De thi HSG toan lop 9

[r]

TRƯỜNG THCS NGUYỄN CÔNG TRƯ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN GV: Trần Xuân Đài – Lê Huy Bài 1(4đ) Phân tích thành nhân tư a) M = √ x −1 − √ x − x + x − với x ≥ b) A = 2010+ √ 2010+ √ 2010+ √ 2010+ Bài 2(4đ) Giải phương trình a) √3 x2 +26+3 √ x + √ x+3=8 b) √ y + x=√ y − x − √ x 2+ Bài 3(4đ) Một giám đốc giao cho cô bán hàng lần lượt là: - Cô A: 50 sản phẩm - Cô B: 30 sản phẩm - Cô C: 10 sản phẩm Điền kiện phải bán với giá bằng và số tiền mỗi người đem về phải bằng Hỏi phải bán bằng cách nào? Bài 4(4đ) Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c p là nưa chu vi của tam giác Chứng minh rằng ta luôn có √ p ≺ √ p − a+ √ p − b+ √ p −c ≤ √ p Bài 5(4đ) Cho nưa đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R, M là một điểm di động trên đoạn AB, kẻ MC vuông góc AB( C thuộc nưa đường tròn (O)) Gọi D và E lần lượt là hình chiếc của M trên CA, CB Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AM và MB a) Chứng minh CD.CA = CE.CB b) Xác đinh vị trí của điểm M để diện tích tứ giác DEQP đạt giá trị lớn nhất √ ĐÁP ÁN Bài 1(4đ) a) M = √ x −1 − √ x − x + x − với x ≥ ¿ √ x −1(7 − x+ √ x − 1) 25 ¿ − √ x − 1(x −1 − √ x − 1+ − ) (0,5đ) 4 25 ¿ − √ x − √ x −1 − − ¿ − √ x − ( √ x − 1− ) ( √ x −1+2 ) ¿ − √ x − ( √ x − 1− ) ( √ x −1+2 ) ¿ √ x −1 ( − √ x − )( √ x − 1+2 ) b) A = 2010+ √ 2010+ √ 2010+ √ 2010+ [( ) ] √ A =2010+ √ 2010+ √ 2010+ √2010+ ⇔ A2 − A − 2010=0 8041 ⇔ A2 − A+ − =0 4 2 √ 8041 ⇔ A− − =0 2 8041 8041 ⇔ A− −√ A− +√ =0 2 2 ) ( ( ( ) )( ) (0,25đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) ⇔ 8041 A= + √ 2 ¿ √ 8041 A= − 2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 1+ √ 8041 Vì A> nên A= Bài 2(4đ) Giải phương trình a) √3 x2 +26+3 √ x + √ x+3=8 (1) Ta nhận thấy x = là nghiệm của PT (1) Với ≤ x <1 thì: √ x +26+3 √ x +√ x+3< √3 12 +26+3 √ 1+√ 1+ 3=8 Nên PT vô nghiệm với ≤ x <1 Với x >1 Thì: √3 x2 +26+3 √ x +√ x+3> √3 12 +26+3 √ 1+√ 1+ 3=8 Nên PT vô nghiệm với x >1 (0,5đ) (0,25đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) Vậy PT (1) có nghiệm nhất x = b) √ y + x=√ y − x − √ x 2+ ⇔ √ y 2+ x + √ x 2+ 2=√ y − x 2 ⇔ ( √ y + x+ √ x +2 ) =( √ y − x ) x+ 1¿2 +2 √( y − 1)(x +2)=0 y −1 ¿2 +¿ ⇔¿ (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) ¿ y −1=0 x +1=0 √ y + x=0 ⇔ (1đ) ¿ y= x=−1 ¿{{ ¿ Bài 3(4đ) Lần 1: Bán sản phẩm đồng - Cô A bán 49 sản phẩm thu được đồng - Cô B bán 28 sản phẩm thu được đồng - Cô C bán sản phẩm thu được đồng Lần 2: Bán sản phẩm đồng - Cô A bán sản phẩm thu được đồng - Cô B bán sản phẩm thu được đồng - Cô C bán sản phẩm thu được đồng Vậy sau hai lần bán mỗi người đều thu được 10 đồng Bài 4(4đ) Ta có 2( x 2+ y 2+ z )≥ xy +2 yz+ 2zx x + y + z ¿2 (0,5đ) ⇔ 3( x2 + y + z 2)≥ ¿ Thay x=√ p − a ; y=√ p −b ; z= √ p −c ta có √ p − a+√ p− b+ √ p −c ¿2 (0,5đ) ⇔3(3 p −a − b −c )≥ ¿ √ p − a+√ p− b+ √ p −c ¿2 (0,5đ) ⇔3 p ≥ ¿ ⇔ √ p −a+ √ p −b+ √ p − c ≤ √ p Ta lại có (x +y +z)2 > x2 +y2 +z2 mọi x, y, z >0 Nên √ p − a+ √ p− b+ √ p −c ¿ > p− a+ p − b+ p− c ¿ √ p − a+ √ p− b+ √ p −c ¿2 > p (0,5đ) ⇔¿ ⇔ √ p −a+ √ p −b+ √ p − c> √ p (1đ) (1đ) (1đ) (1đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) Vậy √ p< √ p − a+ √ p − b+ √ p− c ≤ √ p Bài 5(4đ) a) tam giác ABC vuông tại C, CM là đường cao C ta có hệ thức CD.CA = CM2 (0,25đ) CE.CB = CM2 (0,25đ) Nên CD.CA = CE.CB (0,25đ) D b) Tứ giác DCEM có góc D = góc C = góc E =900 A nên DCEM là hình chữ nhật (0,5đ) P M => S DEM = S DCEM (0,5đ) ADM có DP là trung tuyến => S DPM = S (0,5đ) ADM Tương tự ta có S MED = S MEB Nên SDEM + SDPM + SMEQ = ( SDCEM + SADM + SMEB ) Hay S DEQP = S ABC 1 Mà S ABC = CM.AB OC.AB = R2 2 Dấu bằng sảy và chỉ M trùng O R2 Vậy SDEQP đạt giá trị lớn nhất bằng M trùng O E O B Q (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ)