SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ YÊN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2017-2018 MƠN TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút 2 2 2 Câu Tính giá trị P 2 4 1 1 2 2 2017 x 2017 x x 2018 x 2018 Câu Giải phương trình 2 2017 x 2017 x 2018 x x 2018 13 37 Câu Cho a, b, c >0 Chứng mnh rằng: a) a a a 2b a b b) a b c 1 a 2b b 2c c 2a Câu Cho tam giác ABC vuông A Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, dựng hai tia Bx, Cy vng góc với cạnh BC Trên tia Bx lấy điểm D cho BD = BA, tia Cy lấy điểm E cho CE = CA Gọi G giao điểm BE CD, K L giao điểm AD, AE với cạnh BC a) Chứng minh CA = CK BA = BL b) Đường thẳng qua G song song với BC cắt AD, AE theo thứ tự I, J Gọi H hình chiếu vng góc G lên BC Chứng minh tam giác IHJ vuông cân Câu Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm M chuyển động cạnh BC (M khác B, C) Gọi H, K hình chiếu vng góc M lên AB, AC Vẽ đường tròn (H;HM) (K;KM) a) Chứng minh hai đường tròn (H) (K) cắt b) Gọi N giao điểm thứ hai hai đường tròn (H) (K) Chứng minh MN qua điểm cố định Câu Tìm số nguyên tố p cho 7p+1 lập phương số tự nhiên ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI PHÚ YÊN 2017-2018 Câu P 3 2 2 3 3 3 3 6 3 1 Câu a ab b 13 Đặt 2017 x a x 2018 b Ta có phương trình a ab b2 37 12a 25ab 12b 0 12a 16ab 9ab 12b 0 3a 4b 4a 3b 0 Xét 3a 4b 0 2017 x x 2018 0 x 2021 Xét 4a 3b 0 4(2017 x) 3(x 2018) 0 x 2014 Phương trình có tập nghiệm S 2014;2021 Câu a) Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có : a a a a 2b a.(a 2b) a b Dấu “=” xảy a a 2b b 0 vô lý Vậy a a a 2b a b b) Tương tự câu a ta có : a b c a b c a b c 1 a 2b b 2c c 2a a b b c c a a b c a b c a b c Câu x y D I E G B K L A J C a) Ta có BD = BA ABD cân nên BAD BDA Mà BAD KAC 900 BDA BKD BDA AKC KAC AKC ACK cân nên CA = CL Tương tự ABL cân nên BA = BL b) Áp dụng định lý Ta let hệ ta có: CH GE CE CA CK CK CH HK (Giả sử AB > AC) BH GB BD BA BL BL BH HL HK CE GC IK HK IK HI / /DL Suy hay HL BD GD ID HL ID Ta lại có BD = BL nên tam giác BDL vng cân BHI BLD 450 JIH BLD 450 450 IHJ vuông cân H Chứng minh tương tự ta có IJH Câu C E M K A H B N a) Ta có HM KM HK HK KM nên đường trịn (H) (K) ln cắt b) Ta có NHM NCB ;NMK NBC Do AKMH chữ nhật nên NHM NKM 900 NCB NBC 900 BNC 900 Vẽ hình vng ABEC ta có A, N, B, E, C thuộc đường tròn đường kính BC cố định Ta lại có NEB mà NCB NMH, NEB NHM , MH // EB nên ba NCB điểm N, M, E thẳng hàng Vậy MN qua điểm E cố định Câu Xét p = 7p 15 (loại) Xét p > p số nguyên tố lẻ nên 7p + số tự nhiên chẵn Đặt 7p 2k với k nguyên dương Khi 7p 2k 2k 1 4k 2k 1 Vì p số nguyên tố nên 2k 7 k 4 (thỏa mãn) p 73 4k 2k p TH1: 2k 1 k 1 (loại) p 1 4k 2k 7p TH2: 2k p 2k p 4k 2k 7 2k k 0 TH3: Vậy p = 73 thỏa mãn toán k 1 (loại) p 1