SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH YÊN BÁI ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 2021-2022 Mơn thi : TỐN Thời gian : 150 phút (khơng kể giao đề) Ngày thi : 02/4/2022 Câu (4,0 điểm) Cho x y số thực thỏa mãn x y xy Tìm giá trị biểu thức P x3 y Cho a b số thực dương thỏa mãn minh a b Câu (3,0 điểm) a 1 1 b a b a b b a Chứng Giải phương trình : Cho đường thẳng d : y mx m 1, với m tham số thực m 0 a) Đường thẳng d cắt hai trục Ox, Oy A B Tìm tọa độ A B theo m b) Tìm tất giá trị m để đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tâm O x 3 x 9x 1 bán kính Câu (7,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A AB BC nội tiếp đường tròn tâm O Kẻ đường cao AD BH tam giác ABC Gọi M trung điểm BH AM cắt đường tròn (O) N N A a) Chứng minh DM BH BMDN tứ giác nội tiếp Từ BN DN b) Tiếp tuyến B C đường tròn O cắt S SN cắt đường tròn (O) E E N Chứng minh SB SN SE ODNE tứ giác nội tiếp c) Chứng minh ba điểm C , O, E thẳng hàng d) Chứng minh đường thẳng SN qua trung điểm đoạn thẳng BD tan BAC Câu (3,0 điểm) Chứng minh n số phương n n chia hết cho 60 Tìm tất ba số nguyên tố p, q, r thỏa mãn q p q r Câu (3,0 điểm) Cho x, y, z độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh : x y z x y z x y z yz x zx y Trên bẩng cho dãy gồm n số nguyên dương n , n 3 xếp theo thứ tự tăng dần từ đến n Bạn An xóa ba số hạng liên tiếp dãy, sau tính tổng tất số cịn lại bảng nhận kết 2022 Tìm ba số mà bạn An xóa ĐÁP ÁN Câu (4,0 điểm) Cho x y số thực thỏa mãn x y xy Tìm giá trị biểu 3 thức P x y x y xy x y xy x 1 P x y 2 y 2 Cho a b số thực dương thỏa mãn Chứng minh a b a a 1 1 b a b a b b a 1 1 b a b a b b a 1 1 a b a b a b b a 1 1 1 1 a a b b a a b b a a b b b b a a a 1 b2 1 ab ab a b b a 1 1 a b a b a b b a a b ab ab ab a 1 b 1 ab 1 a 2b a b a 2b 2ab a b 2ab 0 a b 0 a b 0 a b Câu (3,0 điểm) x 3 x Giải phương trình : 9x x 2 Điều kiện PT x 1 3 9x 9x 2 x 9x x 1 x 1 x x x 1 9x x 1 x 9x 2 x 0 x 0 x (tmdk ) x 1 Cho đường thẳng d : y mx m 1, với m tham số thực m 0 c) Đường thẳng d cắt hai trục Ox, Oy A B Tìm tọa độ A B theo m y mx m 1 m 0 d cắt Ox A A a;0 1 m 1 m A ;0 m.a m a m Vậy m d cắt Oy B B 0; b b m.0 m b m Vậy B(0; m 1) d) Tìm tất giá trị m để đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính 1 R d tiếp xúc với đường tròn O, Tâm O (0;0) đến d Khoảng cách từ tâm O (0;0) đến PT d : Pt d : mx m y 0 mx y m 0 d O; d m.0 m 2 m 1 m m2 1 m 25 m2 2m 1 m 24m 50m 24 0 m 3 Câu (7,0 điểm) ABC cân A AB BC nội tiếp đường tròn tâm O Kẻ Cho tam giác đường cao AD BH tam giác ABC Gọi M trung điểm BH AM cắt đường tròn (O) N N A A E M O D B H C N S e) Chứng minh DM BH BMDN tứ giác nội tiếp Từ Có BN DN IN / / BC IN / / DC DM BH IH BC BMDN tứ giác nội tiếp (O) BN AC BN DN IC AB f) Tiếp tuyến B C đường tròn O cắt S SN cắt đường tròn (O) E E N Chứng minh SB SN SE ODNE tứ giác nội tiếp Xét SBN SNE có : S chung ; B N SBN ∽ SNE ( g.g ) SB SN SE ODNE tứ giác nội tiếp g) Chứng minh ba điểm C , O, E thẳng hàng Có SB SN SE ; AB AO O, C , E thẳng hàng h) Chứng minh đường thẳng SN qua trung điểm đoạn thẳng BD tan BAC 2 Có SN AO, AB AC AH BC AOB APD 180 tan BAC Câu (3,0 điểm) 3 Chứng minh n số phương n n chia hết cho 60 Khó Tìm tất ba số nguyên tố p, q, r thỏa mãn q p q r Vì q nên q lẻ Xét TH : r lẻ nên p chẵn nên p 2 q r 2 (vô nghiệm nguyên tố) Xét TH : r chẵn nên r 2 p q 2 Giả sử p 3k 1 k q 3k q 3 k q 13 (vô lý) Giả sử p 3k q 3k 3 k q 3 q 3 (do q nguyên tố) p 3 17 p; q; r 17;3; Vậy phương trình có nghiệm Câu (3,0 điểm) Cho x, y, z độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh : x y z x y z x y z yz x zx y 3 Gọi P biểu thức vế trái đặt S x y z x y z x y z x y z Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có P.P.S x y z x y z Vậy ta cần chứng minh S x yz xyz xyz x y z x y z x y z x y z x y z x y z xyz x y z xy x y yz y z zx z x Bất đẳng thức cuối nên ta có đpcm Đẳng thức xảy x y z Trên bảng cho dãy gồm n số nguyên dương n , n 3 xếp theo thứ tự tăng dần từ đến n Bạn An xóa ba số hạng liên tiếp dãy, sau tính tổng tất số cịn lại bảng nhận kết 2022 Tìm ba số mà bạn An xóa n n 1 k k k 2022 n n 1 n n 1 3 & 2022 n 65 2 Mà n nhỏ nên n 65 Vậy ba số cần tìm 40; 41; 42