PHÒNG GD&ĐT YÊN THÀNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2021-2022 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi : TỐN Thời gian : 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu (4,0 điểm) 1 a x , b y ; c xy x y xy Tính giá trị biểu thức : a) Cho 2 M a b c abc b) Tìm số nguyên x để B x x x x số phương Câu (5,0 điểm) 1) Giải phương trình : a ) x x 4 x b) x x 2 x 2) Cho đa thức P x x ax b có nghiệm 3(a, b số hữu tỉ) Chứng minh P x chia hết co đa thức x x 2 2 Câu (3,0 điểm) Cho số thực x, y, z không âm thỏa mãn x y z 1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A x y y z z x Câu (6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB vẽ tia Ax, By vuông góc với AB Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB Trên tia Ax lấy điểm D, By lấy điểm C cho AD BC CID 90 Hai đường thẳng AB CD cắt E Từ I kẻ IH CD H CD Chứng minh : a ) DH IC CH ID b) DI tia phân giác ADC c) AH AE BH BE Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có AB 1, AC 2 Có điểm thuộc tam giác ABC (nằm nằm cạnh tam giác ABC ) Chứng minh tồn hai điểm có khoảng cách khơng vượt q ĐÁP ÁN Câu (4,0 điểm) 1 a x , b y ; c xy x y xy Tính giá trị biểu thức : c) Cho 2 M a b c abc 1 a x 2; b y 2; c x y 2 x y x y 1 x y x y ab x y xy c x y xy y x y x x abc c y c xy xy x y y c c c x y x x y 1 c x y y x y x a b c A a b c abc 4 d) Tìm số nguyên x để B x x x x số phương Đặt x x3 x x y 1 với y số tự nhiên ta có : y x x x x x 3 x x x x 3 2 a2 y2 a 2 Ta chứng minh 2 với a x x Thật vậy: 11 y a x x x 0, 2 2 suy y a 2 y x x x x x x 2 x x x x 4 x x x x 3 a 2 2 1 3 x x 3 x y a 2 2 Do 2 a y a y a 1 x x x x 3 x x 1 2 x 1 x x x x x x x x x x 0 (tm) x x 2;1 Vậy giá tri nguyên x cần tìm Câu (5,0 điểm) 3) Giải phương trình : a ) x x 4 x x 3 x x 16 x 3 x x 64 x 16 x 16 x 16 x 48 x x3 17 x 32 x 16 0 x 1(tmdk ) b) x x 2 x x 1, x 5 x 1 1 2x 5 x x 1 3x 5 x 3x 5 VT 0, VP 0 x 5 x x x 1 x 10 x 25 9 x 30 x 25 x 0( ktm) x 18 x 45 x 0 x 3(tm) x 15(ktm) Vậy x 3 3 4) Cho đa thức P x x ax b có nghiệm 3(a, b số hữu tỉ) Chứng minh P x chia hết cho đa thức x x Vì x 1 nghiệm P(x) nên P x x ax b , nên : 1 3 a b 0 10 a b 0 10 a b a 0 Mà a, b , I nên : 10 a b 0 6 a 0 a P( x) x3 x b Ta có : P x x x x x x Vậy 2 Câu (3,0 điểm) Cho số thực x, y, z không âm thỏa mãn x y z 1 Tìm P ( x) x x ( dfcm) giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A x y y z z x A x y yz zx Áp dụng bất đẳng thức Bunhia copxki , ta có : x y yz 1 x y y z z x z x 6 x y z 1 x y yz zx 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : x y z 12 12 12 x y z 3.1 3 x y z Từ (1) (2) x y y z z x 6 A Vậy Max A x y z Câu (6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB vẽ tia Ax, By vuông góc với AB Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB Trên tia Ax lấy điểm D, By lấy điểm C cho AD BC CID 90 Hai đường thẳng AB CD cắt E Từ I kẻ IH CD H CD y x C H D A Chứng minh : I B E a ) DH IC CH ID Xét DIC vuông I, đường cao IH Theo hệ thức cạnh – góc , ta có : DI DC DH DC DI DH 2 2 CH DC IC DC IC DI IC DH IC CH DI CH DH CH b) DI tia phân giác ADC Gọi K giao điểm CI DA Chứng minh IAK IBC ( g c.g ) IK IC mà DI CK DKC cân tai D nên DI phân giác ADC c) AH AE BH BE Chứng minh tứ giác ADHI , BCHI nội tiếp AE AD AD BE BC AK (Vì AKBC hình bình hành ) AD ID Tương tự câu a, AC IK HE ID ID ID AH BE IK IC mà IC BH (do AHB ∽ DIC ( g g )) dfcm Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A có AB 1, AC 2 Có điểm thuộc tam giác ABC (nằm nằm cạnh tam giác ABC ) Chứng minh tồn hai điểm có khoảng cách không vượt B H P A I M C Kẻ AH BC BH AB 1.M trung điểm BC HM MA MC 1 Kẻ HI AC , MP HC Có điểm mà có tam giác: AHB, AHI , IHM , HPM , MPC nên có tồn tam giác có chứa điểm trên, gọi C, D Lại có : RAHB 2 RIMH 2 RMPH 2 RMPC 1; RAHI Với R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác Trong đường trịn đường kính dây cung lớn nên CD 2 R 1 Vậy tồn tai hai điểm có khoảng cách khơng vượt q