PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HƯNG YÊN ĐỀ CHÍNH THỨC (Có 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2021-2022 Môn thi : Toán Thời gian làm : 150 phút Ngày thi : 20/01/2022 Bài (4,0 điểm) x 1 x 5 A x x x x x a) Cho biểu thức với x 0, x 1 Rút gọn biểu thức A tìm tất giá trị x để A 2 b) Tìm hệ số a cho đường thẳng y ax 1; y 1; y 5 trục tung tạo thành hình thang có diện tích (đơn vị diện tích) Bài (4,0 điểm) a) Giải phương trình : x x 11x 32 y xy 0 2 b) Giải hệ phương trình : 4 x y y x 0 Bài (4,0 điểm) 3 a) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x y 2022 b) Tìm số hữu tỉ x để x x số phương Bài (6,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi C điểm nằm nửa đường tròn O C A, C B Gọi H hình chiếu vng góc C AB, D điểm đối xứng với A qua C, I trung điểm CH , J trung điểm DH a) Chứng minh CIJ CBH b) Chứng minh CJH ∽ HIB c) Gọi E giao điểm HD BI Chứng minh HE.HD HC Bài (2,0 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xy yz zx 674 x y z Chứng minh x yz 2022 y zx 2022 z xy 2022 x y z ĐÁP ÁN Bài (4,0 điểm) x 1 x 5 A x x x x x c) Cho biểu thức với x 0, x 1 Rút gọn biểu thức A tìm tất giá trị x để A 2 x 1 x 5 A x x x x x x x 1 x x x 1 x x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x 1 x A 2 x 1 0 x x x 5 x 1 x 0 1 x x 0 x x 3 x 1 x d) Tìm hệ số a cho đường thẳng y ax 1; y 1; y 5 trục tung tạo thành hình thang có diện tích (đơn vị diện tích) Ký hiệu hình thang ABCD 6 2 2 C ;5 , D ;1 ; BC ; AD ; S ABCD : 8 a a a a Tính a a a 2(tmdk a 0) Vậy phương trình đường thẳng cần tìm y 2 x Bài (4,0 điểm) c) Giải phương trình : x x 11x 32 x x 11x 32 x x 11x 32 x 0 x 10 x 25 x x 0 x 5 x 0 * Do x 0; x 0 x x 0 x 5(tmdk ) x 0 d) Giải hệ phương trình : y xy 0 2 4 x y y x 0 y xy 0 2 4 x y y x 0 y xy 2 1 2 4 x y y x 0 Thay (1) vào (2) ta có : x y y x y xy 0 x y x xy 0 x x 1 y x 1 0 x 1 x y 0 y 1 x y y 2 y 2 2 x y y y 2(VL) Vậy ; 1 ; ; x; y Bài (4,0 điểm) 3 c) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x y 2022 x y 2022 x3 2022 y x 2022 x 12 x 10 11 12 y ktm ktm ktm ktm ktm ktm ktm ktm ktm ktm ktm ktm Vậy khơng có x,y nguyên thỏa mãn d) Tìm số hữu tỉ x để x x số phương Đặt x p q với p,q nguyên, p, q 1, q p p x x y y * q q Từ Suy p q p 6q y q Điều chứng tỏ p, q có ước số chung Vì p, q 1 nên q 1 Vậy x p Bài tốn trở thành tìm nghiệm ngun phương trình p2 p y2 2 Để phương trình p p y 0 có nghiệm đủ 1 y k p nguyên điều kiện cần số phương lẻ (k nguyên dương) 2 Vì y k y k y k 23 số nguyên tố y k y k Nên y k 23, y k 1 Vậy y 12, k 11 x p 5; Bài (6,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi C điểm nằm nửa đường tròn O C A, C B Gọi H hình chiếu vng góc C AB, D điểm đối xứng với A qua C, I trung điểm CH , J trung điểm DH D C J E I H A O B d) Chứng minh CIJ CBH Vì ABC nội tiếp đường trịn đường kính AB nên AC BC BC CD 1 Mà IJ / / CD Từ (1) (2) IJ BC CIJ CBH (cùng phụ với HCB ) e) Chứng minh CJH ∽ HIB CHB vng có tan CBH CH 3 BH Mà CJ / / AB, CH AB( gt ) CJ CH CIJ vng có tan CIJ CJ CJ CI HI CI HI CH CJ HB HI Xét CJH HIB có : CH CJ HCJ BHI 90 ; HB HI CJH ∽ HIB (cgc) 3 f) Gọi E giao điểm HD BI Chứng minh HE.HD HC Ta có : HEI 90 HEI ∽ HCJ HE HI HC HJ HE.HJ HC.HI 1 HJ HD, HI HC HE HD HC 2 Mà Bài (2,0 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xy yz zx 674 x y z Chứng minh x yz 2022 y zx 2022 z xy 2022 x y z Vì xy yz zx 674 x x yz 2022 x x xy zx 1348 Tương tự : y y zx 2022 ; z z xy 2022 a b2 c2 a b c xyz Áp dụng bất đằng thức x y z xyz yxz zxy 2 x x yz 2022 y y zx 2022 z z xy 2022 x xy xz y xy yz z xz yz x x yz 2022 y y zx 2022 z z xy 2022 x y z xy xz yz x y z xyz 2022 x y z x y z xyz x y xy x y z 3xyz x y z x y x y z z 3xy x y z x y z x y z xy yz zx x y z xyz 2022 x y z x y z x y z xy yz zx 3.674 x y z x y z xy yz zx xy yz zx x y z x y z x y z x VT VT 1 y z xy xz yz x y z x y z x y z x y z 1