035 đề hsg toán 9 nghệ an 21 22

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP CẤP THCS NĂM HỌC 2021-2022 Mơn thi: Tốn – bảng A Thời gian : 150 phút (không kể thời gian chép đề) Câu (3,0 điểm) a) Chứng minh với số ngun n khơng chia hết cho n  chia hết cho 4 4 b) Tìm tất số nguyên tố a, b, c, d , e thỏa mãn a  b  c  d  e abcde 2 c) Tìm số nguyên dương a, b thỏa mãn a  ab  1 a  b b  ab  1 b  a Câu (7,0 điểm) a) Giải phương trình :  x  1 x    x   x  x  x  12 b) Giải hệ phương trình 2  x  y  3xy  x  y 0   x  4 y Câu (1,0 điểm) Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a  b  c 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 1  2 2 a  b b  c c  a2 Câu (8,0 điểm) Cho đường tròn  O  dây cung BC cố định (BC khác đường kính) Điểm A thuộc cung lớn BC cho tam giác ABC nhọn AB  AC Đường tròn  I  nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC , AB D, E Đường thẳng AD cắt đường tròn  I  điểm thứ hai M , BM cắt đường tròn  I  điểm thứ hai Q; BI cắt DE P a) Chứng minh tứ giác IPQM nội tiếp b) Chứng minh BME DMP c) Đường tròn qua C tiếp xúc với AI I cắt BC H cắt (O) điểm thứ hai K Chứng minh A di động (O) đường thẳng HK ln qua điểm cố định Câu (1,0 điểm) Trong hoạt động ngoại khóa có 20 giáo viên 80 học sinh đến từ nhiều nơi tham gia Biết giáo viên quen với 65 người học sinh quen với tối đa 12 người (Quan hệ quen xem có tính chiều: Người A quen người B người B quen người A) Ban tổ chức xếp họ thành 41 nhóm Hỏi ban tổ chức xếp cho nhóm có người quen khơng? Vì sao? ĐÁP ÁN Câu (3,0 điểm) d) Chứng minh với số nguyên n không chia hết cho n  chia hết cho Ta có : n   n  1  n  1  n  1  n  1  n  1  n    n     n  1  n  1 Vì n  2; n  1; n; n  1; n  số nguyên liên tiếp nên phải có số chia hết cho Mà n không chia hết tồn số chia hết cho n Từ ta có   1 5 4 4 e) Tìm tất số nguyên tố a, b, c, d , e thỏa mãn a  b  c  d  e abcde Theo câu a, với p số nguyên tố khác p 1 mod 5 Gọi X số số số a, b, c, d , e ta xét trường hợp sau : *Nếu X 0  VT  1 1     5  mod  , VP không chia hết cho (mâu thuẫn) Nếu X 5  a b c d e 5(tm) Nếu  X 4 VP chia hết cho 5, VT 5  X † 0(mod 5) Ta có mâu thuẫn Vậy số nguyên tố thỏa đề  a, b, c, d , e   5,5,5,5,5  2 f) Tìm số nguyên dương a, b thỏa mãn a  ab  1 a  b b  ab  1 b  a Ta biến đổi giả thiết sau : a  b | a  ab  1  a  b | b  a  b   a  ab  1 b  a Tương tự b  a | b  ab  1  a  b  a  a  b, a  b b  a Ta xét hai trường hợp sau:  a  b b  a  a  b  a  b 0   a  b   a  b  1 0  b a  1(tm )  2 2  a  b a  b  a a  a a  n  b  a (ktm ) Kết luận, tất cặp (a,b) thỏa mãn  t , t  1 với t số nguyên dương Câu (7,0 điểm) c) Giải phương trình :  x  1 x    x   x  x  x  12 ĐKXĐ: x  Phương trình cho tương đương với :  x  1   x     x  6   x   x  x  x 1 x6  x  2   x    x    x   x2 2 x 7 7  x 2(tmdk )   x 1 x 6    x  0(*) x 7 7  x   x 1 x2 x2 (*)       0 x2 2 x2 2 x2 2 x 2 x 6  VT (*)    x   VP  *  PTVN 2 Vậy có nghiệm x 2  x 6 x 6  x 7 3  x  y  3xy  x  y 0  1  x  4 y   d) Giải hệ phương trình   1   x  y   x  y   x  y 0   x  y   x  y  1 0   x 2 y     y  4 y  y    y 3   x 2   x  y   (2)  y    y       y 3   x 2   Vậy hệ phương trình có nghiệm 1  ,  7,3  ;   2  x; y   1;   7;3   Câu (1,0 điểm) Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a  b  c 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 1   2 a  b b  c c  a2 Giả sử c số nhỏ số a, b, c Khi c min  a; b ta bất đẳng P thức sau : 1 1 1  2    2 2 2 a b b c c a c  c  c  c   a   b   b    a   2  2  2  2  c c x a  ; y b   x, y  2 Ta đặt x  y a  b  c 3 tốn trở thành : Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 1 1  x  y  x  y  x  y Q  2    2 x y x y x y x y2 x y  2 y x  x y  x y           xy  y x  y x y x x y t   2 y x Đặt , kết hợp bất đẳng thức AM-GM ta có :  2  3t t 2 10 Q   t  2t      t              t  2 t 9 10  3 Min P    a, b, c   0; ;   2  hoán vị Vậy Câu (8,0 điểm) Cho đường tròn  O  dây cung BC cố định (BC khác đường kính) Điểm A thuộc cung lớn BC cho tam giác ABC nhọn AB  AC Đường tròn  I  nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC , AB D, E Đường thẳng AD cắt đường tròn  I  điểm thứ hai M , BM cắt đường tròn  I  điểm thứ hai Q; BI cắt DE P d) Chứng minh tứ giác IPQM nội tiếp Vì BD tiếp tuyến (I) nên ta có BD BQ.BM  1 Theo hệ thức lượng xét IBD vng D, đường cao DP ta có BD BP.BI   Từ (1) (2) ta suy BP.BI BQ.BM nên tứ giác IPQM nội tiếp (đpcm) e) Chứng minh BME DMP Vì tứ giác IPQM nội tiếp nên 180  MIQ MIQ  MPI MQI  90  2 MEQ QM Vì góc bù với góc chắn cung nên ta có MIQ 90  MPI IPD  MPI MPD MQE MDE MDP ME , MQE ∽ MDP ( g g ) MEQ 180  Mà chắn cung BME DMP( dfcm) Suy f) Đường tròn qua C tiếp xúc với AI I cắt BC H cắt (O) điểm thứ hai K Chứng minh A di động (O) đường thẳng HK ln qua điểm cố định Gọi T giao điểm AI với (O) gọi J tâm ngoại tiếp  CKI  Ta có : TIC  BAC  ACB BCT  ICB TCI Do TCI cân T nên TC TI , cmtt : TI TB Vì TI tiếp tuyến (J) mà TI TC nên TC tiếp tuyến  J  2 Gọi H ' giao TK với BC ta có : TH '.TK TC TI TCH ' ∽ TKC ( g.g ) Nên H '   J  mà H ' thuộc BC nên H H ' Vì B, C (O) cố định nên T cố định, HK qua điểm cố định T (đpcm) Câu (1,0 điểm) Trong hoạt động ngoại khóa có 20 giáo viên 80 học sinh đến từ nhiều nơi tham gia Biết giáo viên quen với 65 người học sinh quen với tối đa 12 người (Quan hệ quen xem có tính chiều: Người A quen người B người B quen người A) Ban tổ chức xếp họ thành 41 nhóm Hỏi ban tổ chức xếp cho nhóm có người quen khơng? Vì sao? Giả sử BTC xếp thỏa mãn yêu cầu đề Do có 20 giáo viên, nên có 41  20 21 nhóm khơng có giáo viên Vì vậy, nhóm phải có cặp học sinh quen Do đó, số cặp học sinh quen 21 cặp Theo giả thiết, học sinh quen tối đa 12 người, nên số lượt học sinh quen giáo viên không vượt 80.12  2.21 918 (lượt) (1) Lại từ đề bài, giáo viên quen 65 người, nên giáo viên quen 65  19 46 học sinh Do đó, số lượt giáo viên quen học sinh khơng : 46.20 920 (lượt ) (2) Từ (1) (2) ta có mâu thuẫn Vậy BTC khơng thể xếp