de thi HSG toan 9

[r]

ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI số 3

Câu 1: ( điểm)

Cho biểu thức: ( ) :

2

1 1

x x x

A

x x x x x

 

  

   

1- Rút gọn biểu thức A

2- Tính giá trị A x 7

3- Tìm x để biểu thức A đạt giá trị lớn Câu 2: (3 điểm)

1- Cho phương trình: (m 1)x2 (2m 3)x m 4 0       (1) a) Giải phương trình (1) m=2

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x x1; thõa mãn 2

1 2 x x 

2- Cho phương trình ( 1)

3

a x y

x ay

  

 

 

 (I)

a) Giải hệ (I) với a 1

b) Tìm giá trị a để hệ (I) vô nghiệm.

Câu 3: (3 điểm)

Cho tam giác ABC (AC > AB), trung tuyến AM, điểm N thuộc đoạn AM, vẽ đường trịn (O) có đường kính AN

1- Gọi F giao điểm phân giác AD với (O), gọi E giao điểm phân giác ngồi góc A với (O) Chứng minh: EF đường kính đường trịn (O)

2- Đường tròn tâm (O) cắt AB K, cắt AC H, KH cắt AD I

Chứng minh:

FK FI FA

3- Chứng minh: NH.CD = NK BD Câu 4: (1 điểm)

Tính tổng: 2 2 2

1 1 1

1

2 3 2008 2009

ĐÁP ÁN Số 3

Câu I: (3) 1- (1) Điều kiện xác định:0 x (0,25)

2 ( 1) ( 1)

1

x x x x x

A

x x x

     



  (0,25)

( 1)2

( 1) ( 1)

x x

x x x x x

 

 

     (0,5)

2- (1)

2

2

1 3

( )

2 4

A x

  

   (0,5)

Dấu “ =’’ xảy  x  0 x0 (0,25)

Vậy giá trị lớn A x = (0,25)

3- (1) Với x = 7 ( 1)2

  

 x  1 (0,5)

Ta có: 2

7 6 1

A 

     (0,5) Câu II: (3) 1- (1,5) a) Khi m = ta có phương trình: x2 7x 6 0

   (0,25) Ta có a + b + c = 0, suy phương trình có nghiệm x = 1, x = (0,25) b) Nếu m=1: Ta có phương trình: -5 x + = 0: phương trình có nghiệm

Nếu m1:

Nhận thấy a + b + c = nên để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ( x1 x2 ) (0,25) Khi hai nghiệm phương trình (1) là:

4 1,

1

m x x

m 

 

 (0,25)

Yêu cầu toán tương đương đương với: 2

1 2 4 3

1

4 1 2

1

  

 

   

 

 

  

x x

m

m

m m

m

Vậy

2

m giá trị cần tìm

2- (1,5) a)

Với a 1 hệ (I) trở thành:

3

3 ( 1)

1

(1 3)( )

3

3 1

x y x

x

x y x y

y

x y y

  

 

  

 



      

  

     

 

 

  

  

(0,5)

(I)

 

1

(1)

( 2)( )

3

3 ( 2) (3 ) 6 (2)

 



  

 

   

 

     



ay x

a x y

x ay a a y (0,5)

Hệ (1) vơ nghiệm phương trình (2) vơ nghiệm

2

    

a

a (0,5)

1- Ta có: AE AF hai tia phân giác hai goc kề bù đỉnh A nên

90

AEAF EAF  (1) Do EF đường kính đường trịn (O)

2-Ta có:HAF KAF( AD tia phân giác)  

HF KF

 

  

 

   



1 ® 1( ® ® )

2

1

= ( ® ® )

AK F s AF s AH s HF

s AH s FK

Ta lại có: K I F= ( ®   ®  )

2 s AH s FK ( góc có đỉnh bệ đường trịn)

Do đó: AK F K I F (0,25) Xét AKFvà KIFcó:

K AF I K F ( hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) (0,25) AK F K I F ( chứng minh trên)

Do AK F đồng dạng với K I F (0,25)

 F K FA  FK F I FA

FI FK (0,25)

3-

ANB  AMB  NMB

S S S (0,25)

AMB  AMC

S S , SNMB SNMC

Do SANB SANC (0,25)

 

 

NH AC NK AB

NH AB

NK AC

(1) Áp dụng tính chất đường phân giác ta cóAB BD

AC CD (2) (0,25)

Từ (1) (2) suy NH BD  NH CD NK BD

NK CD (0,25)

Câu IV:

Ta có:

  

       

  

       

2 2

2 2

1 36 2.3 1

1

6 2.3 3 (2.3)

1 144 16 13 3.4 1

1

12 3.4 4 (3.4)

  

   



2 2

2 2

1 (2008.2009) 2008 2009 2008.2009 1

2008.2009 2008 2009 (2008.2009)

1

=1+

2008 2009

(0,5)

 (11 1 ) (1 1 1 ) (1    )

2 3 2008 2009

S

        

 

1 1 1

2007

2 3 2008 2009 ( từ đến 2008 có 2007 số)

   

 

1 2007

2 2009

20072007