091 đề hsg toán 9 phú yên 2017 2018

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ YÊN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2017-2018 MƠN TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút 2 2 2  Câu Tính giá trị P  2 4 1 1 2 2  2017  x    2017  x   x  2018   x  2018 Câu Giải phương trình 2  2017  x    2017  x   2018  x    x  2018  13 37 Câu Cho a, b, c >0 Chứng mnh rằng: a) a a  a  2b a  b b) a b c   1 a  2b b  2c c  2a Câu Cho tam giác ABC vuông A Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, dựng hai tia Bx, Cy vng góc với cạnh BC Trên tia Bx lấy điểm D cho BD = BA, tia Cy lấy điểm E cho CE = CA Gọi G giao điểm BE CD, K L giao điểm AD, AE với cạnh BC a) Chứng minh CA = CK BA = BL b) Đường thẳng qua G song song với BC cắt AD, AE theo thứ tự I, J Gọi H hình chiếu vng góc G lên BC Chứng minh tam giác IHJ vuông cân Câu Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm M chuyển động cạnh BC (M khác B, C) Gọi H, K hình chiếu vng góc M lên AB, AC Vẽ đường tròn (H;HM) (K;KM) a) Chứng minh hai đường tròn (H) (K) cắt b) Gọi N giao điểm thứ hai hai đường tròn (H) (K) Chứng minh MN qua điểm cố định Câu Tìm số nguyên tố p cho 7p+1 lập phương số tự nhiên ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI PHÚ YÊN 2017-2018 Câu P    3 2 2   3 3 3         3  6  3 1 Câu a  ab  b 13  Đặt 2017  x a x  2018 b Ta có phương trình a  ab  b2 37  12a  25ab  12b 0  12a  16ab  9ab  12b 0   3a  4b   4a  3b  0 Xét 3a  4b 0   2017  x    x  2018  0  x 2021 Xét 4a  3b 0  4(2017  x)  3(x  2018) 0  x 2014 Phương trình có tập nghiệm S  2014;2021 Câu a) Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có : a a a   a  2b a.(a  2b) a  b Dấu “=” xảy a a  2b  b 0 vô lý Vậy a a  a  2b a  b b) Tương tự câu a ta có : a b c a b c a b c         1 a  2b b  2c c  2a a  b b  c c  a a  b  c a  b  c a  b  c Câu x y D I E G B K L A J C   a) Ta có BD = BA  ABD cân nên BAD BDA         Mà BAD  KAC 900 BDA  BKD BDA  AKC  KAC AKC  ACK cân nên CA = CL Tương tự ABL cân nên BA = BL b) Áp dụng định lý Ta let hệ ta có: CH GE CE CA CK CK  CH HK       (Giả sử AB > AC) BH GB BD BA BL BL  BH HL HK CE GC IK HK IK      HI / /DL Suy hay HL BD GD ID HL ID Ta lại có BD = BL nên tam giác BDL vng cân   BHI    BLD 450  JIH BLD 450  450  IHJ vuông cân H Chứng minh tương tự ta có IJH Câu C E M K A H B N a) Ta có HM  KM  HK  HK  KM nên đường trịn (H) (K) ln cắt     b) Ta có NHM NCB ;NMK NBC      Do AKMH chữ nhật nên NHM  NKM 900  NCB  NBC 900  BNC 900 Vẽ hình vng ABEC ta có A, N, B, E, C thuộc đường tròn đường kính BC cố định       Ta lại có NEB mà NCB NMH, NEB NHM , MH // EB nên ba NCB điểm N, M, E thẳng hàng Vậy MN qua điểm E cố định Câu Xét p =  7p  15 (loại) Xét p > p số nguyên tố lẻ nên 7p + số tự nhiên chẵn Đặt 7p   2k  với k nguyên dương Khi 7p  2k    2k  1  4k  2k  1 Vì p số nguyên tố nên 2k  7  k 4  (thỏa mãn)  p 73  4k  2k  p TH1:  2k  1  k 1  (loại)  p 1  4k  2k  7p TH2:  2k  p 2k  p    4k  2k  7 2k  k  0 TH3:  Vậy p = 73 thỏa mãn toán  k 1 (loại)   p 1