Đề thi + đáp an HSG toán Huyện 2012-2013

Treân caùc caïnh AB, CD laáy laàn löôït caùc ñieåm P , Q sao cho chu vi tam giaùc APQ baèng 2.[r]

ĐÁP ÁNĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Năm học: 2012 – 2013 Thời gian: 150 phút

ĐÁP ÁN Điểm

Bài 1: Bài 1: (4đ)

a) Chứng minh biểu thức 10n + 18n – chia hết cho 27 với n số tự

nhiên GIẢI :

+Với n = ta có: 100 + 18.0 – = chia hết cho 27

+Với n1 ta có : 10n + 18n – = (10n – 1) + 18n =

= ( 10-1 ) ( 10n-1 + 10n-2 + … + 10 + ) + 18n

= ( 10n-1 + 10n-2 + … + 10 + ) + 18n

= ( 10n-1 + 10n-2 + … + 10 + – n + 3n )

= [ ( 10n-1-1 ) + (10n-2 -1 ) + … + (10 – ) + ( – 1) + 3n ] (*)

Vì 10k – chia hết cho với k 3n chia hết cho với n nên

[ ( 10n-1-1 ) + (10n-2 -1 ) + … + (10 – ) + ( – 1) + 3n ] chia hết cho với

mọi n Do (*) chia hết cho 27 với số tự nhiên n b) Tìm số tự nhiên n (n  ) để n4 + số nguyên tố

+ Ta có: n4+ = n4+ 4n2 +4 – 4n2 = (n + 2)2 – 4n2 =

= [( n – 1)2 + 1][( n + 1)2 + 1]

+ Để n4+ số nguyên tố hai thừa số số

cịn lại phải số ngun tố Vì ( n + )2 + > với n

+ Suy : ( n – 1)2 + =  n = + Khi : ( n + 1)2+ = ( + )2 + = 5

Bài 2:

Gọi số phải tìm abc với a, b, c   0 a 9; 0c b, 9 Ta có cab abc 765

 100c + 10a +b – 100a – 10b – c = 765  99c – 90a – 9b = 765

 9(11c – 10a – b) = 765  11c – 10a – b = 85 VT 11c = 10c + c = cc 10a + b = ab

nên ta có: cc – ab = 85  cc = 85 + ab

85

ab cc   ab=99 – 85 = 14 Vậy số có chữ số cấn tìm 149

Bài 3: ( 4đ)

Tìm cặp số nguyên dương x y cho x y  2012

2012

x y 

GIẢI :

Ta có: x y  2012  x y 2 503 ( ,x y )

2 503là số vô tỉ nên xvà y là thức đồng dạng chứa 503

Đặt x=a 503; y =b 503, a b,   Ta có a + b =

Do đó: a b    



2 a b    



1 a b     

Với a = b = a = b = x, y khơng thỏa điều kiện ngun dương

Với a = 1, b = x, y thỏa điều kiện nguyên dương Vậy x = y = 503 cặp số cần tìm (x;y) = (503;503)

Bài 4: (2đ)

Tìm số nguyên tố x,y,z thỏa đẳng thức : xy + = z

GIẢI :

Vì x,y số nguyên tố nên x2;y2 xy  4 z5

Vì z số nguyên tố lẻ ( z 5 ) mà z = xy +1 nên xy chẳn suy x chẳn

Mà x số nguyên tố nên x = Ta có : 2y + = z

+Trường hợp y = 2k + ( y lẻ )

Ta có 2y + chia hết cho với y hay z chia hết cho ( xảy

do z số nguyên tố 5)

+Trường hợp y = 2k ( y chẳn )  y = ( y số nguyên tố ) Vậy y =

Khi z = 22 + = 5

Trả lời: (x;y;z ) thỏa điều kiện toán ( 2;2;5 ) Bài 5: (2đ)

Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : x2 + ( x+y )2 = ( x+9 )2

GIẢI:

Phương trình cho tương đương với phương trình: (x+y)2 – 18x = 81

 (x+y)2 – 18(x+y) + 81 = 162 – 18y

 (x+y-9)2 = 9(18-2y) (1)

 18 – 2y số phương chẳn nhỏ 18 (vì y > )

 18 – 2y =  y = 9.Từ (1)  x = ( loại )

18 – 2y =  y = 7.Từ (1)  x = 18 – 2y = 16  y = 1.Từ (1)  x = 20

 Thử lại phương trình có cặp nghiệm ngun dương ( 8;7 )

( 20;1 )

DM qua trung điểm cạnh BC Tr 91 GIẢI:

Gọi O tâm đườn tròn đường kính CD Kẻ đoạn AO, tia DM cắt (O) I Ta có AO vng góc DM

Xét hai tam giác ADO DCI : AD = CD ( cạnh hình vng )

 

DAO CDI   900

D C 

ADO DCI

   (g-c-g)

Suy : CI = OD =

1 2CD =

1 2BC

Vậy DM qua trung điểm I cạnh BC

Bài 7: (4đ)

Cho hình vng ABCD có dộ dài cạnh bắng Trên cạnh AB, CD lấy điểm P , Q cho chu vi tam giác APQ Chứng minh rằng:

 450

PCQ

GIẢI : +Ta có :

AP + AQ + PQ = AQ + QD + AP + PB = AD + AB = + = Suy : PQ = QD + PB ( 1)

+Trên đoạn PQ đặt điểm M cho : QM = QD suy MP = PB ( (1) ) +Trên tia đối tia DA lấy điểm E cho: DE = PB Khi tam giác CDE , CBP ( CD = CB ; D B  900; DE = PB ) suy PC=EC

+ CEQCQP ( QE=PQ; CQ cạnh chung; PC=EC )

Suy : CQD CQP 

+ CDQCMQ ( QD=QM; CQD CQP  ; CQ cạnh chung ) Suy : CMQ CDQ  900 DCQ QCM   CQ phân giác DCM + CMPCBP ( CP cạnh huyền chung; MP=PB )