070 đề hsg toán 9 hưng yên 2014 2015

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC : 2014 - 2015 Mơn thi: Tốn lớp Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề Ngày thi 19 tháng 03 năm 2015 _ ĐỀ CHÍNH THỨC Câu I (3,0 điểm) Cho x     10 Tính giá trị biểu thức 1 A  x  x3  x  x    2015 Câu II (4,0 điểm) Cho Parabol  P  : y x đường thẳng  d  : y mx  (m tham số thực) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB  10 Tìm tất nghiệm nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình x  xy  y  x  y  40 0 Câu III (5,0 điểm) Giải phương trình x3  x 40  x2  x3  y  15 y  14 3  y  x  Giải hệ phương trình  x  xy  15 x    Câu IV (6,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB 5a AD 2a (a > 0) M điểm cạnh AB (M khác A khác B) Gọi H, K hình chiếu vng góc M AC DC Chứng minh điểm B, C, K, H, M thuộc đường trịn Xác định tâm O đường trịn AH MK Tính theo a MH Khi AK tiếp tuyến đường trịn (O) Tính AM theo a Câu V (2,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  ac  bc 3 Tìm giá trị nhỏ 19a  19b  19c    biểu thức T   b2  c2  a2 HẾT - HƯỚNG DẪN CÁCH LÀM BÀI Câu I : x  2  3 42   1  2   10  2  1  3  3   2  1  3 2  1  2    31   3 3 1 2  Thay x  vào A ta có A  x  x3  x  x  1 2015    42  2 2  2015 12015 1 Câu II: Hoành độ giao điểm (P) (d) x mx   x  mx  0 Ta có  m  ( m   ) nên đồ thị hàm số (P) (d) cắt hai điểm phân biệt)  x1  x2 m  x1 x2  Theo hệ thức Viète ta có  Gọi A (x1; y1) B (x2; y2) giao điểm (P) (d) ta có: AB   x1  x2  2   y1  y2   10 2   x1  x2    x12  x2  10 2   x1  x2   x1 x2   x1  x2   x1  x2  10 2   x1  x2   x1 x2   x1  x2    x1  x2   x1 x2  10    m   m  m   10  m  5m  0  m  m  6m  0   m  1  m   0  m  0  m 1 Ta có x  xy  y  x  y  40 0  x  y  xy  x  y   x  xy  y 41 2 2   x  y  1   x  y  41   x  y  1   x  y  42  52  x  y  4  x 2    x  y 5  y 1 TH1:  x  y  5  x 0 TH2:  x  y 4   y 4 (loại)   Vậy nghiệm nguyên dương phương trình (2; 1) Câu III: ĐK:  x     x  x3 Ta có: 5 x 2  x 40  x  x   x 40   x  x    x  x   0   x3    x  0     x    x   x   x   x    x  x  x   x  20  x 0 2   3x  20 0 TH1: x    x 0 ĐK: x   x 4   x    x 20  x 2  x 2 TH2: x   x  3x  20 0  x   x 3x  20  x   x  9 x  120 x  400  13x  100 x  400 0 (vô nghiệm) Vậy phương trình có nghiệm x =  x3  y  15 y  14 3  y  x   1 Ta có:  x3  xy  15 x  0    Ở phương trình (1) ta có: x  y  15 y  14 3  y  x    x  x  y  15 y  y  14  x  x  y  y  12 y   y   x  x  y     y    x  y  (*) Từ (2) (*) ta có hệ phương trình: x  y x y      4 x  xy  15 x  0 4 x  x  x    15 x  0 x  y x  y     2 4 x  x  x  0 8 x  12 x  x  0   1 x    x  1      y    x   y    1    ; Vậy hệ phương trình có nghiệm   2   Câu IV:   Xét tứ giác MHCB ta có MHC MBC 90    MHC  MBC 180  Tứ giác MHCB nội tiếp đường trịn đường kính MC (1)   Xét tứ giác MKCB ta có MKC MBC 90    MKC  MBC 90  Tứ giác MKCB nội tiếp đường trịn đường kính MC (2) Từ (1) (2) suy năm điểm B, C, K, H, M thuộc đường trịn đường kính MC  Tâm O trung điểm MC Xét ABC AHM có    chung MHM MBC 90 CAB  ABC đồng dạng AHM  AB BC mà MK = BC  AH MH AB MK AH MK mà AB 5a   AB  AH MH MH AH MK  5a MH  Giả sử AK tiếp tuyến (O) Dễ dàng ta có tứ giác MKCB hình chữ nhật nên O nằm đoạn BK Xét ABK vuông K đường cao KM ta có AM MB MK  AM  AB  AM   AD  AM 5a  AM 4a  AM  5a AM  4a 0  AM  4a AM  a AM  4a 0  AM  AM  4a   a  AM  4a  0   AM  a   AM  4a  0  AM a   AM 4a Vậy AM= 4a AM = a Câu V: Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có ab  ac  bc  a  b  c   b  a  c   a  b  c 3  a  b  c   ab  ac  bc  3  3   a  b  c  9  a  b  c 3 19a  19b  19c  b c   a 1 b 1 c 1   a T   16     3   2 2 2  2  1 b 1 c 1 a  1 b 1 c 1 a   1 b 1 c 1 a  a b c a 1 b 1 c 1   B   Đặt A  2 1 b 1 c 1 a  b2  c2  a2 Ta lại có:  a b c  a 1 b 1  ab bc ca ab bc ac          a) a  b  c  A a  b  c   2  2 2 2  1 b 1 c 1 a  1 b 1 c 1 a  A a  b  c  (*) c 1    b) a  b  c   B a  b  c    2   1 b 1 c 1 a  a  ab  a    b b  bc  b    c c  a 2c  c    a    b2  c2 1 a2 ab  b bc  c a 2c  a a  b  c       b2  c2  a2 2 a b c  B a  b  c    2 a b c  B  (**) 2  Từ (*) (**) ta có: 3   a bc  16 A  3B 16  a  b  c       2 2   35 39  T   a  b  c   33 2 Vậy giá trị nhỏ T 33 Dấu “=” xảy a b c 1