Đề thi HSG Toán 9 cấp Tỉnh 2017 có đáp án Sở GD&ĐT Quảng Ninh

AM không phụ thuộc vào vị trí của D trên cung AC.. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mớ[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM 2017 Mơn thi: TỐN - Bảng A

Ngày thi: 03/03/2017

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 01 trang)

Bài (3,5 điểm)

Cho biểu thức

5

4

3 2

2

5

4

4

1

x

x

x

A

x

x

x

x





















(với

x



0;

x



16;

x



1

)

a)Rút gọn biểu thức A.

b)Tìm giá trị x để A1

Bài 2: (5,0 điểm)

a) Giải phương trình:

2

x  x x x   x b) Giải hệ phương trình: 2 2

3

x y xy

x y xy y

    



   

 Bài 3: (2,5 điểm)

Tìm số tự nhiên n cho n thỏa mãn hai ba tính chất sau: 1)

n



8

số phương

2)

n



3

số phương

3)

n

chia hết cho Bài 4: (7,0 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC Gọi A điểm cố định nửa đường tròn (

A



B C

;

), D điểm chuyển động AC Hai đoạn thẳng BD AC cắt M, gọi K hình chiếu M BC

a) Chứng minh M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADK

b) Khi D di chuyển

AC

(

D C



), chứng minh đường thẳng DK qua điểm cố

định

c) Đường thẳng qua A, vng góc với BC cắt BD E Chứng minh BD EM

AM có giá trị khơng

đổi D di chuyển

AC

(D A) Bài 5: (2,0 điểm)

Tìm giá trị lớn biểu thức

1 14

15

A

 

x



x



x

với 1 15 x

  

-Hết -

- Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay - Cán coi thi khơng giải thích thêm

Họ tên thí sinh: Số báo danh

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài Sơ lược giải Điểm

Bài 1

3,5đ

Câu a 2,0 đ



4



1



21

x x x

A x x x x          





 











5 4

4

x x x x x

x x           1,0 =













1

1 x x x x    

3

1

4

x

x







1,0 Câu b 1,5 đ

3

1

2

5

1

1 0

0

4

4

x

x

A

x

x





 

  







0,5

Có x  5 0,25

Nên

2

5

0

4

0

4

0

16

4

x

x

x

x

x



 

  

   



Kết hợp với điều kiện xác định ta tìm

0

 

x

16;

x



1

(nếu không đủ kq 0 x 16;x1 khơng cho điểm bước này)

0,25 0,5

Bài 2

5,0đ Câu a 2,5 đ

ĐK: x 3 0,25

2

2

2

3 9

3

 

  



x

x

x x

x

2

2

3

3

3 12 0

 

x

x x

    

x

x

x

  



 

2



3 12

 x x  x x   0,5



3 4



3 3



0

 

x

x

 

x



x

  

 

 

3

3

            x x

x x 0,5

Giải (1): Ta có x  3 VP    4 x 1, VT 0 Vậy (2) vô

nghiệm 0,5

Giải (2): (2) 2

3

x

x x x

        

3

x  x  x

2

7

x x

   

được

x

1



1

( nhận);

x

2



6

(loại)

Vậy phương trình có nghiệm x1

0,75











 



2

2 2

2

2

3 4

4 4( ) =

x y xy y x x y y

x x x y x y

x x y

        

       

   

Câu b 2,5đ

(nếu hs đưa pt bậc hai ẩn y tham số x tính  0,5đ)

2

1

2

1

2

1

2

3 3

x

x

y

x

y

x

x

y

y

x

   

 













    

 





0,5

TH1: x y thay vào pt x y xy 5

ta có y2 + y + 4 =

2

1 4.4

    nên phương trình vơ nghiệm

0,5

TH2: y 3 3x thay vào pt x y xy 5 ta có 3x2  x

= (-1)2 + 4.3.8 = 97 > 0

1

2

1 97 97

6

1 97 97

6

x y

x y

  

  

 

  

  



0,75

Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm là:

1

97 5

97

;

6

2

















;

1

97 5

97

;

6

2

















0,25

Bài 3 2,5đ

Giả sử tìm n thỏa tc3 ta chứng minh n khơng thỏa tính chất 1;

9

n n  n chia cho dư 2,

mà số phương chia cho dư 1(*)



n



8

khơng phải số phương n không thỏa tc1

0,5

9 3

n n  n

n mà không chia hết cho  n không chia hết cho Mà số phương chia hết cho chia hết cho 9(**) nên n3 khơng số phương n khơng thỏa tc2 n không thỏa tc 1,2 nên trái giả thiết

(hs cần chứng minh (*) (**) không chứng minh trừ 0,25 đ cho hai phần này)

0,75

Ta tìm n thỏa mãn tc 1,2 (cho hs 0,75đ làm phần mà không lập luận phần trên)

Đặt

2

8

n p

n k

    

 

 (p; k  N)

2

11 p k

   (p k p k )(  ) 11 0,5

Do p,kN   p k N p k;  Z p k;   p k; Kết hợp với (1)  11

1

p k p

p k k

  

 

     

 

0,5

Vậy n28

(hs làm tập cách xét 3TH TH

Bài 4 7,0đ

Câu a 2đ

E

I

K M

O

B C

A

D

a Tứ giác MKCD nội tiếp



MDK MCK



0,5

ADB ACB



(hai góc nội tiếp (O) chắn

AB

)



MDK



MDA

hay DM phân giác tam giác ADK

1,0

Tương tự chứng minh AM phân giác tam giác ADK

Vậy M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADK 0,5

Câu b 2,5đ

b Đường thẳng qua A vng góc với BC cắt DK I 0,5

AI MKIACKMC 0,5

Lại có tứ giác MDCK nội tiếp



KMC KDC



0,5 Vậy

IAC IDC





tứ giác ADCI nội tiếp hay I

 

O cố định, mà



I

đường thẳng qua A cố định, vng góc với BC cố định Vậy I

cố định hay DK qua I cố định

1,0

Bài c 2,5đ

c Có:

EAM



KDC

, AMEDKC



DMC



Vậy hai tam giác AEM DCK đồng dạng  AM  DK ME KC

1,0

Xét hai tam giác KDB KCA có

KCA KDB



,

KAC KBD





hai tam giác KDB KCA đồng dạng  DK  DB

KC CA

1,0

Vậy AM  DB ME CA

 BD EM CA

AM số Vậy BD EM

AM khơng phụ thuộc vào vị trí D cung AC

0,5

2

1 14 15 ( 1)(1 15 ) A x  x x  x x  x

1 Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược cách giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính tốn xác cho điểm tối đa

Các cách giải khác cho điểm Tổ chấm trao đổi thống điểm chi tiết

Có thể chia nhỏ điểm thành phần khơng 0,25 điểm phải thống tổ chấm Điểm toàn tổng số điểm toàn chấm, khơng làm trịn

Hết

Bài 5 2,0đ

với 1 15 x

   có 9(x 1)

1 15



x



0

0,25 Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số

9(x1)

1 15



x

khơng âm

Có 9( 1)(1 15 ) 9( 1) (1 15 )

2

x x

x  x       x

0,5

5

3 3

3

A x  x A  A 0,25

Dấu “=” xảy

1

9( 1) 15 24

3

x   x x   x  0,25

Vây giá trị lớn A

3 đạt

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM 2017 Môn thi: TOÁN - Bảng B

Ngày thi: 03/03/2017

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 01 trang)

Bài 1: (3,5 điểm)

Cho biểu thức 2

5 4

x x x

A

x x x x

  

  

    (với

x



0;

x



16;

x



1

) c)Rút gọn biểu thức A

d)Tìm giá trị x để A1

Bài 2: (5,0 điểm)

a) Giải phương trình:

6

x  x x  b) Giải hệ phương trình:

2

4 10

x y xy

xy x y

   



   

 Bài 3: (2,5 điểm)

Tìm số tự nhiên n cho n thỏa mãn hai ba tính chất sau: 4)

n

bội số

5)

n



8

số phương

6)

n



3

số phương Bài 4: (7,0 điểm)

Cho nửa đường trịn tâm O đường kính BC Gọi A điểm cố định nửa đường tròn (

A



B C

;

), D điểm chuyển động AC Hai đoạn thẳng BD AC cắt M, gọi K hình chiếu M BC

a) Chứng minh M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADK

b) Chứng minh

BM BD CM CA

.



.

không đổi D di chuyển AC

c) Khi D di chuyển

AC

(

D C



), chứng minh đường thẳng DK qua

điểm cố định Bài 5: (2,0 điểm)

Tìm giá trị lớn biểu thức

2

1 4

5

A



x





x



x

với 1 x

  

-Hết -

- Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay - Cán coi thi khơng giải thích thêm

Họ tên thí sinh: Số báo danh

Bài Sơ lược giải Điểm Bài 1 3,5đ Câu a 2,0 đ



4



1



21

x x x

A x x x x          





 











5 4

4

x x x x x

x x           1,0 =









31



41



x x x x    

3

1

4

x

x







1,0 Câu b 1,5 đ

3

1 0

4 x x A x x        

  0,5

Có x  5 0,25

Nên

2

5

0

4

0

4

0

16

4

x

x

x

x

x



 

  

   



Kết hợp với điều kiện xác định tìm 0 x 16;x1

(nếu khơng đủ kq 0 x 16;x1thì khơng cho điểm bước

này ) 0,25 0,5 Bài 2 5,0đ Câu a 2,5 đ

6

x  x x  ( đkxđ x  1) 0,25

2

2 1

x x x x

        0,5





x1



2 



x 1 3



2 0,25

 1

1

x x x x              x x x x          0,5

Trường hợp 1: x 4 x1

do

x

    

1 0

x

4

0

hai vế khơng âm bình phương

ta có x2 + 8x + 16 = x + 1 x2 + 7x + 15 =

2

7 4.15

     phương trình vơ nghiệm

0,5

Trường hợp 2: 2 x x 1 2

1

2 (1)

4

4

1 (2)

x

x

x

x

  







  



Pt(2)

5

x x

   

( 5)

3.4 13 0

  







Phương trình (2) có hai nghiệm x1 = 13



; x2 = 13



Đối chiếu với điều kiện (1) ta thấy

chỉ có nghiệm x = 5 13 thỏa mãn

Vậy phương trình cho có nghiệm 13  Câu b 2,5đ 2

4

4

4

2

3

4

2

7

(2

)

2(2

) 3

0 (1)

4

2

7 (2)

x

y

xy

x

y

xy

x

y

x

y

x

y

xy

x

y













 





 











 

 





 



1,0

Pt(1) 



2 2



3



2

y x

x y x y

y x

 



      

 

 0,25

TH1: y2x1 thay vào phương trình (2) ta có

2x   x (phương trình vơ nghiệm) 0,5

TH2: y2x3 thay vào phương trình (2) ta có

2

2x 3x 1 phương trình có hai nghiệm

1 2

1

1

1

2

2

x

y

x

y

 

 





    



0,5

Vậy hệ cho có hai nghiệm



1; 1





1

; 2

2















0,25 Bài 3 2,5đ

Giả sử tìm n thỏa tc/1 ta chứng minh n không thỏa tc2;3

n bội  n có chữ số tận 0,25 Vậy n + có chữ số tận

n3 có chữ số tận

0,5

Mà số phương có chữ số tận 0; 1;4; 5;6;9 Nên n+8

n



3

số phương t/c sai (trái gt) Vậy tính chất sai; t/c 2;

0,5

Ta tìm n thỏa mãn tc 2,3 (cho hs 0,75đ làm phần này mà không lập luận phần trên)

Đặt 2 n p n k       

 (p; k  N)

2

11 p k

   (p k p k )(  ) 11 0,25

Do p,k

N

  p k N p k;  Z p k;   p k; Kết hợp với (1)  11

1

p k p

p k k

             0,75

Vậy n28

(hs làm tập cách xét 3TH TH

Bài 4 7,0đ

Câu a

2đ I

K M

O

B C

A

D

a Tứ giác MKCD nội tiếp MDK MCK 0,5 

ADB ACB

(hai góc nội tiếp (O) chắn AB) MDK MDA hay DM

phân giác tam giác ADK

1,0

Tương tự chứng minh AM phân giác tam giác ADK

Vậy M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADK 0,5

Câu b 2,5đ

b Hai tam giác BMK BCD đồng dạng

 BM  BC BM BDBK BC

BK BD

1,0

Tương tự ta có CM CA CK CB 0,5

BM BD CM CA BK BC CK BC BC 0,5

Do BC không đổi, BM BD CM CA  không đổi D chuyển

động cung AC 0,5

Câu c 2,5đ

c Đường thẳng qua A vng góc với BC cắt DK I 0,5

AI MKIACKMC 0,5

Lại có tứ giác MDCK nội tiếp KMCKDC 0,5

Vậy IACIDCtứ giác ADCI nội tiếp hay I đường tròn

ngoại tiếp tam giác ADC  I

 

O cố định, mà I đường

thẳng qua A cố định, vng góc với BC cố định Vậy I cố định hay DK qua I cố định

1,0

Bài 5 2,0đ

2

2 ( 1)(1 )

A x  x x  x x  x 0,5

với 1 x

   có (x 1)

1 5



x



0

0,25 Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số (x1)

1 5



x

không

âm

Có (x1)(1 ) x  (x  1) (1 )x  1 2x

1 Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược cách giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính tốn xác cho điểm tối đa

Các cách giải khác cho điểm Tổ chấm trao đổi thống điểm chi tiết

Có thể chia nhỏ điểm thành phần khơng 0,25 điểm phải thống tổ chấm Điểm toàn tổng số điểm toàn chấm, khơng làm trịn

Hết

Dấu “=” xảy

(x  1) 5x6x  0 x thỏa điều kiện 1 x

   0,25

Website HOC247 cung cấp mơi trường học trực tuyếnsinh động, nhiều tiện ích thơng minh,

nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh

nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹnăng sư phạmđến từcác trường Đại học

trường chuyên danh tiếng

I.

Luy

ệ

n Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG:Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, NgữVăn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II.

Khoá H

ọ

c Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ởtrường đạt điểm tốt

ở kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần

Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩncùng đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III.

Kênh h

ọ

c t

ậ

p mi

ễ

n phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, NgữVăn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí