Gọi S, S' lần lượt là diện tích của tam giác ABC và tam giác A'B'C'.. ĐỀ CHÍNH THỨC.[r]
(1)UBND HUYỆN VĨNH LỘC
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2016 - 2017
ĐỀ THI MƠN: TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang)
Bài 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức P = 3x+√9x −3 x+√x −2 −
√x+1 √x+2−
√x −2
√x −1
a Tìm ĐKXĐ rút gọn P b Tìm x để P <
Bài 2: (4,0 điểm)
a Giải phương trình: x2 7x6 x 5 30
b Cho hai số dương a b Chứng minh
1
a b
a b
Bài 3: (4,0 điểm)
a Tìm số tự nhiên n cho A= n ❑2 +n+6 số phương
b Cho số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x2
+y2=z2
Chứng minh A = xy chia hết cho 12 Bài 4: (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AA', BB', CC' a Chứng minh ΔAC'C ΔAB'B
b Trên BB' lấy M, CC' lấy N cho AMCANB900 Chứng minh
AM = AN
c Gọi S, S' diện tích tam giác ABC tam giác A'B'C' Chứng minh
2 2 '
cos A cos B cos C S
S
Bài 5: (2,0 điểm)
Cho x, y số dương thỏa mãn
34 35
x y
Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2
5
A x y
x y
Hết
Họ tên thí sinh: Chữ kí giám thị:1: Số báo danh: Chữ kí giám thị 2:
(2)UBND HUYỆN VĨNH LỘC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2016-2017
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN LỚP 9 ( Đáp án gồm có 05 trang)
Bài Nội dung cần đạt Điểm
1(4đ)
Cho biểu thức P = 3x+√9x −3 x+√x −2 −
√x+1 √x+2−
√x −2
√x −1
a Tìm ĐKXĐ rút gọn P b.Tìm x để P<0
Câu a:(2 điểm)
- Tìm ĐKXĐ: x0,x1
- Ta có
3
2
3 3 ( 1)( 1) ( 2)( 2) ( 2)( 1) ( 2)( 1) ( 2)( 1)
3 3
( 2)( 1)
3
( 2)( 1)
( 2)( 1)
( 2)( 1)
x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x
x x
x x
x x x
x x x
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu b:( điểm) - Ta có: P <
1
1 0( 0)
1
x x
x do x
x x
- Kết hợp với ĐKXĐ ta được: Với 0 x 1 P < 0.
0,5
1,0 0,5 Câu a:(2đ)
(3)2(4đ)
- ĐKXĐ x5 - Ta có
2
2
2
7 30
8 16
4
x x x
x x x x
x x
- Vì
2
4 0;
x x
nên
2
2
5
5
x x
x x x
( thỏa mãn ĐKXĐ) - Nghiệm phương trình cho x=4
0,25
1,0
0,5 0,25 Câu b: (2đ)
Cho hai số dương a b Chứng minh a b 1
a b
- Ta có
a b 1 a b
a b b a
- Vì a,b >0.nên áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương
2
a b a b
b a b a
- Do
1
a b
a b
0,75
0,75
0,5 3(4đ) Câu a:(2đ)
Tìm số tự nhiên n cho A= n ❑2 +n+6 số phương
- Để A số phương A= n ❑2 +n+6 =a2 ( a N )
- Ta có: n
❑2
+n+6 =a2
2
2
4 24
2 23
2 2 23
n n a
a n
a n a n
- Vì a,n số tự nhiên nên (2a +2n +1) số tự nhiên 2a +2n +1 > 2a – 2n -1 Do
2 23 2 1
4 24 20
6
a n
a n
a n a n
(4)- Vậy n = 0,5 Câu b:(2đ)
Cho số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x2+y2=z2
Chứng minh A = xy chia hết cho 12 - Xét phép chia xy cho3
Nếu xy khơng chia hết cho
2
2
2 2
1(mod 3) 1(mod 3)
1(mod 3) 1(mod 3)
2(mod 3)
x y
x y
z x y
( Vơ lí)
Vậy xy chia hết cho (1) - Xét phép chia xy cho Nếu xy không chia hết cho TH1:
2
2
2 2
1(mod 4) 1(mod 4)
1(mod 4) 1(mod 4)
2(mod 4)
x y
x y
z x y
(vơ lí )
TH2: Trong hai số x,y số chia dư 2, số chia dư -1 Khơng tính tổng quát giả sử
2
2
2 2
1(mod 4) 2(mod 4)
1(mod 8) 4(mod8)
5(mod8)
x y
x y
z x y
( vơ lí)
- Vậy xy chia hết cho (2)
- Từ (1) (2) : Vậy xy chia hết cho 12
1,0
0,5
(5)B C A
A'
B'
C
N M
Câu a( điểm): Chứng minh ΔAC'C ΔAB'B
- Xét ΔAC'C;ΔAB'Bcó Góc A chung B'C ' 90
Suy ra: ΔAC'C ΔAB'B
2 điểm Câu b( điểm):Chứng minh AM = AN
- Xét AMC vuông M đường cao MB'
2 '.
AM AB AC
- Xét ANB vuông N đường cao NC'
'
AN AC AB
- Theo câu a ta có AB'.AC = AC'.AB - Do đó: AM = AN
0,5 0,5 0,5 0,5
Câu c: ( 2đ) Chứng minh
2 2 '
cos A cos B cos C S
S
- Chỉ
2
' ' ' cos
AB C ABC
S AB
A
S AB
- Tương tự
2 ' ' cos
BA C ABC
S
B
S
2 ' ' cos
CA B ABC
S
C
S
- Do đó:
2 2 ' ' ' ' ' '
' ' ' cos cos cos
'
AB C BA C CA B ABC
ABC A B C ABC
S S S
A B C
S
S S S
S S
0,5
0,5
0,5
(6)5(2đ)
Bài 5( 2điểm) Cho x, y số dương thỏa mãn
34 35
x y
Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2
5
A x y
x y
- Ta có:
2
5
1
2
A x y
x y
x y
x y
x y
- Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương ta
2 2.5
2
5
x x
x x
8 8.7
2
7
x x
x x
- Vì
34 35
x y
nên
1 34 17
2 35 35
A
- Dấu "=" xảy
2
2
8
4
7
7 34
35
x x
x y
y
y x y
- A đạt giá trị nhỏ
17
35
x y
0,5
0,5 0,25
0,5
0,25