Đang tải... (xem toàn văn)
Treân caùc caïnh AB, CD laáy laàn löôït caùc ñieåm P , Q sao cho chu vi tam giaùc APQ baèng 2.[r]
(1)(2)ĐÁP ÁNĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học: 2012 – 2013 Thời gian: 150 phút
ĐÁP ÁN Điểm
Bài 1: Bài 1: (4đ)
a) Chứng minh biểu thức 10n + 18n – chia hết cho 27 với n số tự
nhiên GIẢI :
+Với n = ta có: 100 + 18.0 – = chia hết cho 27
+Với n1 ta có : 10n + 18n – = (10n – 1) + 18n =
= ( 10-1 ) ( 10n-1 + 10n-2 + … + 10 + ) + 18n
= ( 10n-1 + 10n-2 + … + 10 + ) + 18n
= ( 10n-1 + 10n-2 + … + 10 + – n + 3n )
= [ ( 10n-1-1 ) + (10n-2 -1 ) + … + (10 – ) + ( – 1) + 3n ] (*)
Vì 10k – chia hết cho với k 3n chia hết cho với n nên
[ ( 10n-1-1 ) + (10n-2 -1 ) + … + (10 – ) + ( – 1) + 3n ] chia hết cho với
mọi n Do (*) chia hết cho 27 với số tự nhiên n b) Tìm số tự nhiên n (n ) để n4 + số nguyên tố
+ Ta có: n4+ = n4+ 4n2 +4 – 4n2 = (n + 2)2 – 4n2 =
= [( n – 1)2 + 1][( n + 1)2 + 1]
+ Để n4+ số nguyên tố hai thừa số số
cịn lại phải số ngun tố Vì ( n + )2 + > với n
+ Suy : ( n – 1)2 + = n = + Khi : ( n + 1)2+ = ( + )2 + = 5
Bài 2:
Gọi số phải tìm abc với a, b, c 0 a 9; 0c b, 9 Ta có cab abc 765
100c + 10a +b – 100a – 10b – c = 765 99c – 90a – 9b = 765
9(11c – 10a – b) = 765 11c – 10a – b = 85 VT 11c = 10c + c = cc 10a + b = ab
nên ta có: cc – ab = 85 cc = 85 + ab
(3)85
ab cc ab=99 – 85 = 14 Vậy số có chữ số cấn tìm 149
Bài 3: ( 4đ)
Tìm cặp số nguyên dương x y cho x y 2012
2012
x y
GIẢI :
Ta có: x y 2012 x y 2 503 ( ,x y )
2 503là số vô tỉ nên xvà y là thức đồng dạng chứa 503
Đặt x=a 503; y =b 503, a b, Ta có a + b =
Do đó: a b
2 a b
1 a b
Với a = b = a = b = x, y khơng thỏa điều kiện ngun dương
Với a = 1, b = x, y thỏa điều kiện nguyên dương Vậy x = y = 503 cặp số cần tìm (x;y) = (503;503)
Bài 4: (2đ)
Tìm số nguyên tố x,y,z thỏa đẳng thức : xy + = z
GIẢI :
Vì x,y số nguyên tố nên x2;y2 xy 4 z5
Vì z số nguyên tố lẻ ( z 5 ) mà z = xy +1 nên xy chẳn suy x chẳn
Mà x số nguyên tố nên x = Ta có : 2y + = z
+Trường hợp y = 2k + ( y lẻ )
Ta có 2y + chia hết cho với y hay z chia hết cho ( xảy
do z số nguyên tố 5)
+Trường hợp y = 2k ( y chẳn ) y = ( y số nguyên tố ) Vậy y =
Khi z = 22 + = 5
Trả lời: (x;y;z ) thỏa điều kiện toán ( 2;2;5 ) Bài 5: (2đ)
Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : x2 + ( x+y )2 = ( x+9 )2
GIẢI:
Phương trình cho tương đương với phương trình: (x+y)2 – 18x = 81
(x+y)2 – 18(x+y) + 81 = 162 – 18y
(x+y-9)2 = 9(18-2y) (1)
18 – 2y số phương chẳn nhỏ 18 (vì y > )
18 – 2y = y = 9.Từ (1) x = ( loại )
18 – 2y = y = 7.Từ (1) x = 18 – 2y = 16 y = 1.Từ (1) x = 20
Thử lại phương trình có cặp nghiệm ngun dương ( 8;7 )
( 20;1 )
(4)DM qua trung điểm cạnh BC Tr 91 GIẢI:
Gọi O tâm đườn tròn đường kính CD Kẻ đoạn AO, tia DM cắt (O) I Ta có AO vng góc DM
Xét hai tam giác ADO DCI : AD = CD ( cạnh hình vng )
DAO CDI 900
D C
ADO DCI
(g-c-g)
Suy : CI = OD =
1 2CD =
1 2BC
Vậy DM qua trung điểm I cạnh BC
Bài 7: (4đ)
Cho hình vng ABCD có dộ dài cạnh bắng Trên cạnh AB, CD lấy điểm P , Q cho chu vi tam giác APQ Chứng minh rằng:
450
PCQ
GIẢI : +Ta có :
AP + AQ + PQ = AQ + QD + AP + PB = AD + AB = + = Suy : PQ = QD + PB ( 1)
+Trên đoạn PQ đặt điểm M cho : QM = QD suy MP = PB ( (1) ) +Trên tia đối tia DA lấy điểm E cho: DE = PB Khi tam giác CDE , CBP ( CD = CB ; D B 900; DE = PB ) suy PC=EC
+ CEQCQP ( QE=PQ; CQ cạnh chung; PC=EC )
Suy : CQD CQP
+ CDQCMQ ( QD=QM; CQD CQP ; CQ cạnh chung ) Suy : CMQ CDQ 900 DCQ QCM CQ phân giác DCM + CMPCBP ( CP cạnh huyền chung; MP=PB )