DE THI HSG TOAN 9 KIM SON NAM 20112012

Trên đường trung trực của AH lấy điểm M bất kỳ sao cho M nằm ngoài (O) và dựng tiếp tuyến MF với (O).[r]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN KIM SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP THCSNĂM HỌC: 2011 – 2012.

MƠN TỐN

Thời gian làm 150 phút

Câu (4đ) Cho biểu thức:

x x x

P

x x x x x

  

  



  

a) Rút gọn P b) Chứng minh

1 P

3



với x 0 và x 1 .

Câu (4đ)

a) Cho đường thẳng (d): m x 3my 12     Tìm m để (d) tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Tính khoảng cách từ O(0; 0) đến (d) ứng với m vừa tìm

b) Cho M(a; b) điểm nguyên đường thẳng 4x 5y 7  Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q a b 

Câu (4đ) Cho 0 t 3  Tìm GTNN biểu thức:  

2

2

4t A

t t

 



Câu (4đ)

a) Cho ABC cân A Trên đáy BC lấy điểm D cho CD 2BD So sánh

số đo BAD



1 CAD

b) Từ điểm A (O) dựng tiếp tuyến AB, AC với (O) Gọi H giao điểm OA với BC Trên đường trung trực AH lấy điểm M cho M nằm (O) dựng tiếp tuyến MF với (O) Chứng minh: MA MF .

(B, C, F tiếp điểm) Câu (4đ)

a) Tìm tất cặp số nguyên x, y thỏa mãn: x2  7 y x 2y 0     b) Tìm tất cặp số nguyên dương x, y thỏa mãn: x2010 y2010 20122010

-HẾT -Câu 1: a) Với x0;x1

P =

   

           

   

2 1

1

1

2 1

1

1

2 1

1 1 1

1

1

x x x

x

x x x x

x x

x x x

x x x

x x x x

x x x x x x x x x

x x

x x x

x x x                                            

Vậy: P =

x

x x với x0;x1

b)Cách xét hiệu:

 2

1

3

3 1 1 x P x x

x x x

x x x x x                

Vì x0;x1 nên:  

2

1

x

  

x x 1 0 Do đó:

0

P 

Vậy ta có điều phải chứng minh:

Cách 2: Ta có : P =

x

x x =

1 1 x x  

với x0;x1

Áp dụng BĐT Co – si cho số dương

1 ;

x

x ta có:

1

2

x x

x x

  

Vì x1 nên dấu "=" khơng xảy ra

Suy ra: 1 x x    Vậy P Câu 2:

Cho x = suy y =

4

m (m khác 0) ta A(0;

4

m) thuộc Oy

Cho y = suy x =

3

m (m khác 1) ta B(

1

m ;0) thuộc Ox

Khi đó: OA =

4

m ; OB =

3

m

Để đường thẳng d tạo với hai trục toạ độ Ox, Oy tam giác có diện tích thì: OA.OB = tức là:

4

1

m m  giải phương trình ta m = - ; m = 2

Với m = -1 AB =

73

2 Suy khoảng cách từ O đến (d) 12

73

Với m = AB = 13 Suy khoảng cách từ O đến (d)

6 13

2) Vì M (a;b) điểm nguyên đường thẳng 4x +5y = nên ta có: 4a + 5b = suy  

7

1

4

b b

a    b   Z

Do – b = 4k (k thuộc Z) hay

3

b  k

từ ta tính a = 5k – Khi đó: Q5 5k 3 4  k Lập bảng xét dấu:

k 5

5k - - + + – 4k + +

-Xét TH1: k

2 

mà k thuộc Z nên k  Ta có Q = (1 – 13 k) 

TH2:

2

5k 4 mà k Z nên không tồn k

TH3:

3

k

mà k Z nên k1 Ta có Q = (13k – 1)  12

Gộp trường hợp ta được: Q  Dấu "=" xảy k =

M(-2;3)

Vậy biểu thức Q đạt giá trị nhỏ giá trị đạt M(-2;3)

Câu 3: Ta có    

2

2

4 9

3

t t

A

t t t t t

      =   t

t t t

 



 



 

Tiếp ta dễ dàng chứng minh:

9 4t 12

t

 

 

 

  Dấu "=" xảy t = 1,5

 

1

3

t  t  Dấu "=" xảy t = 1,5

Suy

16

A

Dấu "=" xảy t = 1,5 Vậy GTNN A

Câu 4:

1)Cách 1:

Đặt AB=AC=a (a>0)BC =3m (m>0) suy ra: CD=2m,BD=m Kẻ đường cao AH, phân giác AKcủa góc CAD, ta có DH =

1 2m

Ta tính AH =

2

1

4

2 a  m ;AD = a2 2m2 Vì AKlà phân giác góc CAD ta có:

DK AD

DC AC AD suy ra:

2

2

2

2

m a m

DK

a a m

 

 

Xét hiệu: DI-DK = m-DK=

 2

2

2

0

m a a m

a a m

 



  a;m >0 nên a a2 2m2

Từ suy K nằm Dvà I, hay I nằm Kvà C Do góc AKD > góc AIK mà góc AIK = góc ADK nên góc AKD >góc ADK Suy ADB > góc AKC

Vậy: góc BAD < góc DAK Tức góc BAD <

1

2góc CAD

Cách 2:

Gọi E trung điểm DC, ta có BD = DE = EC

 Khi tam giác ABD tam giác ACE (c-g-c)

Suy góc BAD = góc CAE (1)

Trên tia đối tia EA lấy điểm F cho EF = EA Ta chứng minh tam giác CAE = tam giác DEF (c-g-c)

Từ đó: AC = DF; góc DFE = góc CAE * Vì góc ADC = gócABD +gócBAD, nên ADC >góc ABD mà góc ABD = góc ACD Suy ra: góc ADC >góc ACD.Do AC>AD,

Mà AC = DF suy ra: góc DAE > gócDEF suy ra: DAE+CAE>2DEF Hay: 1/2DAC>DE F Vậy BAD<1/2DAC

A

B

D

Gọi I trung điểm AH

Dễ chứng minh AO đường trung trực BC + Trong tam giác: FMO ;OMI,AMI,ABO ta có

 

 

2 2

2 2

2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

;

2

MF MO R OF R

MI IO R

MI HI OH R

MI IH OH IH OH R

MI IA OH HA R

MA OH BH R

MA R R

MA

  

  

   

    

   

   

  



Vậy: MF = MA Câu

a) với giới hạn chương trình hết tuần 16 ta nênlàm sau + Ta có : x2 7y x  6 2y0  y x  2x2 7x6 Rõ ràng x = nghiệm nên chia hai vế cho x – ta

 

2 7 6 4

5

2

x x

y x

x x

  

   

 

Do x, y số nguyên nên x – ước -4 mà U4     1; 2; 4 Ta có bảng:

x-2 -1 -2 -4

y -3 -6 -3 -6 đối chiếu với điều kiện đề cặp số sau thoả mãn

(x;y) = 1;0 ; 0;3 ; 2; ; 6;0 ; 4; ; 3; 6             

2)Giả sử (x,y)là nghiệm nguyên dương phương trình: Rõ ràng x,y<2012 (1) Khơng tính tổng qt giả sử x y .

Do x Z ; 2012 x 2012 x

Suy ra: 20122010 x12010 x20102010x2009 2010 x 1 x20102010x2009 Từ ta có x2010y2010 x20102010x2009 hay y2010 2010x2009 mà x y nên

2010 2010 2009 2010

x  x  x (2)

Tương tự ta có: y > 2010 (3)

Từ (1), (2) (3) suy 2010 < x, y < 2012 Từ x = y = 2011

Nhưng cặp số (x, y) không thoả mãn phương trình cho (vì vế phải chia hết cho cịn vế trái khơng chia hết cho 4)