Đề thi HSG Toán 9 cấp Tỉnh 2017 có đáp án Sở GDĐT Quảng Ninh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM 2017 Môn thi: TOÁN - Bảng A Ngày thi: 03/03/2017 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 01 trang) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Bài (3,5 điểm) Cho biểu thức A  x 4 3 x x 2 (với x  0; x  16; x  1)   x 5 x  x 4 x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A  Bài 2: (5,0 điểm) a) Giải phương trình: x2  x  x x    x   x  y  xy  5 b) Giải hệ phương trình:  2 3x  y  xy  y  Bài 3: (2,5 điểm) Tìm số tự nhiên n cho n thỏa mãn hai ba tính chất sau: 1) n  số phương 2) n  số phương 3) n chia hết cho Bài 4: (7,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC Gọi A điểm cố định nửa đường tròn ( A  B; C ), D điểm chuyển động AC Hai đoạn thẳng BD AC cắt M, gọi K hình chiếu M BC a) Chứng minh M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADK b) Khi D di chuyển AC ( D  C ), chứng minh đường thẳng DK qua điểm cố định BD.EM c) Đường thẳng qua A, vuông góc với BC cắt BD E Chứng minh có giá trị không AM đổi D di chuyển AC ( D  A ) Bài 5: (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức A  x   14 x  15x với 1  x  15 -Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu máy tính cầm tay - Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai HƯỚNG DẪN GIẢI Sơ lược giải Bài A Câu a 2,0 đ Bài 3,5đ  x 4  32 x  x 4 x 2 x 1  x  1 x    x  3 x  1   x     x  4 x  1  x  13 x  1  x  =  x  1 x  4 x  x 4 Điểm x 4  1,0 1,0 x 1 x 5 1   0 x 4 x 4 Có x   x 5 Nên   x    x    x  16 x 4 Kết hợp với điều kiện xác định ta tìm  x  16; x  A 1 Câu b 1,5 đ (nếu không đủ kq  x  16; x  không cho điểm bước này) ĐK: x  3 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 x2  x  x x    x   x2  x x   x   x  x   12    x x3 Bài 5,0đ Câu a 2,5 đ   x   x   12  0,5  x   4  x  x  x 3  x  x 3 3     x    x    1  2 Giải (1): Ta có x  3  VP  4  x  1, VT  Vậy (2) vô nghiệm 0,5 0,5 x  Giải (2): (2)   x   x  6x  x   x2  x   x2  x   x1  ( nhận); x2  (loại) Vậy phương trình có nghiệm x  0,75 3x  y  xy  y   x   x  y   y   x  x    x  y   4( x  y )    x  1 =  x  y   W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 0,5 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai (nếu hs đưa pt bậc hai ẩn y tham số x tính  0,5đ) Câu b 2,5đ 2 x   x  y  x  y 1    x    x  y   y   3x TH1: x  y  thay vào pt x  y  xy  5 ta có y2 + y + =   12  4.4  nên phương trình vô nghiệm TH2: y   3x thay vào pt x  y  xy  5 ta có 3x2  x     97  97  y1   x1   = (-1)2 + 4.3.8 = 97 >     97  97  y2   x2   0,5 0,5 0,75 Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm là:   97  97    97  97  ; ;   ;      0,25 Giả sử tìm n thỏa tc3 ta chứng minh n không thỏa tính chất 1; Bài 2,5đ n  n  n  chia cho dư 2, mà số phương chia cho dư 1(*)  n  số phương n không thỏa tc1 n  n 3 n 3 n mà không chia hết cho  n  không chia hết cho Mà số phương chia hết cho chia hết cho 9(**) nên n  không số phương n không thỏa tc2 n không thỏa tc 1,2 nên trái giả thiết (hs cần chứng minh (*) (**) không chứng minh trừ 0,25 đ cho hai phần này) Ta tìm n thỏa mãn tc 1,2 (cho hs 0,75đ làm phần mà không lập luận phần trên) n   p (p; k  N)  p2  k  11  ( p  k )( p  k )  11 n   k Đặt  0,5 0,75 0,5 Do p,k  N  p  k  N ; p  k  Z ; p  k  p  k ;  p  k  11  p   p  k 1 k  Kết hợp với (1)   Vậy n  28 (hs làm tập cách xét 3TH TH tc; phần 0,75đ) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 0,5 0,25 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai D A M E B K O C Câu a 2đ I a Tứ giác MKCD nội tiếp  MDK  MCK 0,5 ADB  ACB Bài 7,0đ Câu b 2,5đ (hai góc nội tiếp (O) chắn AB )  MDK  MDA hay DM phân giác tam giác ADK Tương tự chứng minh AM phân giác tam giác ADK Vậy M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADK 1,0 b Đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt DK I 0,5  AI MK  IAC  KMC 0,5 Lại có tứ giác MDCK nội tiếp  KMC  KDC 0,5 Vậy IAC  IDC  tứ giác ADCI nội tiếp hay I   O cố định, mà I  đường thẳng qua A cố định, vuông góc với BC cố định Vậy I cố định hay DK qua I cố định 1,0  c Có: EAM  KDC , AME  DKC  DMC  Vậy hai tam giác AEM DCK đồng dạng  AM DK  ME KC Xét hai tam giác KDB KCA có KCA  KDB , KAC  KBD  Bài c 2,5đ hai tam giác KDB KCA đồng dạng  DK DB  KC CA BD.EM AM DB    CA  số AM ME CA BD.EM Vậy không phụ thuộc vào vị trí D cung AC AM 0,5 1,0 1,0 Vậy A  x   14 x  15x  x  ( x  1)(1  15x) A  3x  9( x  1)(1  15x) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 0,5 0,5 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bài 2,0đ với 1  x  có 9( x  1)   15x  15 Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số 9( x  1)  15x không âm Có 9( x  1)  (1  15 x) 9( x  1)(1  15 x)    3x A  3x   3x  A   A  Dấu “=” xảy 9( x  1)   15 x  24 x  8  x  Vây giá trị lớn A 0,25 0,5 0,25 1 1 đạt x  3 0,25 0,25 Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược cách giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán xác cho điểm tối đa Các cách giải khác cho điểm Tổ chấm trao đổi thống điểm chi tiết Có thể chia nhỏ điểm thành phần không 0,25 điểm phải thống tổ chấm Điểm toàn tổng số điểm toàn chấm, không làm tròn Hết W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM 2017 Môn thi: TOÁN - Bảng B Ngày thi: 03/03/2017 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 01 trang) Bài 1: (3,5 điểm) Cho biểu thức A  x 4 3 x x 2   x 5 x  x 4 x 1 (với x  0; x  16; x  1) c) Rút gọn biểu thức A d) Tìm giá trị x để A  Bài 2: (5,0 điểm) a) Giải phương trình: x2  x  x   4 x  y  xy  10 b) Giải hệ phương trình:   xy  x  y  7 Bài 3: (2,5 điểm) Tìm số tự nhiên n cho n thỏa mãn hai ba tính chất sau: 4) n bội số 5) n  số phương 6) n  số phương Bài 4: (7,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC Gọi A điểm cố định nửa đường tròn ( A  B; C ), D điểm chuyển động AC Hai đoạn thẳng BD AC cắt M, gọi K hình chiếu M BC a) Chứng minh M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADK b) Chứng minh BM BD  CM CA không đổi D di chuyển AC c) Khi D di chuyển AC ( D  C ), chứng minh đường thẳng DK qua điểm cố định Bài 5: (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức A  x   x  x với 1  x  -Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu máy tính cầm tay - Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh Chữ kí giám thị 1: .Chữ kí giám thị W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bài Sơ lược giải A Câu a 2,0 đ Bài 3,5đ  x 4  32 x  x 4 x 2 x 1  x  1 x    x  3 x  1   x     x  4 x  1 x  1 x  1 x   =  x  x     x 4 x 4 Điểm x 4 1,0  1,0 x 1 x 5 1   0 x 4 x 4 Có x   x 5 Nên   x    x    x  16 x 4 A 1 Câu b 1,5 đ 0,25 0,25  x2  x   x   x   0,5  x  1   x 1  x 1  x 1    0,5 0,25 x   x 1   0,5  x    x     x  x  Trường hợp 1: x   x  x    x   Câu a 2,5 đ 0,25 Kết hợp với điều kiện xác định tìm  x  16; x  (nếu không đủ kq  x  16; x  1thì không cho điểm bước ) x2  x  x   ( đkxđ x  1 )  Bài 5,0đ 0,5 0,5 hai vế không âm bình phương ta có x2 + 8x + 16 = x +  x2 + 7x + 15 =   72  4.15   phương trình vô nghiệm 1  x  Trường hợp 2:  x  x    (1)  x  x   x  (2) Pt(2)  x2  5x     (5)2  3.4  13   13  13 Phương trình (2) có hai nghiệm x1 = ; x2 = 2 0,5 Đối chiếu với điều kiện (1) ta thấy có nghiệm x2 = W: www.hoc247.net  13 thỏa mãn F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Vậy phương trình cho có nghiệm  13 4 x  y  xy  x  y    xy  x  y  7 1,0 (2 x  y )  2(2 x  y )   (1)  (2)  xy  x  y  7  y  2x   y  2x  Pt(1)   x  y  1 x  y  3    Câu b 2,5đ TH1: y  x  thay vào phương trình (2) ta có x2  x   (phương trình vô nghiệm) TH2: y  x  thay vào phương trình (2) ta có x2  3x   phương trình có hai nghiệm  x1   y1  1   x2   y2  2  1  Vậy hệ cho có hai nghiệm 1; 1  ; 2  2  0,25 0,5 0,5 0,25 Giả sử tìm n thỏa tc/1 ta chứng minh n không thỏa tc2;3 Bài 2,5đ n bội  n có chữ số tận 0,25 Vậy n + có chữ số tận n  có chữ số tận 0,5 Mà số phương có chữ số tận 0; 1;4; 5;6;9 Nên n+8 n  số phương  t/c sai (trái gt) Vậy tính chất sai; t/c 2; 0,5 Ta tìm n thỏa mãn tc 2,3 (cho hs 0,75đ làm phần mà không lập luận phần trên) n   p (p; k  N)  p2  k  11  ( p  k )( p  k )  11 n   k Đặt  0,25 Do p,k  N  p  k  N ; p  k  Z ; p  k  p  k ;  p  k  11  p   p  k 1 k  Kết hợp với (1)   Vậy n  28 (hs làm tập cách xét 3TH TH tc; phần 0,75đ) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 0,75 0,25 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai D A M B Câu a 2đ K O C I a Tứ giác MKCD nội tiếp  MDK  MCK 0,5 ADB  ACB (hai góc nội tiếp (O) chắn AB )  MDK  MDA hay DM phân giác tam giác ADK Tương tự chứng minh AM phân giác tam giác ADK Vậy M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADK Bài 7,0đ b Câu b 2,5đ Câu c 2,5đ Hai tam giác BMK BM BC    BM.BD  BK.BC BK BD Tương tự ta có CM.CA  CK.CB BCD 0,5 dạng 1,0 0,5  BM.BD  CM.CA  BK.BC  CK.BC  BC 0,5 Do BC không đổi, BM.BD  CM.CA không đổi D chuyển động cung AC 0,5 c Đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt DK I 0,5  AI MK  IAC  KMC 0,5 Lại có tứ giác MDCK nội tiếp  KMC  KDC 0,5 Vậy IAC  IDC  tứ giác ADCI nội tiếp hay I  đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC  I   O cố định, mà I  đường thẳng qua A cố định, vuông góc với BC cố định Vậy I cố định hay DK qua I cố định 1,0 A  x   x  5x  x  ( x  1)(1  5x) 0,5 có ( x  1)   5x  Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số ( x  1)  5x không âm Có ( x  1)  (1  x) ( x  1)(1  x)   1 2x A  2x   2x  A  W: www.hoc247.net đồng với 1  x  Bài 2,0đ 1,0 F: www.facebook.com/hoc247.net 0,25 0,5 0,25 T: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Dấu “=” xảy ( x  1)   5x  x   x  thỏa điều kiện 1  x  Vây giá trị lớn A đạt x  0,25 0,25 Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược cách giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán xác cho điểm tối đa Các cách giải khác cho điểm Tổ chấm trao đổi thống điểm chi tiết Có thể chia nhỏ điểm thành phần không 0,25 điểm phải thống tổ chấm Điểm toàn tổng số điểm toàn chấm, không làm tròn Hết W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 10 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Website Hoc247.vn cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng I Luyện Thi Online Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90% - Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng - H2 khóa tảng kiến thức luyên thi môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - H99 khóa kỹ làm luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội II Lớp Học Ảo VCLASS Học Online lớpvàOffline - Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh không phảinhư đưaHọc đónởcon học - Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên - Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn - Mỗi lớp từ đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, hỗ trợ kịp thời đảm bảo chất lượng học tập Các chương trình VCLASS: - Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia - Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn - Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao, Toán Chuyên Toán Tiếng Anh danh cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, III Uber Toán Học Học Toán Gia Sư Kèm Online - Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán Giảng viên ĐH Day kèm Toán câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,… - Học sinh lựa chọn GV yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi phù hợp - Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS PH đánh giá lực khách quan qua kiểm tra độc lập - Tiết kiệm chi phí thời gian hoc linh động giải pháp mời gia sư đến nhà W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Trang | 11 ... Tấn - Hoc Toán Nâng Cao /Toán Chuyên /Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao, Toán Chuyên Toán Tiếng Anh danh cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, III Uber Toán Học Học Toán Gia Sư Kèm... 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM 2017 Môn thi: TOÁN - Bảng B Ngày thi: ... Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia - Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên