểm M(6;2) vng góc với đường thẳng y = - x +3 là: 3 A y x B y = -3x +20 C y = 3x -16 D y x 2mx 3y 5 có nghiệm (m 1)x y 2 Câu 6: Điều kiện tham số m để hệ phương trình (x; y) thỏa mãn x < y < là: A m C m B m D m m Câu 7: Hàm số y 2017 2018 x đạt giá trị lớn bằng: A 2018 D B 2017 2018 C 2017 Câu 8: Cho hình chữ nhật ABCD có AB=2AD=2a (a>0) Gọi E điểm cạnh BC , tia AE cắt tia DC F Khi hệ thức đúng: 1 B AE=2CF C BE.DF=2 a D BE.AF=AE.AD A 2 AB AE AF Câu 9: Cho tam giác ABC vuông A, phân giác AD D BC , có AB = 10cm, AC = 15cm Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC E Độ dài đoạn thẳng CE là: A 9cm B 10cm C 12cm D 15cm Câu 10: Một tam giác cân có chiều cao ứng với cạnh đáy 10 cm, chiều cao ứng với cạnh bên 12 cm Tam giác cân có diện tích là: A 57 cm2 B 60 cm2 Câu 11: Cho A cosC = C 75 cm2 D 90 cm2 tam giác ABC vng A, đường cao AH, có sinB = 0,6 Kết quả sau đúng: AH AC B cosC = sin HAC C cosC = 0,6 giá trị cot là: 15 B C 15 D cosC = CH AH Câu 12: Cho biết cos A 15 D 15 Câu 13: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB=2R vẽ hai tiếp tuyến Ax By; gọi M điểm tuỳ ý cung AB vẽ tiếp tuyến M cắt Ax By tạ i C D Khi : A AC.BD R B AC.BD 2 R C AC.BD 3R D AC.BD 4 R Câu 14: Cho đường tròn (O), hai dây AB CD song song với nhau, biết AB =3cm; CD = 4cm, khoảng cách hai dây 3,5cm Bán kính đường trịn (O) là: A 1,5cm B 2cm C 2,5cm D 3cm Câu 15: Cho đường tròn (O) đường kính 6cm, dây AB = 2cm Số đo cung nhỏ AB bằng: 0 C 900 D 1200 A 45 B 60 Câu 16: Có 120 gói kẹo đem chia cho số em thiếu nhi tết trung thu 2017 Tính xem tối đa có em thiếu nhi tham gia biết em nhận kẹo em nhận số gói kẹo khác nhau? A 12 em B.15 em C 18 em D 20 em II PHẦN TỰ LUẬN: (12điểm) Câu 1(3,0 điểm): a) Chứng minh : 42016 42017 42018 chia hết cho 84 b) Cho a,b,c,d số nguyên dương đôi khác thỏa mãn: a b c d 2 Chứng minh tích a b b c c d d a abcd số chính phương Câu 2(3,5 điểm): a) Giải phương trình: x 2 x x y x 3 b) Giải hệ phương trình: 2 3 x xy y y 7 Câu 3(4 điểm): Cho đường trịn (O,R) có đường kính AB cố định Gọi M điểm di động đường tròn cho M không trùng với A,B Lấy điểm C đối xứng với O qua A Đường thẳng vng góc với AB C cắt đường thẳng AM N Đường thẳng BN cắt (O) điểm thứ hai E Các đường thẳng BM CN cắt F a) Chứng minh A,E,F thẳng hàng tích AE.AF không đổi? b) Tìm vị trí điểm M để diện tích tam giác BNF đạt giá trị nhỏ Tính giá trị theo R? Câu 4(1,5 điểm): Cho a, b, c số dương thỏa mãn a b c 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 2018 2 a b c ab bc ca HẾT Họ và tên thí sinh: SBD: Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học: 2017 – 2018 Mơn thi: Tốn I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Mỗi câu trả lời 0,5 điểm Câu nhiều p.a chọn nửa số p.a cho 0,25 Câu Đáp án D C A,D B C A D A,C,D Câu Đáp án I A 10 C 11 B,C 12 B 13 A 14 C 15 C 16 B PHẦN TỰ LUẬN: (12điểm) Câu Đáp án 2016 2017 2018 Câu 1(3,0 a) Chứng minh : chia hết cho 84 điểm): 42016 42017 42018 42016 42 Ta có 42016.21 42015.84 chứng tỏ 42016 42017 42018 chia hết cho 84 a b c d 2 a b b c c d d a a b c d 1 1 0 a b b c cd d a b b d d 0 a b b c c d d a b(c d )( d a) d ( a b)(b c) 0 Điểm 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ b) 0,25 0,25 abc acd bd b d 0 (ac bd )(b d ) 0 0,25 0,25 ac bd (vì b d ) 0,25 Do đó: abcd ac bd ac số chính phương Câu 2: (3,5 điểm) a) (1,5 đ)Giải phương trình: x 2 x ĐKX Đ: x 0,25 PT x 2 x 0 x x (2 x 1) 2 x 0 0,5 ( x 1)2 ( x 1) 0 Vì ( x 1)2 0;( x 1) 0 x 0 x 1 x 0 0,5 x=1 thỏa mãn ĐKXD Vậy Pt có tập nghiệm S={1} 0,25 b) (2,00 điểm) Hệ phương trình cho tương đương với x y x 3 2 x xy y xy y Từ (1) (2) suy ra: x xy y 2 1 3 x y x 9 3 x y xy y 7 0,5đ y 0 y 1 3x 0 3x 0 Với y ta tìm x 1, x 2 21 21 Với x ta tìm y , y 3 Vậy hệ phương trình có tập nghiệm 0,5đ 21 21 S 1; 1 , 2; 1 , ; , ; 3 3 0,5đ 0,5đ Câu 3(4 đ) F M C O A B E N a)Ta có AMB 900 ( Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) MN BF Xét tam giác FNB có NM BC đường cao nên A trực tâm FA BN (1) Lại có AEB 900 ( Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) AE BN (2) Từ (1),(2) ta có A,E,F thẳng hàng 0,5 AF EAB Xét CAF EAB có ACF AEB 900 ; C ( Đối đỉnh) CAF EAB (g.g) 0,5 CA AF AE.FA CA AB R.2 R 2 R ( Không đổi) AE AB b)Ta có S BNF BC.NF R.NF nhỏ NF đạt giá trị nhỏ 2 Mặt khác, Xét CAF CNB có ACF NCB 900 ; CFA CBN 0,5 0,5 0,5 0,25 CAF CNB (g.g) CA CF NC.FC CA.CB R.3R 3R ( Không đổi) CN CB 0,5 0,25 Áp dụng BĐT Cô sy ta có: NF= CN+CF 2 CN CF 2 R Min S BNF R.NF 3R xảy CN=CF= R ( Khi góc 0,5 ABM= 300) Câu (1,5 điểm) Cho a, b, c số dương thỏa mãn a b c 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 1 2018 2 a b c ab bc ca 1,5 Ta có: ( x y z )( x y z ) 9 x, y, z ( Chứng minh) 1 x y z xyz 1 2016 P 2 a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca 2016 2016 1 ab bc ca a b c ab bc ca 0,25 0,25 Mặt khác: a b c ab bc ca (Ch / m) a b c 3(ab bc ca ) ab bc ca 3 2016 672 ab bc ca Suy ra: P 673 0,25 0,25 Vậy 0,25 Min P = 673 a = b =c = 0,25 Thí sinh làm theo khác mà cho điểm tối đan cho điểm tối đam tối đai đa