ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2021-2022 Mơn thi: Tốn Ngày thi : 05/10/2021 Thời gian làm : 120 phút UBND HUYỆN KIM THÀNH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) a) Cho biểu thức x A x2 x x2 x x x x x Rút gọn B 1 A x (với 4) b) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c 5 a b c 3 Chứng minh Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình a b c a2 b2 c2 3x x a 2 b 2 c 2 x x x 1 x 3x x x3 3x y 0 x y2 x xy y x y b) Giải hệ phương trình Câu (2,0 điểm) 2 a) Tìm nghiệm nguyên phương trình x y xy 20 x 20 y 24 0 b) Tìm x, y, z thỏa mãn x y z Câu (3,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AA ', BB ', CC ' Trên BB ' lấy M, CC ' lấy N cho AMC ANB 90 a) Chứng minh AC ' C ∽ AB ' B AM AN b) Gọi S , S ' diện tích tam giác ABC tam giác A ' B ' C ' cos A cos B cos C 1 S' S Chứng minh 2) Cho tam giác nhọn ABC Gọi , hb , hc đường cao ma , mb , mc trung tuyến cạnh BC , CA, AB; R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Chứng minh : ma mb mc R r hb hc r Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c thỏa mãn 2ab 5bc 6ca 6abc Tìm giá trị nhỏ P ab 4ab 9ca b 2a 4c b a 4c ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) c) Cho biểu thức x A x2 x x2 x x x x x Rút gọn B 1 4) x x2 x x2 x A x x 1 x x 1 x A x (với x x x x 1 x x 1 x 1 x x x 1 x 1 x x x 2 x B 1 2.2 x x 1 2 x x 1 2 x1 1 1 x x 2 x 4 d) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c 5 Chứng minh Vì a b c 5 a b c 3 a b c a2 b2 c2 a b c 3 a 2 b 2 c 2 a 5 b c b 5 c a c 5 a b a b c a b c a2 b2 c2 a b c 6 a 2 b 2 c 2 VP(dfcm) Câu (2,0 điểm) 3x x c) Giải phương trình x x x 1 Ta nhận thấy Ta trục thức vế : x 3x x x x x 3 x x x x 3 x 2x x x x x 1 3x x x2 3x Dễ dàng nhận thấy x 2 nghiệm đuy phương trình x x3 3x y 0 x2 y x xy y x y d) Giải hệ phương trình Từ (2) suy x y 0 1 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có : 2 x y 12 12 x y x y x2 y2 x 2y x 2 y Dấu xảy x 2y 3 x xy y x y 4 Mặt khác, dễ dàng chứng minh x xy y x y x xy y x y 3 Thật vậy, (do vế 0) x xy y 3 x xy y x y 0 x, y ) (luôn với Dấu xảy x 2 y Từ (3) (4) suy x2 y x xy y x y Dấu xảy x 2 y Do x 2 y 0 (vì x y 0) Khi đó, (1) trở thành : x x x x 0 x 1 x3 x 1 0 x 1( x x 0) y x 1; y Vậy nghiệm hệ cho Câu (2,0 điểm) 2 c) Tìm nghiệm nguyên phương trình x y xy 20 x 20 y 24 0 (*) Ta có * x y xy 20 x y 24 0 Đặt x y a, xy b thu 5a 4b 20a 24 0 b x y 5a 20a 24 1 0 x y Mặt khác Từ (1) (2) : a2 xy 0 a 4b b 5a 20a 24 a a 5a 0 a a 3 0 a 3 4 Vì a nguyên nên a 2 a 3 x y 2 x 1 )a 2 b 1 xy 1 y 1 )a 3 b (ktm) x 1, y thỏa mãn yêu cầu Vậy d) Tìm x, y, z thỏa mãn x y z x y z x y z yz Đặt x y z a yz yz x y z a * yz yz a yz 4 yz a 2 Do 3yz Điều kéo theo y 3k , k Thay vào (*) 3k Ta thấy a k 1 a k 1 , số vô tỷ tích chúng số nguyên y 1, z 3 k 0 yz 3 x 4 y 3, z 1 Điều xảy x; y; z 4;1;3 ; 4;3;1 Vậy Câu (3,0 điểm) 3) Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AA ', BB ', CC ' Trên BB ' lấy M, CC ' lấy N cho AMC ANB 90 A B' C' N M B C A' c) Chứng minh AC ' C ∽ AB ' B AM AN Xét ABB ' ACC ' có Achung , B ' C ' 90 ABB ' ∽ ACC ' g g Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông: AM AB ' AC , AN AC ' AB 1 AB ' AC ' ABB ' ∽ ACC '(cmt ) AB ' AC AB AC ' Mà AB AC Từ (1) (2) suy AM AN d) Gọi S , S ' diện tích tam giác ABC tam giác A ' B ' C ' S' cos A cos B cos C 1 S Chứng minh Theo câu a, ta có AC ' C ∽ AB ' B S AC ' AC AB ' ; CAB chung AB 'C ' cos A AB ' AB S ABC AB S BA 'C ' BA ' SCA ' B ' CA ' cos C cos B; S ABC AC Tương tự : S ABC AB Do : S S BA 'C ' SCA ' B ' S ABC S A ' B 'C ' S' cos A cos B cos C AB ' C ' 1 S ABC S ABC S 4) Cho tam giác nhọn ABC Gọi , hb , hc đường cao ma , mb , mc trung tuyến cạnh BC , CA, AB; R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Chứng minh : ma mb mc R r hb hc r Gọi O I tâm đường tròn ngoại tiếp nội tiếp ABC A1 , B1 , C1 trung điểm BC , CA, AB Ta có : AA1 ma R OA1 ; BB1 mb R OB1 ; CC1 mc R OC1 1 OA OB OC1 ma mb mc R 1 hb hc hb hc hb hc 2S S S 2S S a b c r a b c hb hc r m m m Rr a b c hb hc r Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c thỏa mãn 2ab 5bc 6ca 6abc Tìm giá trị nhỏ ab 4ab 9ca b 2a 4c b a 4c 2ab 5bc 6ca 6abc 6 c a b P P ab 4bc 9ca a 2b 2c 4 2 b 2a 4c b a 9c 2ab.bc.ca Vậy Min P 2 a b c 1