Thông tin tài liệu
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: TỐN - BẢNG A Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (4,0 điểm) a) Cho số nguyên a1, a2, a3, , an Đặt S = a13 a 32 a 3n P a1 a a n Chứng minh rằng: S chia hết cho P chia hết cho b) Cho A = n n 2n 2n (với n N, n > 1) Chứng minh A khơng phải số phương Câu (4,5 điểm) a) Giải phương trình: 10 x3 3x x y 3 b) Giải hệ phương trình: y 3 z z 3 x Câu (4,5 điểm) 1 4 x y z 1 1 Chứng minh rằng: 2x+y+z x 2y z x y 2z b) Cho x > 0, y > 0, z > thỏa mãn x 2011 y 2011 z 2011 3 Tìm giá trị lớn biểu thức: M x y z a) Cho x > 0, y > 0, z > Câu (4,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), H trực tâm tam giác Gọi M điểm cung BC không chứa điểm A (M không trùng với B C) Gọi N P điểm đối xứng M qua đường thẳng AB AC a) Chứng minh ba điểm N, H, P thẳng hàng b) Khi BOC 1200 , xác định vị trí điểm M để 1 đạt giá trị nhỏ MB MC Câu (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, điểm I chuyển động cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B C) Đường thẳng vng góc với IB I cắt đường thẳng AC E, đường thẳng vng góc với IC I cắt đường thẳng AB F Chứng minh đường thẳng EF qua điểm cố định - - - Hết - - - Họ tên thí sinh: Số báo danh: SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN - Bảng A -Câu: Nội dung Với a Z a a (a 1)a(a 1) tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho Mà (2.3)=1 a a6 S P (a13 a1 ) (a 32 a ) (a 3n a n )6 Vậy S 6 P 6 n n 2n3 2n n (n 1)2 (n 2n 2) 2 với n N , n > n 2n (n 1) > (n 1) 2 n 2n n 2(n 1) < n 2 2 Vậy (n 1) < n 2n < n n 2n khơng số phương đpcm 10 x 3(x 2) Đặt 10 (x 1)(x x 1) 3(x 2) điều kiện x x a (a 0) x x b Ta có: 10ab = 3a 3b (b>0) a = 3b (a 3b)(3a-b) = b 3a Trường hợp1: a = 3b Ta có: x 3 x x (1) 9x 9x+9=x+1 9x 10x+8 = ' 25 9.8 < phương trình (1) vô nghiệm Trường hợp 2: b = 3a Ta có: x x x 9(x 1) x x x 5 33 (TM) x 5 33 (TM) x 10x-8 = Vậy phương trình có nghiệm x 5 33 x y 3 y 3 z z 3 x 3x-1 x thay vào (2) 3xy+3 = 8x+y (4) Từ (3) Từ (1) xy 3y 3xy+3 = 9y (5) Từ (4) (5) 8x+y = 9y x y z Chứng minh tương tự : y = z Từ x y z Thay vào (1) x x 3 x 3x+1 = x 3 hệ có nghiệm x y z 3 1 Áp dụng bất đẳng thức x y x y (với x,y > 0) 1 1 1 ( ) Ta có: 2x+y+z 2x y z ; y z 4y 4z 1 1 ( ) 2x+y+z 2x 4y 4z (1) Suy ra: 1 1 ( ) Tương tự: x+2y+z 4x 2y 4z (2) 1 1 ( ) x+y+2z 4x 4y 2z (3) Từ (1),(2),(3) 1 1 1 ( ) 2x+y+z x+2y+z x+y+2z x y z Dấu "=" xảy x y z 1 1 2x+y+z x+2y+z x+y+2z 2011 2011 Áp dụng bất đẳng thức CôSy cho x ,x 2009 số ta có: x 2011 x 2011 20112011 (x )2011 2009 2x 2011 2009 2011x Tương tự: 2y 2011 2009 2011y (2) 2z 2011 2009 2011z Từ (1), (2), (3) x y2 z (1) (3) 2(x 2011 y 2011 2011 z 2011 ) 3.2009 x y z 3 Giá trị lớn M x = y = z = A I E H N P O B F C M Gọi giao điểm BH với AC E AH với BC F, CH với AB I HECF tứ giác nội tiếp AHE ACB (1) Mà ACB AMB ( góc nội tiếp chắn cung) AMB ANB Ta có: (Do M, N đối xứng AB) (2) Từ (1), (2) AHBN tứ giác nội tiếp NAB NHB (*) Mà NAB MAB (Do M, N đối xứng qua AB (**) Từ (*), (**) NHB BAM Chứng minh tương tự: PHC MAC NHB PHC BAM MAC BAC Mà BAC IHE 180 NHB PHC BHC 1800 ( IHE BHC ) N, H, P thẳng hàng Gọi J điểm cung lớn BC BOC 1200 BJC Trên đoạn JM lấy K cho MK = MB JKB CMB J O K C B M BM MC JM 1 BM MC BM MC 1 BM MC JM JM lớn JM đường kính (O) lúc M điểm cung nhỏ BC 1 Vậy BM MC nhỏ M điểm cung nhỏ BC 0 + Khi BAC 90 BIC 90 F trùng với B, E trùng với C lúc EF đường kính EF qua điểm O cố định B F O K I A E C + Khi BAC < 900 BIC > 900 Gọi K điểm đối xứng I qua EF EAF EIF (cùng bù BIC ) EKF EIF (Do I K đối xứng qua EF) EKF EAF AKFE nội tiếp KAB KEF (cùng chắn KF ) (1) KEF IEF (Do K I đối xứng qua EF) (2) BIK IEF ( phụ KIE ) (3) KAB BIK Từ (1), (2), (3) AKBI tứ giác nội tiếp K (O) Mà EF đường trung trực KI E, O, F thẳng hàng + Khi BAC > 900 BIC < 900 chứng minh tương tự Vậy đường thẳng EF qua điểm O cố định - - - Hết - - -
Ngày đăng: 26/10/2023, 10:41
Xem thêm:
