026 đề hsg toán 9 như thanh 21 22

PHÒNG GD & ĐT NHƯ THANH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC MƠN VĂN HỐ LỚP CẤP HUYỆN Năm học 2021-2022 MƠN : TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (4,0 điểm) x x  x x 1    x 1 x  1   x      x x x x  x   x  x   1) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A A b) Tính giá trị biểu thức A x 3  2 Chứng minh A  với x thỏa mãn điều kiện xác định  1 1 1  1 a     b     c     2) Cho ba số thực a, b, c khác không thỏa mãn  b c   c a   a b   a  b   b  c   c  a  0 Chứng minh Câu (4,0 điểm) x  x  2  x  3  x  x   1) Giải phương trình ẩn x 2) Tìm cặp số  x; y  đồng thời thỏa mãn đẳng thức  1 ,   sau : x  xy  x  0  1 , x  x y  y  3 y   Câu (4,0 điểm) 2 1) Tìm số nguyên x y thỏa mãn x  xy  y  x  40 0 2 2) Tìm tất số nguyên tố p cho p 1 p 1 số nguyên tố Câu (6,0 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB 2 R EF dây cung di AB Gọi H giao điểm động nửa đường tròn cho E thuộc cung AF AF , BE , C giao điểm AE , BF , I giao điểm CH , AB EF  1) Chứng minh ACI ∽ ABE 2) Đường thẳng AF cắt tiếp tuyến B N, tiếp tuyến A, F (O) cắt M Chứng minh ON  MB 3) Xác định vị trí EF nửa đường trịn để tứ giác ABEF có diện tích lớn Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc 1 Hãy tìm giá trị nhỏ P biểu thức  a  1   b  1   c  1   a  1  b  1  c  1 ĐÁP ÁN Câu (4,0 điểm) x x  x x 1    x 1 x  1   x      x x x x  x  x1 x   3) Cho biểu thức c) Rút gọn biểu thức A x x  x x 1    x 1 x  1  x  0 A   x       x x x x  x  x1 x    x 1  A    x.    x x  x  x 1  x1 x 1 x    x   x 1  x 1 x  x  x 1  x  x  x  x  x 1  x  x 1  x x x1 x 1  x 2x  2x  x    x x x     x  1  x  1  x 1 x 1   a) Tính giá trị biểu thức A x 3  2 Chứng minh A  với x thỏa mãn điều kiện xác định Thay x 3  2  x   vào A ta có : A    32 2  1   1    2   10   2  2 1 1  x  0 Với x  0, x 1 ta có :  x  x 1   x  x 1  x  2x  x   x  2x  x   6(dfcm) x  1 1 1  1 a     b     c     4) Cho ba số thực a, b, c khác không thỏa mãn  b c   c a   a b   a  b   b  c   c  a  0 Chứng minh  1 1 1  1 a     b     c     b c c a  a b bc a c a b  a  b  c  0 bc ac ab  a  b  c   b  a  c   c  a  b   2abc 0  a  b  c   b c  c 2b  ab  ac  2abc 0  a  b  c   bc  b  c   a  b  c  2bc  0   b  c   a  bc   a  b  c  0   b  c   a  bc  ab  ac  0   b  c   a  b   a  c  0 Câu (4,0 điểm) x  x  2 x 3) Giải phương trình ẩn x  x  2  x  3  x  x      x   x 22 x  2 Dat t  x  3  x  x      x  3  x  x   dat u  t  u 2 tu   t u  0  t u  x   x  x   x   1 4) Tìm cặp số  x; y  đồng thời thỏa mãn đẳng thức  1 ,   sau : x  xy  x  0  1 , x  x y  y  3 y    2     x  y  x    3 y  y 0  x2   x2    x  y  y    y 0  x   y 0  x   y x   y     1  x  x  x    x  0  x  x  x  0  x   y 3 Vậy  x; y    1;3 Câu (4,0 điểm) 2 3) Tìm số nguyên x y thỏa mãn x  xy  y  x  40 0 x  xy  y  x  40 0  x  xy  y  x  x  41 2   x  y    x  1 41 1 Vì x, y  ; x  số nguyên lẻ 41 16  25 nên :  x  y  16   1    x  1 25  x  y 4   x  5 Giải hệ phương trình :  x  y 4  x  y   x  y 4  x  y  ;  II   ;( III )  ;  IV    x  5  x  5 2 x   2 x   I Tìm nghiệm phương trình cho :  x; y   3;1 ,  3;   ,   2;6  ,   2;   2 4) Tìm tất số nguyên tố p cho p 1 p 1 số nguyên tố • Khi p =  4p" + = 17 số nguyên tố p  = 25 không số nguyên tố Vậy p = khơng thoả • Khi p =  p  =37 số nguyên tố p  55 không số nguyên tố Vậy p = không thoả, • Khi p =  p  101 số nguyên tố p  151 số nguyên tố Vậy p = thoả mãn 2 • Khi p =  p  197;6 p  295 không số nguyên tố Vậy p = không thoả Đến dự đốn p = số nguyên tố thoả mãn Ta chứng minh dự đốn Ta có p  5 p   p  1  p  1 , p  5  p  1   p    p   Xét số nguyên liên tiếp  p   ,  p  1 , p,  p  1 ,  p   có số chia hết cho Số chia hết cho bốn số (p - 2), (p − 1),  p   ,  p  1 Thật vậy: Nếu  p  1 ( p  1) chia hết cho  p  1  p 1 5  p  chia hết cho mà p   (vô lý)  p  25  p    p   5   p  1 5 Nếu  p  25  mà p   (vô lý) Vậy p5 mà p nguyên tố nên p 5 Câu (6,0 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB 2 R EF dây cung AB Gọi H giao di động nửa đường tròn cho E thuộc cung AF điểm AF , BE , C giao điểm AE , BF , I giao điểm CH , AB EF  C M K E A N F H X I P O Y B 4) Chứng minh ACI ∽ ABE Ta có AEB AFB 90  BE , CF đường cao ABC mà H giao điểm EB, AF nên H trực tâm ABC  CH  AB I Xét ACI ABE có : AIC AEB 90 , CAB chung  ACI ∽ ABE ( g g ) 5) Đường thẳng AF cắt tiếp tuyến B N, tiếp tuyến A, F (O) cắt M Chứng minh ON  MB Xét MAO ABN có OAM NBA 90 OMA BAN (cùng phụ với NAM ) MA AB MA 2OB MA OB      AO BN BN AB BN AB  MAB ∽ OBN (c.g c )  NOB  MBA BMA  MBA 90  ON  MB 6) Xác định vị trí EF nửa đường trịn để tứ giác ABEF có diện tích lớn  MAO ∽ ABN ( g.g )  Dễ thấy OMN tam giác nên MN R Gọi K trung điểm EF  OK  EF  OK OE  KE R  R 3R R   OK  4 R2 S  OK EF  OMN có Dựng EX , FY vng góc với AB tai E, F EXFY hình thang vng Dựng KP  AB  P trung điểm XY  KP đường trung bình hình thang EXFY 1 S AOE  OA.EX  R.EY , S BOF  OB.FY 2 Mà S AEFB SOMN  S AOE  SOBF mà SOMN không đổi  S AEFB max   S AOE  SOBF  max 1 S AOE  SOBF  R  EX  FY   R.2 KP R.KP 2 Có : R R2  S AOE  S DBF  OKP vng có 2 Dấu xảy P O  DK  EF  EF / / AB KP KO  Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc 1 Hãy tìm giá trị P nhỏ biểu thức Đặt a  a  1   b  1   c  1   a  1  b  1  c  1 xy yz zx ;b  ;c  2 z x y , bất đẳng thức cần chứng minh trở thành z4 y4  2 2 x4  2  xy  z   zx  y   yz  x   2x2 y z2 1  xy  z   zx  y   yz  x  2 xy  z   x Để ý đến bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có  z4 2  xy  z  Suy z y  2   z2   y2  z2  z4 x  y2   y2  z2  2 x  Hoàn toàn tương tựu ta : 2  xy  z   zx  y   yz  x    z4 x  z   y2  z2   y4 x  y2   z2  y2   x4 y  x2   z  x2  x4  y  z   y  z  x2   z  x2  y  x  y   x2  z   y  z  Cũng theo đánh  xy  z   zx  y   yz  x   x 2 2  y2   y2  z2   z2  x2  2x2 y2 z 2x2 y2 z   xy  z   zx  y   yz  x   x  y   y  z   z  x  Khi ta có Do ta bất đẳng thức z4 2 y4  2 x4  2  x2 y z  xy  z   zx  y   yz  x   xy  z   zx  y   yz  x  x  y  z   y  z  x   z  x  y   2x y z  x y x z  y z  x  y  z   y  z  x   z  x  y   2x x y x z  y z  Ta cần chứng minh 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y2z2 1 Để ý ta phân tích : x  y  z   y  z  x   z  x  y   x y z  x  y   x  z   y  z  x4  y  z   y  z  x2   z  x2  y   2x2 y z x  y   x2  z   y  z  1 Do Như bất đẳng thức ban đầu chứng minh Dấu xảy a b c 1