Rút gọn biểu thức A. a) Chứng minh: DH vuông góc với BM.[r]
(1)UBND HUYỆN GIA VIỄN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 8ĐỀ THI KHẢO SÁT
Mơn: Tốn
Năm học: 2014- 2015
Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)
Câu (5 điểm) Cho biểu thức:
2
2
2 2
A
2 8
x x x
x x x x x x
a) Tìm x để giá trị A xác định Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá tr nguyờn.
Cõu (4 im) Giải phơng tr×nh sau:
a)
x x( 2)(x22x2) 1= 0
b)
y
2
4
x
2
y
2
x1
2
0
c)
2
4
6
16
72
8
20
12
42
2
8
4
6
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Câu (3 điểm)
1) Tìm số tự nhiên n để số p số nguyên tố biết: p = n
3- n
2+ n - 1
2) Tìm a,b cho
f x
ax3bx210x 4chia hết cho đa thức
g x x x
3) Cho 4a
2+ b
2= 5ab vµ 2a b 0.TÝnh:
4a2 b2 ab P
Câu (6,5 điểm) Cho hình vng ABCD, tia đối tia CD lấy điểm M bất kì
(CM < CD), vẽ hình vng CMNP (P nằm B C), DP cắt BM H, MP cắt
BD K
a) Chứng minh: DH vng góc với BM
b) Tính Q =
PC PH KP
BC DH MK
c) Chứng minh: MP MK + DK BD = DM
2Câu (1,5 điểm)
1) Cho x, y > Chứng minh rằng:
x y y x x
y y x
3
2 2
2)
Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2
( 2)( 6) 12 24 18 2045
B xy x y x x y y
(2)UBND HUYỆN GIA VIỄN
PHÒNG GD&ĐT GIA VIỄN
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 8
Năm học 2014 - 2015
Mơn thi : TỐN
Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề
(Hướng dẫn gồm 05 câu, 05 trang)
CHÚ Ý :- Nếu HS làm cách khác mà cho điểm tối đa theo thang điểm ý
- Khi học sinh làm phải lý luận chặt chẽ cho điểm tối đa theo biểu điểm
của ý đó
Câu Đáp án Biểu điểm
1 (5 điểm)
Cho biểu thức:
2
2
2 2
A
2 8
x x x
x x x x x x
a) (3,5 điểm) * ĐKXĐ: 1,0 điểm
Giá trị A xác định
2
2
2
8
0 x
x x x
x
2
2
2
4(2 ) (2 ) 0
x
x x x
x
2
2
4
(2 )(4 ) 0
x
x x
x
2 x x
- ĐKXĐ : x2;x0
(Nếu HS nêu ĐKXĐ: cho 0,25 điểm)
* Rút gọn : 3,0 điểm
Ta có
2
2
2 2
A
2 8
x x x
x x x x x x
2 2
2 2
2 2
2( 4) 4(2 ) (2 )
x x x x x
x x x x x
2 2
2
( )(2 ) . 2
2( 4)(2 )
x x x x x x x
x x x
2 2
2
2 4 ( 1) 2( 1)
2( 4)(2 )
x x x x x x x x
x x x
2
2
( 4) ( 1)( 2)
2( 4)(2 )
x x x x x
x x x x
0,25 điểm
0,5 điểm 0,25 điểm
0,75 điểm 0,75 điểm 0,75 điểm 0,75 điểm
b) (1,0 điểm)
Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên
* x
x
Z x +1 2x 2x + 2x Mà 2x 2x
2x x x = x = -1
* Ta thấy x = x = -1 (TMĐKXĐ)
(3)Vậy A=
1 x
x
Z x = x = -1
0,25 điểm
2 (4 im)
Giải phơng trình sau:
a) (1,5 điểm) x x( 2)(x22x2) 1 = (x2 + 2x) (x2 + 2x + 2) + =
(x2 + 2x)2 + 2(x2 + 2x) + =
(x2 + 2x + 1)2 = 0
(x+1)4 = x + = x = -1
Vậy PT cho có nghiệm x = -1
0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm b) (1,5 điểm) y2 4x 2y 2x120
2 2 1 (2 )x 2.2x 1 0
y y
(y 1)2(2x 1)2 0 y + = 2x
= 0
y = -1 x =
Vậy PT cho có nghiệm (x, y) = (0; -1)
0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm c) (1,0 điểm)
2 4 6 16 72 8 20 12 42
2
x x x x x x x x
x x x x
(1)
- ĐKXĐ: x ≠ -2; x ≠ -4; x ≠ -6; x ≠ -8 - PT (1)
2 2
( 2) ( 8) ( 4) ( 6)
2
x x x x
x x x x
2
2
2
x x x x
x x x x
2
2
x x x x
2 8 48 48 ( 2)( 4) ( 6)( 8)
x x x x
x x x x
2
( 2)( 4) ( 6)( 8)
x x
x x x x
x = (x2)(x4)=(x6)(x8)
x = x2 + 6x + = x2 + 14x + 48
x = 8x = - 40 x = - (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy PT cho có nghiệm : x1 = 0; x2 = -
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm
3 (3 điểm)
1) (1,0 điểm) Tìm số tự nhiên n để số p số nguyên tố biết: p = n3 - n2 + n - 1
- HS biến đổi : p = (n2 + 1)(n - 1)
- Nếu n = 0; không thỏa mãn đề
- Nếu n = thỏa mãn đề p = (22 + 1)(2 - 1) = 5
- Nếu n > khơng thỏa mãn đề p có từ ước trở lên 1; n – 1> n2 + > n – 1> 1
- Vậy n = p = n3 - n2 + n - số nguyên tố
0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 2) (1,0 điểm) Tìm a,b cho f x
ax3bx2 10x 4 chia hếtcho đa thức g x
x2 x (4)*
2
g x x x
= (x -1)(x - 2) *
3
f x ax bx 10x 4 g x
3
f x ax bx 10x 4
= (x – 1)(x - 2).Q(x) (1) (mọi x R) - Thay x1 = 1, x2 = vào (1) ta có:
a + b + = 8a + 4b + 16 = a = b = -8
Vậy
3
f x ax bx 10x 4 g x
a = b = -8
0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
3) (1,0 điểm)
Cho 4a2 + b2 = 5ab vµ 2a b 0.TÝnh: 4a2 b2
ab P
- HS biến đổi :
4a2 + b2 = 5ab (4a - b)(a -b) = b = 4a b = a
- Mà 2a b 4a > 2b > b nên a = b
- Ta có :
2 2
4 a P
a a
=
1
- Vậy 4a2 + b2 = 5ab 2a b
1 P
0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
4
(6,5 điểm) - Hình vẽ 0,25 điểm
a) (2,25 điểm) Chứng minh: DH vng góc với BM
- HS CM : CD = BC, PC = CM, DCB = BCM = 900
- CM: DPC = BMC (cgc)
- Chứng minh BHP = 900
0,75 điểm 0,75 điểm 0,75 điểm
b) (2,0 điểm) Tính Q =
PC PH KP
BC DH MK
- HS CM : MP BD
-
1
2
1. .
2
PDM BDM
DM PC S
PC
BC DM BC S
;
Tương tự :
1
PBM BDM
DB KP S PH
DH DB MK S
1
PBD BDM
DB KP S PH
DH DB MK S
0,5 điểm 0,5 điểm
0,5 điểm
K
H
P N
M C
B A
(5) Q =
1
PDM PBM PBD BDM
S S S
S
0,5 điểm
c) (2,0 điểm) Chứng minh: MP MK + DK BD = DM2
- CM: MCP MKD (g.g) MP MK = MC MD (1) - CM: DBC DKM (g.g) DK BD = DC DM (2)
- Từ (1) (2) MP MK + DK BD = DM (MC + DC)
MP MK + DK BD = DM2
0,5 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
5 (1,5 điểm)
1) (0,75 điểm) - HSCM:
x y
y x ≥ với x, y > 0
x y
yx -2 ≥ 0; x y
y x - ≥ 1
(
x y y x -2)(
x y
y x -1) ≥
2
2 2 ( ) 2( )
x y x y x y
y x yx yx
x y y x x
y y x
3
2 2
Dấu “=” xảy x = y >
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm 2) (0,75 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2
( 2)( 6) 12 24 18 2045
B xy x y x x y y
*) x2 - 2x +1 = (x-1)2 ≥ x2 -2x +3 ≥ x R (1)
y2 + 6y +9 = (y+3)2 ≥ y2 + 6y + 12 ≥ y R (2)
+ B xy x ( 2)(y6) 12 x2 24x3y218y2045
= (x2 - 2x)( y2 + 6y) + 12(x2 - 2x) + 3(y2 + 6y) + 36 + 2009
= (x2 - 2x)( y2 + 6y + 12) + 3(y2 + 6y +12) + 2009
= (x2 - 2x + 3)( y2 + 6y + 12) + 2009 (3)
+ Từ (1) ; (2) (3) B ≥ 2.3 + 2009 B ≥ 2015 *) B = 2015 x = y = -3
*) Min B = 2015 x = y = - 3
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm