De thi HSG Toan 9QTrach20092010

Cho tam gi¸c nhọn ABC.[r]

UBND huyện quảng trạch

Phòng Giáo duc & Đào tạo Đề thi chọn Học sinh giỏi Năm học 2009 - 2010

Môn: Toán lớp 9

Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao )

Câu1(1,0 điểm)

Tỡm s tự nhiên n cho: n + 24 n – 65 hai số phương

C©u (2,0 ®iĨm)

a) (1,0 ®iĨm) Chøng minh r»ng víi ba sè a, b, c bÊt kú ta cã: a2 + b2 +c2 ab + bc + ca

b) (1,0 điểm) Tính giá trị biểu thức:

2 3

2 2

 



   

Câu 3 (2 điểm)

a) (1,0 điểm) Chng minh: a2b2  c2d2  (a c) 2(b d)

b) (1,0 điểm) Cho đờng thẳng y = ( m - 2)x + (d) Chứng minh đờng thẳng (d) qua điểm cố định với giá trị m

C©u 4 (1,5 ®iÓm)

Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác biết: a b b c c a        8abc

Chứng minh tam giác tam giỏc u

Câu 5: (1,75 điểm)

Cho hình vuông ABCD Điểm O thuộc miền hình vuông thoả mÃn OB = 2.OA AOB=135o Chứng minh : OC = OA + OB

C©u 6: (1,75 điểm)

Cho tam giác nhn ABC Phân giác góc A cắt cạnh BC D Gọi K vµ M ln lt hình chiu ca D AB AC

a) Chứng minh: AD vu«ng với KM

b) Đặt gãc BAC  Gọi S lµ giao điểm KD vµ AC Chứng minh: KM=AD.sin

HÕt

UBND huyện quảng trạch

Phòng GD & ĐT Hớng dẫn chấmNăm học 2009 - 2010thi chọn Học sinh giỏi

Môn: Toán lớp 9

Câu Tỉng

1

Tacó:

¿ n+24=k2 n −65=h2

¿{

¿

2

k 24 h 65

   

⇔(k − h) (k+h)=89=1 89

⇔

k+h=89

k −h=1

⇒

¿k=45 h=44

¿{

Vậy: n = 452 – 24 = 2001

0,25 0,25 0,25 0,25

2a XÐt a2 + b2 + c2 - (ab +bc + ca)

2 2 2

2 2

1 1

(a 2ab b ) (b 2bc c ) (c 2ac a )

2 2

1 1

(a b) (b c) (a c)

2 2

        

      

Vậy a2 + b2 + c2  ab +bc + ca

DÊu “=” x¶y tra a=b=c

0,25 0,5 0,25

2b

A=

2 3

2 2

 



    .

A 3

2 2 4 2 3 2 4 2 3

 

 

   

=

2 3 (2 3)(3 3) (2 3)(3 3)

3 3

      

 

 

=

      

 3 3 3 3

1

6

A = 2

0, 0,25 0,25

3a 1,5 Hai vế BĐT không âm nên bình ph¬ng hai vÕ ta cã:

a2 + b2 +c2 + d2 +2 (a2b2)(c2d2) a2 +2ac + c2 + b2 + 2bd + d2

 (a2b2)(c2d2)  ac + bd (1)

Nếu ac + bd < BĐT c/m Nếu ac + bd 0

(1)  ( a2 + b2 )(c2 + d2) a2c2 + b2d2 +2acbd  a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2  a2c2 + b2d2 +2acbd  a2d2 + b2c2 – 2abcd   (ad – bc)2 

( đúng)

Dấu “=” xẩy  ad = bc  a c b d

3b Điều kiện cần đủ để đờng thẳng d qua điểm cố định H (x0, y0) là:

y0= ( m-2)x0 + víi mäi m

 mx0-(2x0+y0-2) = víi mäi m



0

0

x

2x y 

 

  



 x0=0; y0= 2

Vậy đờng thẳng d qua điểm cố định H (0; 2) với m

0,5

0,5

4 1,5 Ta cã: (a+b) (b+c) (c+a)=8 abc

⇔(a2b+bc2−2 abc)+(ac2+ab2−2 abc)+(b2c+a2c −2 abc)=0

⇔b(a− c)2+a(b −c)2+c(b −a)2=0

Ta cã: b(a − c)2≥0 ∀a , b , c

a(b − c)2≥0 ∀a , b , c

c(b −a)2≥0 ∀a , b , c

mµ a , b , c ≠0

⇒b(a − c)2+a(b −c)2+c(b −a)2≥0 ∀a , b , c

DÊu b»ng x¶y ¿

a −b¿2=0 ¿ b − c¿2=0

¿ a − c¿2=0

¿ ¿{ {

¿ c¿

⇒a=b=c

Kết luận: Vậy tam giác có cạnh nên tam giác

0,25

0,25 0,25 0,25

0,25 0,25

5 1,75

Vẽ tia Ox nằm OB OA cho ∠ BOx 45  LÊy E trªn Ox cho BE  BO

BEA BOC

  (c.g.c)

0,25

Suy AE = OC (1)

BOE

 vuông cân B EO = OB. 2

AOE =AOBEOB=900AOE vuông O, theo Pitago ta cã:

2 2 2 2

( )

AE AO EO AO  BO AO  AO  AO

2

9

AE AO AE AO AE OA OB

       (2)

Tõ (1) vµ (2)  OC OA OB 

0,25 0,25 0,25

6a 0,75

Xét hai tam giác vuông AKD AMD cã:

ˆ ˆ A A

, AD cạnh huyền chung

D D

AK AM

  

AK AM AKM

cân A

Nờn đờng phân giác AD đờng cao ADKM

0,25

0,25 0,25

6b

Ta cã BAC ( )gt

 S AD

MK K (Hai góc nhọn có cạnh tơng ứng vuông góc) Mặt khác, DASKAD (AD phân giác góc A)

Do MKSDAS

Hai tam giác KSM ASD có góc S chung vàMK SDAS nên đồng dạng với

Suy : S

AS D

K KM A 

XÐt tam gi¸c vu«ng AKS ta cã: S

sin D.sin

AS D

K KM

KM A A

     

0,25 0,25 0,25