Đề thi đáp án HSG Toán 9 Hà Nội 2022_uommamvn

Đề thi đáp án HSG Toán 9 Hà Nội 2022 uommamvn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THÀNH PHỐ Năm học 2021 – 2022 Môn TOÁN Ngày thi 24 tháng 3 năm 2022 Thời g[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP THÀNH PHỐ Năm học 2021 – 2022 Mơn: TỐN Ngày thi: 24 tháng năm 2022 Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Bài I (5,0 điểm) 1) Giải phương trình x + + 3x + = x + 2) Cho a, b, c số thực khác 0, thỏa mãn a + ab = c + bc a + ac = b + bc  a  b  c  Tính giá trị biểu thức K =+ 1  1 +  1 +   b  c  a  Bài II (5,0 điểm) 1) Tìm tất số tự nhiên m, n thỏa mãn 3m + 2022 = n2 2) Tìm tất số nguyên tố p để phương trình x + y − xy + =p có nghiệm nguyên dương Bài III (2,0 điểm) Với số thực a, b, c thỏa mãn ≤ a, b, c ≤ a + b + c = , tìm giá trị lớn giá trị nhỏ ab bc ca biểu thức P = + + + ab + bc + ca Bài IV (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) , nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF tam giác ABC đồng quy trực tâm H Gọi K, Q giao điểm đường thẳng EF với hai đường thẳng AH, AO 1) Chứng minh  AQE = 90o 2) Gọi I trung điểm AH Chứng minh IE = IK ID 3) Gọi R, J trung điểm BE, CF Chứng minh JR vuông góc với QD Bài V (2,0 điểm) 1) Tìm tất số nguyên a, b cho số ( a + b )( b3 + a ) lập phương số nguyên tố 2) Trên bảng ta viết số tự nhiên 222 gồm 2022 chữ số Mỗi bước ta chọn 22 chữ số liên tiếp có chữ số ngồi bên trái 2, biến đổi chữ số chọn theo qui tắc: chữ số đổi thành chữ số chữ số đổi thành chữ số a) Chứng minh cách thực phải dừng lại sau số hữu hạn bước b) Giả sử sau thực n bước khơng thể thực thêm bước Chứng minh n số lẻ Hết Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh :……………………………………… Số báo danh : …………………………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP THÀNH PHỐ Năm học 2021 – 2022 ĐỀ CHÍNH THỨC CÂU Ý I Mơn thi: TỐN Ngày thi: 24 tháng năm 2022 HƯỚNG DẪN CHẤM x   3x   x  (2,5 điểm) Điều kiện xác định: x   Giải phương trình 0,5     Phương trình cho đưa x   x   3x   3x     x 3 2   3x    0         TH1: a  b  c  suy a  b  c;b  c  a; c  a  b Do  b c c a a b   a b c a a  b c b a c b c a b   ;1   ;1   Suy P   1 b b b c c a a b c a TH2: a  b  c   b c c a a b a b c a b  c a b c 1  1  1   a  b  c a b c a b c  a  b  c Suy P            b  c  a  0,5 0,5  a  b  c Tính giá trị biểu thức P           (2,5 điểm) b  c  a  Từ giả thiết suy a a  b  c b  c ;a a  c  b b  c  II 0,5 0,5  x 3 2  Lập luận để dẫn tới   3x    x  Kết hợp điều kiện xác định: phương trình có nghiệm x  ĐIỂM 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Tìm tất số tự nhiên m, n cho 3m  2022  n (3,0 điểm) Giả sử m, n hai số tự nhiên thỏa mãn 3m  2022  n TH1: m  : LOẠI n  30  2022  2023 số phương TH2: m  : n  31  2022  2025  452  n  45 TH3: m  Khi n  3m  2022  n  dẫn tới n  hay  2022  Điều vơ lí 3m  9, cịn 2022 khơng chia hết cho Kết luận, m  1, n  45 m 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Tìm số nguyên tố để phương trình … (2,0 điểm) Biến đổi p  x  y  3xy   x  y  x  y   xy  x  y   Nhận xét p số nguyên tố, x  y   nên dẫn tới  x  y   xy  x  y   x  y   x  1  y  1 2  0,5  0,5 Chú ý x , y số nguyên dương y  2 y  Kết hợp điều kiện ta x  1, y  Từ p  (LOẠI) TH2: y  Làm tương tự ta x  2, y  Từ p  (LOẠI)  TH1: x  1, dẫn tới  y        x 1  y 1  TH3: x  1; y  dẫn tới   x  y  Vậy số nguyên tố p cần tìm p  III  1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P   x  y  Từ p   12 13 0,5 ab bc ca   (2,0 điểm)  ab  bc  ca Tìm giá trị lớn 1 9 Ta có:  P      ab  bc  ca  ab  bc  ca  a b c Suy ra: P  0,5   3 27 13 12 Vậy giá trị lớn P ; P đạt giá trị lớn a  b  c  13 Tìm giá trị nhỏ Khơng tính tổng qt, giả sử  a  b  c  a b Vì  a, b, c  nên a  b   suy ab   a  b, dẫn đến  ab  a b b c c a Chứng minh tương tự:    ab  bc  ca  a b c a b c a b c Từ đó,  P    ab  bc  ca   c a b  a b c  111     a  b  c  3 bc   ab  bc  ca       0,5 0,5 0,5  Nên ta có  P   P  2 Vậy giá trị nhỏ P ; P đạt giá trị nhỏ chẳng hạn a  b  1, c  2 0,5 IV   90o (2,5 điểm) 1) Chứng minh AQE Dễ chứng minh AEF ~ ABC (c.g.c), suy   ABC  AEF   Kẻ đường kính AP O Dễ chứng minh tứ giác BHCP hình bình hành, nên BH  CP Ta có: BHD ~ ACD (g.g) suy BD BH CP    ABD ~ APC (c.g.c) AD AC AC   CAP  Điều chứng tỏ BAD   CAP   ABC   BAD   90o  AQE   90o AEF 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 2) Chứng minh IE  IK ID (2,0 điểm) Xét tam giác AEH vuông E có IE  IA  IH nên tam giác AIE cân I ,   IAE  Tương tự MEC   MCE  suy IEA 0,5   90   MEC   IAE   MCE   90  IEM  IEA Từ IE  IF , ME  MF  MI đường trung trực EF , dẫn đến MI  EF 0,5 N giao điểm EF MI  IE2  IN.IM 0,5 IN IK  ID IM suy IN IM  IK ID Từ IE  IK ID 0,5 Mặt khác: INK ~ IDM (g.g) nên 3) Chứng minh JR  QD (1,5 điểm) Gọi S điểm đối xứng với F qua Q; Gọi T điểm đối xứng với C qua D Chứng minh   CAS , dẫn tới TAF  CAS TAF 0,5 (c.g.c), nên FT  CS Mặt khác, theo tính chất đường trung bình: 1 JQ  SC JD  FT suy JD  JQ 2 Chứng minh tương tự ta có RD  RQ, suy JR đường trung trực DQ, dẫn tới JR vuông góc với QD 0,5 0,5 V Tìm tất số nguyên dương a, b cho số  a  b  b3  a  lập phương số nguyên tố (1,0 điểm) Giả sử a, b hai số nguyên dương thỏa mãn  a3  b  b3  a   p3 với p số nguyên tố  Rõ ràng a  b a  b p  a  a  vô lí p số ngun tố Khơng tổng quát, giả sử a  b  a  b  b  a a  b  p  Với ý Ư p  1; p; p ; p  b  a  p p  ab       Vì a  p  b  p  b   0,5      b  p  b  b  p  b b  b  b  b   p b  Ta có p  b   b   b   b  Do trường hợp:  b  1 p  TH1: b   a   a     a  2; p     TH2: b  1 p Rõ ràng b b  a  b   p  ab  1 p (Vơ lí  ab   p) a  2, b  1, p  KẾT LUẬN:  a  1, b  2, p   2a Chứng minh cách thực phải dừng lại sau hữu hạn bước.(0,25 điểm) Sau bước, số thu giảm số nguyên dương đơn vị Mặt khác số thu ln số khơng âm Vì q trình phải dừng lại sau hữu hạn bước 2b 0,5 0,25 Chứng minh n số lẻ (0,75 điểm) Đếm từ phải sang trái, ta đánh dấu chữ số có thứ tự bội 22 Như có 91 chữ số đánh dấu vị trí 22, 44, 66, …, 2002 tính từ phải sang trái Gọi S số chữ số chữ số đánh dấu Ban đầu S  91, số lẻ 0,25 Trong 22 chữ số liên tiếp ln có chữ số đánh dấu, bước S tăng giảm 1, tức bước S thay đổi tính chẵn lẻ Cụ thể là, sau số lẻ bước thay S chuyển từ lẻ thành chẵn; sau số chẵn bước thay S chuyển từ chẵn thành lẻ 0,25 Nếu S  0, tồn dãy 22 chữ số liên tiếp có chữ số bên trái 2, tức ta cịn thực bước Do để ta khơng thể thực bước S  0,25 Từ số bước thực đến lúc dừng lại phải lẻ, hay n lẻ Bài I.1 ĐKXĐ: x   Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :  3x   1 4 x    x   VP VT  x   3x      2  2    x 3 2  Vậy phương trình tương đương   x  (TMĐKXĐ)  3x   Cách 3: Phương trình tương đương   x   x    3x     x       (*) x 3 2 3x     3 Với x         với x 3 2 3x   4 x 3 2 3x       x  1 1  x 1 Với        với  x 3 2 1  x 1  3x      1, 4 x 3 2 3x   Bài I.2 Cách 2: Cho a,b, c số thực khác 0, thỏa mãn a  ab  c  bc a  ac  b  bc Tính giá trị  a  b  c biểu thức K           b  c  a     Từ giả thiết suy a  c a  b  c  TH1: a  b  c  suy a  b  c;b  c  a; c  a  b Do  a a  b c b a c b c a b   ;1   ;1   Suy P   1 b b b c c a a b c a    TH2: a  c Thay vào đẳng thức lại ta có 2a  ab  b  a  b 2a  b   a  b  c Nếu a  b  c P            b  c  a   a  b  c Nếu b  2a  2c P            1 Kết luận b  c  a  Bài III.1 Cách 2: Ta có 1 3P    ab  bc  ca        81 81 81 81   ab      bc      ca     ab  bc  ac     ab  169 bc  169 ca  169 169         81 81 81 81  a  b  c 2 ab   bc   ca    3  ab  169 bc  169 ca  169 169     27 81   3.2    3  13 169   13                 12 12 Vậy giá trị lớn P ; P đạt giá trị lớn a  b  c  13 13 Bài III.2 Cách 2: Vì  a, b, c  a  b  c  nên a  b, b  c, c  a  Suy ra: P     Mặt khác:  a, b, c  nên a  b   suy ab   a  b Từ đó: 1 1 1 1c 1a 1b          ab  bc  ac  a  b b  c c  a a  b  c a  b  c a  b  c  ab bc ca 1  Suy P     3   3   ab  bc  ca 2  ab  bc  ac   Bài III Cách 3: Đặt x  bc; y  ac; z  ab Dễ thấy  x , y, z     Vì x  bc  b  c  nên x  y  z  a  b  c    a  b  c  x y z   Tìm GTLN 1 9 27 3P       x 1 y 1 z 1 x y z  13 3 12 12 Suy ra: P  Vậy giá trị lớn P ; P đạt giá trị lớn a  b  c  13 13 Tìm GTNN 1 x y 2 x y 2 1 3P        1  x  y  z  xy  x  y  z  x  y  z  x y 1 z 1 x y z 2 x y z 2 x y z 2 1 1 1 11 xz  yz  x  y  z  x y z 1 x y z 1 x y 1 z 1     11  ab bc ca 1  Suy P     3   3   ab  bc  ca 2  ab  bc  ac   2 Bài V.1 Cách 2:  Rõ ràng a  b a  b p  a  a     vơ lí p số ngun tố  a  b  p   b  a  p p  ab  Giả sử a  b Với ý Ư p  1; p; p ; p           a  b  b  a  a  b a  ab  b   p  2 a  b  b  a  a  b a  ab  b   p TH1: a  b  p Điều vơ lí  a  b  a  b  p TH2: a  b  p Mặt khác  a  b  a  b  p Từ dẫn tới a  b  p  a  b  b   b   a3   a      a  2; p     a  ab  b   p TH3:   2  a  ab  b   p a  2, b  1, p  KẾT LUẬN:  a  1, b  2, p  2  p  ab   p Điều vơ lí rõ ràng   0  ab   p  3  ...  ab  1 69 bc  1 69 ca  1 69 1 69         81 81 81 81  a  b  c 2 ab   bc   ca    3  ab  1 69 bc  1 69 ca  1 69 1 69     27 81   3.2    3  13 1 69   13...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP THÀNH PHỐ Năm học 2021 – 2022 ĐỀ CHÍNH THỨC CÂU Ý I Mơn thi: TỐN Ngày thi: 24 tháng năm 2022 HƯỚNG DẪN CHẤM x   3x... phải sang trái, ta đánh dấu chữ số có thứ tự bội 22 Như có 91 chữ số đánh dấu vị trí 22, 44, 66, …, 2002 tính từ phải sang trái Gọi S số chữ số chữ số đánh dấu Ban đầu S  91 , số lẻ 0,25 Trong