SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH PHÚ YÊN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2018 - 2019 Mơn: TỐN Ngày thi: 28/3/2019 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1.(3,50 điểm) Giải biện luận bất phương trình sau theo tham số m: x mx m x mx m m với m Câu 2.(3,50 điểm) Cho bốn số thực p, q, m, n thỏa mãn hệ thức q n p m pn qm Chứng minh hai phương trình x px q x mx n có nghiệm phân biệt nghiệm chúng nằm xen kẽ biểu diễn trục số Câu 3.(4,00 điểm) Cho tam giác ABC có cạnh BC = a, AC = b, AB = c Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác a) Chứng minh a.IA2+b.IB2+c.IC2 = abc b) Chứng minh a bc IA2 b ca IB c ab IC 6abc Hãy trường hợp xảy dấu đẳng thức Câu 4.(4,00 điểm) Cho x, y, z số thực thỏa mãn x y z a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P xy yz 2019 zx b) Tìm giá trị lớn biểu thức Q xy yz zx Câu 5.(3,00 điểm) Cho dãy số thực xn thỏa mãn điều kiện 0 xn , n 1, 2,3, x x n n1 1 , n 1, 2,3, a) Chứng minh xn 2n b) Tìm giới hạn dãy xn Câu 6.(2,00 điểm) Cho hàm số f liên tục , thỏa mãn i) f 2020 2019 ; ii) f x f x 1, x , kí hiệu f ( x) f Hãy tính f 2018 f f f x -Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ………………………………………… Số báo danh: ………… … ……….… Chữ kí giám thị 1: …….……………… …… Chữ kí giám thị 2: ………………………………… HƯỚNG DẪN CHẤM THI (Gồm có trang) Hướng dẫn chung - Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án mà cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định - Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm chấm phải bảo đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm thống thực Hội đồng chấm thi - Điểm thi khơng làm tròn số Đáp án thang điểm CÂU ĐÁP ÁN Giải biện luận bất phương trình sau theo m: ĐIỂM 3,50 đ x mx m x mx m m với m mx m x mx m Điều kiện: x m (1) x mx m m 0,50 đ t 4m Đặt t mx m ; t Thì x ; 4m t 4m x mx m t 4m t 2m t 4m x mx m t 4m t 2m Và 2 4m 4m t 2m ; m t 2m m 1,00 đ Khi bất phương trình cho là: t 2m t 2m 4m, m (2) 0,50 đ Vì m 0, t nên t 2m t 2m nên: (2) t 2m t 2m 4m t 2m 2m t , m t 2m t 2m Nghĩa mx m 2m m mx 2m m x 2m Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S m;2m 2 0,50 đ 1,00 đ Cho số thực p, q, m, n thỏa mãn hệ thức q n p m pn qm (1) 2 Chứng minh phương trình x px q (2) x mx n (3) có nghiệm phân biệt nghiệm chúng nằm xen kẽ biểu diễn trục số 2 Từ điều kiện q n p m pn qm suy p m 2 3,50 đ 0,50 đ Các phương trình (2) (3) có hệ số a = > nên parabol biểu diễn có bề lõm quay lên Hai pt có nghiệm phân biệt nằm xen kẽ biểu diễn trục số 2 đồ thị hàm số y x px q (C ) y x mx n (C ') cắt điểm nằm trục hoành (4) Hoành độ giao điểm (C) (C’) nghiệm phương trình x px q x mx n x nq pm 0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ Tung độ giao điểm (C) (C’) nq nq y p q pm pm n q 2 p n q p m q p m 2 p m n q 2 p m pn qm (do (3)) p m 1,00 đ Vậy (4) chứng minh, nên khẳng định đề chứng minh xong 0,50 đ 4,00 đ 2,50 đ a) Chứng minh a.IA2+b.IB2+c.IC2 = abc Giả sử đường tròn (I) tiếp xúc với BC, CA, AB theo thứ tự D, E, F Gọi K điểm đối xứng I qua AC A S AFIE S AIK AI AK IA2 Ta có S ABC S ABC AB AC bc Tương tự Suy S BDIF IB SCEID IC ; S ABC ca S ABC ab K 0,50 đ E F 0,50 đ I B D C IA2 IB IC S AFIE S BIDF SCEID 1 bc ca ab S ABC 0,50 đ 0,50 đ Suy a.IA2+b.IB2+c.IC2 = abc 0,50 đ b) Chứng minh 1,50 đ a bc IA2 b ca IB c ab IC 6abc Áp dụng bất đẳng thức Bunhicovski ta có a bc IA2 b ca IB c ab IC 1 1 a bc IA2 b ca IB c ab IC 3abc aIA2 bIB cIC 6abc Dễ thấy a b c hay tam giác ABC dấu đẳng thức xảy 0,50 đ Cho x, y, z số thực thỏa mãn x y z a) Tìm giá trị nhỏ P xy yz 2019 zx Ta có: x y z x y z xy yz zx xy yz zx 0,50 đ 0,50 đ 4,00 đ 2,00 đ 0,50 đ Suy xy yz zx Dấu đẳng thức xảy x y z Do z2 x2 2018 1 2019 P xy yz zx 2018zx 2018zx 2018 2 2 x2 y z x y z y , x z Dấu “=” xảy x z z x2 2019 y , x z Vậy P 2 b) Tìm giá trị lớn biểu thức Q xy yz zx 0,50 đ 1,00 đ 2,00 đ Xét giá trị dương x, y, z Vì x y z nên ta đặt 2 y cos x sin cos , với , 0; 2 z sin sin 0,50 đ Thế Q y x z xz cos sin cos sin 2sin sin cos Vì , 0; nên Q cos sin sin (1) 2 Dấu “=” xảy cos sin Biến đổi (1) với dạng cos 2 1 1 Q sin 2 sin 2 cos 2 2 2 2 1 sin 2 Dấu “=” xảy sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 3 sin 3 3 Suy ,x z ; tức y 12 3 cos Vậy max Q 0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ 1 3 3 y ,x z 12 0 xn Cho dãy số thực xn thỏa mãn điều kiện , n 1, 2,3, x x n n1 1 , n 1, 2,3, a) Chứng minh xn 2n 3,00 đ b) Tìm giới hạn dãy xn a) Chứng minh xn 1 , n 1, 2,3, 2n 1,50 đ Ta chứng minh quy nạp: + Với n = 1, bất đẳng thức 0,50 đ + Giả sử bất đẳng thức với n = k 1 1 k 1 xk 2k 2k 2k 2k k 1 Lại có: xk 1 1 xk xk 1 4 k 1 k 1 2 k 1 Vì xk Vậy bất đẳng với n = k +1 Vậy bất đẳng thức với n N b) Tìm giới hạn dãy xn 0,50 đ 0,50 đ * 1,50 đ Kết hợp với (2) ta có: xn 1 xn xn1 1 xn xn xn1 , dãy tăng Hơn nữa, theo (1) dãy bị chặn, nên tồn giới hạn lim xn x0 1 Lấy giới hạn bất đẳng thức xn1 1 xn ta x0 1 x0 x0 4 Vậy lim xn Cho hàm số f liên tục , thỏa mãn i) f 2020 2019 ; Ta có xn 1 xn 1 xn ii) f x f x 1, x , f ( x ) f Hãy tính f 2018 Kí hiệu f ( x) f f f f x 0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ 2,00 đ f x , f ( x) f f f x Gọi D f tập giá trị hàm số f x Df Từ (i) suy 2019 D f ; từ f x f4 x 1,x f4 2020 2019 xf x 1, x D f ;2019 D f nên f3 x , x D ; x 2019 Suy f đơn ánh D f liên tục nên f nghịch biến D Giả sử tồn x0 D cho f x0 (1) Do hàm nghịch biến nên x0 Do f liên tục D : 0,50 đ 0,50 đ 1 f x0 f (2) x0 1 1 1 f3 x0 f suy f f x0 (3) Và x0 x0 x0 x0 , mâu thuẫn với Từ (2) (3) suy x0 f x0 hay f x0 f x0 x0 0,50 đ (1) Tương tự, không tồn x0 D cho f x0 x0 1 Vậy f x , x D Do 2018 D nên suy f 2018 x 2018 0,50 đ