Cho tam gi¸c nhọn ABC.[r]
(1)UBND huyện quảng trạch
Phòng Giáo duc & Đào tạo Đề thi chọn Học sinh giỏi Năm học 2009 - 2010
Môn: Toán lớp 9
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao )
Câu1(1,0 điểm)
Tỡm s tự nhiên n cho: n + 24 n – 65 hai số phương
C©u (2,0 ®iĨm)
a) (1,0 ®iĨm) Chøng minh r»ng víi ba sè a, b, c bÊt kú ta cã: a2 + b2 +c2 ab + bc + ca
b) (1,0 điểm) Tính giá trị biểu thức:
2 3
2 2
Câu 3 (2 điểm)
a) (1,0 điểm) Chng minh: a2b2 c2d2 (a c) 2(b d)
b) (1,0 điểm) Cho đờng thẳng y = ( m - 2)x + (d) Chứng minh đờng thẳng (d) qua điểm cố định với giá trị m
C©u 4 (1,5 ®iÓm)
Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác biết: a b b c c a 8abc
Chứng minh tam giác tam giỏc u
Câu 5: (1,75 điểm)
Cho hình vuông ABCD Điểm O thuộc miền hình vuông thoả mÃn OB = 2.OA AOB=135o Chứng minh : OC = OA + OB
C©u 6: (1,75 điểm)
Cho tam giác nhn ABC Phân giác góc A cắt cạnh BC D Gọi K vµ M ln lt hình chiu ca D AB AC
a) Chứng minh: AD vu«ng với KM
b) Đặt gãc BAC Gọi S lµ giao điểm KD vµ AC Chứng minh: KM=AD.sin
HÕt
UBND huyện quảng trạch
Phòng GD & ĐT Hớng dẫn chấmNăm học 2009 - 2010thi chọn Học sinh giỏi
Môn: Toán lớp 9
Câu Tỉng
(2)1
Tacó:
¿ n+24=k2 n −65=h2
¿{
¿
2
k 24 h 65
⇔(k − h) (k+h)=89=1 89
⇔
k+h=89
k −h=1
⇒
¿k=45 h=44
¿{
Vậy: n = 452 – 24 = 2001
0,25 0,25 0,25 0,25
2a XÐt a2 + b2 + c2 - (ab +bc + ca)
2 2 2
2 2
1 1
(a 2ab b ) (b 2bc c ) (c 2ac a )
2 2
1 1
(a b) (b c) (a c)
2 2
Vậy a2 + b2 + c2 ab +bc + ca
DÊu “=” x¶y tra a=b=c
0,25 0,5 0,25
2b
A=
2 3
2 2
.
A 3
2 2 4 2 3 2 4 2 3
=
2 3 (2 3)(3 3) (2 3)(3 3)
3 3
=
3 3 3 3
1
6
A = 2
0, 0,25 0,25
3a 1,5 Hai vế BĐT không âm nên bình ph¬ng hai vÕ ta cã:
a2 + b2 +c2 + d2 +2 (a2b2)(c2d2) a2 +2ac + c2 + b2 + 2bd + d2
(a2b2)(c2d2) ac + bd (1)
Nếu ac + bd < BĐT c/m Nếu ac + bd 0
(1) ( a2 + b2 )(c2 + d2) a2c2 + b2d2 +2acbd a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 a2c2 + b2d2 +2acbd a2d2 + b2c2 – 2abcd (ad – bc)2
( đúng)
(3)Dấu “=” xẩy ad = bc a c b d
3b Điều kiện cần đủ để đờng thẳng d qua điểm cố định H (x0, y0) là:
y0= ( m-2)x0 + víi mäi m
mx0-(2x0+y0-2) = víi mäi m
0
0
x
2x y
x0=0; y0= 2
Vậy đờng thẳng d qua điểm cố định H (0; 2) với m
0,5
0,5
4 1,5 Ta cã: (a+b) (b+c) (c+a)=8 abc
⇔(a2b+bc2−2 abc)+(ac2+ab2−2 abc)+(b2c+a2c −2 abc)=0
⇔b(a− c)2+a(b −c)2+c(b −a)2=0
Ta cã: b(a − c)2≥0 ∀a , b , c
a(b − c)2≥0 ∀a , b , c
c(b −a)2≥0 ∀a , b , c
mµ a , b , c ≠0
⇒b(a − c)2+a(b −c)2+c(b −a)2≥0 ∀a , b , c
DÊu b»ng x¶y ¿
a −b¿2=0 ¿ b − c¿2=0
¿ a − c¿2=0
¿ ¿{ {
¿ c¿
⇒a=b=c
Kết luận: Vậy tam giác có cạnh nên tam giác
0,25
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25
5 1,75
Vẽ tia Ox nằm OB OA cho ∠ BOx 45 LÊy E trªn Ox cho BE BO
BEA BOC
(c.g.c)
0,25
(4)Suy AE = OC (1)
BOE
vuông cân B EO = OB. 2
AOE =AOBEOB=900AOE vuông O, theo Pitago ta cã:
2 2 2 2
( )
AE AO EO AO BO AO AO AO
2
9
AE AO AE AO AE OA OB
(2)
Tõ (1) vµ (2) OC OA OB
0,25 0,25 0,25
6a 0,75
Xét hai tam giác vuông AKD AMD cã:
ˆ ˆ A A
, AD cạnh huyền chung
D D
AK AM
AK AM AKM
cân A
Nờn đờng phân giác AD đờng cao ADKM
0,25
0,25 0,25
6b
Ta cã BAC ( )gt
S AD
MK K (Hai góc nhọn có cạnh tơng ứng vuông góc) Mặt khác, DASKAD (AD phân giác góc A)
Do MKSDAS
Hai tam giác KSM ASD có góc S chung vàMK SDAS nên đồng dạng với
Suy : S
AS D
K KM A
XÐt tam gi¸c vu«ng AKS ta cã: S
sin D.sin
AS D
K KM
KM A A
0,25 0,25 0,25