Đề thi + đáp an HSG toán Huyện 2012-2013 (có đáp án)

Treân caùc caïnh AB, AD laáy laàn löôït caùc ñieåm P , Q sao cho chu vi tam giaùc APQ baèng 2... GIẢI:.[r]

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN Mơn : Tốn 9

Thời gian 150 phút ( không kể thời gian phát đề)

Bài 1: (3đ)

a) Chứng minh biểu thức 10n + 18n – chia hết cho 27 với n số tự nhiên

b) Tìm số tự nhiên n (n  ) để n4 + số nguyên tố

Bài 2:(3đ) Tìm số có ba chữ số cho lấy chữ số hàng đơn vị đặt bên trái số gồm chữ số cịn lại ta số có chữ số lớn số ban đầu 765 đơn vị Bài 3: ( 2đ)

Tìm cặp số nguyên dương x y cho x y  2012 Bài 4: (2đ)

Tìm số nguyên tố x,y,z thỏa đẳng thức : xy + = z

Bài 5: (2đ)

Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : x2 + ( x+y )2 = ( x+9 )2 tr65

Bài 6: (4đ) Cho hình vng ABCD, đường trịn đường kính CD đường trịn tâm A bán kính AD cắt M ( M khác D ).Chứng minh đường thẳng DM qua trung điểm cạnh BC Tr 91

Bài 7: (4đ)

Cho hình vng ABCD có dộ dài cạnh Trên cạnh AB, AD lấy điểm P , Q cho chu vi tam giác APQ Chứng minh PCQ450

ĐÁP ÁNĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Năm học: 2012 – 2013 Thời gian: 150 phút

ĐÁP ÁN ĐIỂM

Bài 1: (3đ)

a) Chứng minh biểu thức 10n + 18n – chia hết cho 27 với n số tự

nhiên GIẢI :

+Với n = ta có: 100 + 18.0 – = chia hết cho 27

+Với n1 ta có : 10n + 18n – = (10n – 1) + 18n =

= ( 10-1 ) ( 10n-1 + 10n-2 + … + 10 + ) + 18n

= ( 10n-1 + 10n-2 + … + 10 + ) + 18n

= ( 10n-1 + 10n-2 + … + 10 + – n + 3n )

= [ ( 10n-1-1 ) + (10n-2 -1 ) + … + (10 – ) + ( – 1) + 3n ] (*)

Vì 10k – chia hết cho với k 3n chia hết cho với n nên

[ ( 10n-1-1 ) + (10n-2 -1 ) + … + (10 – ) + ( – 1) + 3n ] chia hết cho với

mọi n Do (*) chia hết cho 27 với số tự nhiên n

-b) Tìm số tự nhiên n (n  ) để n4 + số nguyên tố

+ Ta có: n4+ = n4+ 4n2 +4 – 4n2 = (n + 2)2 – 4n2 =

= [( n – 1)2 + 1][( n + 1)2 + 1]

+ Để n4+ số nguyên tố hai thừa số số

còn lại phải số nguyên tố Vì ( n + )2 + > với n

+ Suy : ( n – 1)2 + =  n = + Khi : ( n + 1)2+ = ( + )2 + = 5

Bài 2: ( đ)

Tìm số có ba chữ số cho lấy chữ số hàng đơn vị đặt bên trái số gồm chữ số lại ta số có chữ số lớn số ban đầu 765 đơn vị

GIẢI

Gọi số phải tìm abc với a, b, c   0 a 9; 0c b, 9 Ta có cab abc 765

 100c + 10a +b – 100a – 10b – c = 765  99c – 90a – 9b = 765

 9(11c – 10a – b) = 765  11c – 10a – b = 85 VT 11c = 10c + c = cc 10a + b = ab

Nên ta có: cc – ab = 85  cc = 85 + ab

1.5ñ

1,5 ñ

VT 1 a 9 0 b 9 nên cc = 85 + ab 95 10ab99 Suy cc= 99  c = ( TĐK)

85

ab cc   ab=99 – 85 = 14 Vậy số có chữ số cấn tìm 149

-Bài 3: ( 2đ)

Tìm cặp số nguyên dương x y cho x y  2012 2012

x y  GIẢI :

Ta có: x y  2012  x y 2 503 ( ,x y )

2 503là số vô tỉ nên xvà y là thức đồng dạng chứa 503

Đặt x=a 503; y =b 503, a b,   Ta có a + b =

Do đó: a b    



2 a b    



1 a b     

Với a = b = a = b = x, y không thỏa điều kiện nguyên dương

Với a = 1, b = x, y thỏa điều kiện nguyên dương Vậy x = y = 503 , cặp số cần tìm (x;y) = (503;503)

Bài 4: (2đ)

Tìm số nguyên tố x,y,z thỏa đẳng thức : xy + = z

GIẢI :

Vì x,y số nguyên tố nên x2;y2 xy  4 z5

Vì z số nguyên tố lẻ ( z 5 ) mà z = xy +1 nên xy chẳn suy x chẳn

Mà x số nguyên tố nên x = Ta có : 2y + = z

+Trường hợp y = 2k + ( y lẻ )

Ta có 2y + chia hết cho với y hay z chia hết cho ( xảy

do z số nguyên tố 5)

+Trường hợp y = 2k ( y chẳn )  y = ( y số nguyên tố ) Vậy y =

Khi z = 22 + = 5

Trả lời: (x;y;z ) thỏa điều kiện toán ( 2;2;5 )

Bài 5: (2đ)

Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : x2 + ( x+y )2 = ( x+9 )2

GIẢI:

Phương trình cho tương đương với phương trình: (x+y)2 – 18x = 81

 (x+y)2 – 18(x+y) + 81 = 162 – 18y

 (x+y-9)2 = 9(18-2y) (1)

 18 – 2y số phương chẳn nhỏ 18 (vì y > ) 18 – 2y =  y = 9.Từ (1)  x = ( loại )

2,0 ñ

2,0 ñ

18 – 2y =  y = 7.Từ (1)  x = 18 – 2y = 16  y = 1.Từ (1)  x = 20

Thử lại phương trình có cặp nghiệm ngun dương ( 8;7 ) ( 20;1 ) .

Bài 6: (4đ) Cho hình vng ABCD, đường trịn đường kính CD đường trịn tâm A bán kính AD cắt M ( M khác D ).Chứng minh đường thẳng DM qua trung điểm cạnh BC

GIẢI:

Gọi O tâm đườn trịn đường kính CD Kẻ đoạn AO, tia DM cắt (O) I Ta có AO vng góc DM

Xét hai tam giác ADO DCI : AD = CD ( cạnh hình vng )

 

DAO CDI

  900

D C 

ADO DCI

   (g-c-g) Suy : CI = OD =

1 CD =

1 2BC

Vậy DM qua trung điểm I cạnh BC Bài 7: (4đ)

Cho hình vng ABCD có dộ dài cạnh Trên cạnh AB, AD lấy điểm P , Q cho chu vi tam giác APQ Chứng minh rằng:

 450 PCQ

GIẢI : +Ta có :

AP + AQ + PQ = AQ + QD + AP + PB = AD + AB = + = Suy : PQ = QD + PB ( 1)

+Trên đoạn PQ đặt điểm M cho : QM = QD suy MP = PB ( (1) ) +Trên tia đối tia DA lấy điểm E cho: DE = PB Khi tam giác CDE , CBP ( CD = CB ; D B   900; DE = PB ) suy PC=EC + CEQCQP ( QE=PQ; CQ cạnh chung; PC=EC )

Suy : CQD CQP 

+ CDQCMQ ( QD=QM; CQD CQP  ; CQ cạnh chung ) Suy : CMQ CDQ  900 DCQ QCM   CQ phân giác DCM + CMPCBP ( CP cạnh huyền chung; MP=PB )

Suy : MCP PCB   CP phân giác MCB + Vậy PCQ = C : 45

HẾT